comment calculer le spectre d un signal audio l.
Download
Skip this Video
Download Presentation
Comment calculer le spectre d’un signal audio

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 14

Comment calculer le spectre d’un signal audio - PowerPoint PPT Presentation


  • 247 Views
  • Uploaded on

Comment calculer le spectre d’un signal audio. Séance 4, très importante, 1 heure Version : 15 mars 2005 Auteur: Jean-Paul Stromboni . Objectifs et idées clefs de la séance :.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Comment calculer le spectre d’un signal audio' - Leo


Download Now An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
comment calculer le spectre d un signal audio

Comment calculer le spectre d’un signal audio

Séance 4, très importante, 1 heure

Version : 15 mars 2005

Auteur: Jean-Paul Stromboni

Objectifs et idées clefs de la séance :

  • Introduire le concept de spectre d’un signal audio et expliquer comment un ordinateur calcule spectre et spectrogramme avec l’algorithme de FFT.
  • l’oreille perçoit le spectre, la composition fréquentielle des sons.
  • on décrit aussi bien un son avec le signal associé ou avec le spectre associé
  • à l’origine du spectre, la décomposition en séries de Fourier (19ème siècle)
  • la transformation de Fourier calcule le spectre d’un signal en temps continu
  • un ordinateur utilise la transformée de Fourier discrète et la FFT pour calculer le spectre à court terme et le spectrogramme

Savez vous déjà répondre aux questions suivantes ?

l oreille humaine per oit la composition fr quentielle des sons c est dire le spectre
L’oreille humaine perçoit la composition fréquentielle des sons, c’est-à-dire le «spectre»
  • Tout un chacun sait (plus ou moins )
    • différencier une note grave (basse fréquence, donc pitch élevé) et une note aigüe (fréquence élevée), sur une échelle de perception logarithmique allant de 20Hz à 20kHz
    • reproduire un LA3 à 440 Hz
    • reconnaître un instrument de musique selon la richesse harmonique de son timbre
    • comparer l’intensité des notes sur une échelle d’amplitude logarithmique
  • Ces informations sur un son (pitch, timbre, intensité) constituent son spectre:
    • le spectre d’amplitude ou spectre regroupe l’ensemble des intensités des composantes fréquentielles du son: amplitude=f(fréquence)
    • un son dont le spectre (d’amplitude) est nul au-delà d’une fréquence Fmax est dit à bande limitée
    • Le spectre varie au cours du temps :
      • En musique, cela crée le rythme, la mélodie, ou encore l’expression d’une interprétation
      • En parole, cela permet de percevoir phonèmes, diphones, et aussi l’intonation, ou prosodie, …
    • On représente l’évolution temporelle du spectre d’amplitude dans un spectrogramme :amplitude = g(instant, fréquence)
un son est aussi bien d crit par les valeurs ins tantan es du signal associ que par son spectre
Un son est aussi bien décrit par les valeurs ins-tantanées du signal associé que par son spectre
  • soit s(t) l’expression temporelle du signal associé
    • t est l’instant (en seconde)
  • éventuellement, s(t) est défini dans une fenêtre temporelle débutant en t0 et de durée T :
  • on note S(f) le spectre associé à s(t)
    • f est la fréquence exprimée en Hertz (Hz)
  • on définit S(f) comme la transformée de Fourier de s(t) en distinguant les cas suivants :
    • la décomposition en série de Fourier initiale ne s’applique qu’à s(t) de durée T (ou T-périodique).
    • si s(t) est apériodique, S(f)= TF[s(t)].
    • si le signal est échantillonné s(nTe) , on utilise la transformée de Fourier discrète et on exécute l’algorithme de FFT qui calcule le spectre.
    • Dans l’exemple de la note pure LA3, le spectre se réduit à une composante de fréquence f = 440 Hz
    • Est-ce un signal à bande limitée ?
  • L’utilisation de la fréquence et du spectre peut aussi simplifier certains problèmes :
    • La décomposition en série de Fourier a été proposée au 19ème siècle par J. Fourier pour résoudre l’équation de propagation de la chaleur (il cherchait à estimer ainsi l’age de la terre !)
l origine du spectre la d composition en s ries de fourier d un signal de dur e finie

s(t)

1

t

-1

T

À l’origine du spectre, la décomposition en séries de Fourier d’un signal de durée finie
  • Le problème posé par Fourier consistait à décrire une fonction du temps s(t) de durée T avec une somme de fonctions sinusoïdales :
    • n est entier
    • le terme n de fréquence n/T est l’harmonique Hn
    • le terme de fréquence nulle est la composante continue CC ou valeur moyenne de s(t) (n=0)
    • le terme de fréquence 1/T est dit fondamental F
  • Par exemple, voici la décomposition d’un signal triangulaire défini sur l’intervalle [-T/2,T/2] :
    • Préciser les amplitudes de CC, F, H3, H5 et H7
la d composition en s ries de fourier tablit le spectre d un signal p riodique ou de dur e t

1

1/9

1/25

1/49

1/81

La décomposition en séries de Fourier établit le spectre d’un signal périodique ou de durée T
  • Que vaut f(t) entre –T/2 et T/2 ?
  • Que vaut f(t) à lextérieur de cet intervalle ?
  • Que représente le diagramme ci-dessous ?
  • Quand T tend vers l’infini, 1/T tend vers 0
    • Les raies ci-dessus se rapprochent et le spectre devient une fonction continue de la fréquence.
    • La décomposition en séries de Fourier devient la transformation de Fourier.
la transformation de fourier tablit le spectre d un signal quelconque
La transformation de Fourier établit le spectre d’un signal quelconque
  • Définition de la transformation de Fourier (i2= - 1)
  • Quelques propriétés de TF utilisées dans la suite
    • Linéarité
    • TF[produit de convolution] = produit
    • Définition du produit de convolution
    • Dualité de TF et TF-1 (permuter t et f, …)
la transformation de fourier tablit le spectre d un signal ap riodique ou de dur e infinie

1/h

temps

0

h

La transformation de Fourier établit le spectre d’un signal apériodique ou de durée infinie
  • Quelques transformées utilisées dans la suite :
    • La distribution ou impulsion de Dirac :
    • la transformée de l’impulsion de Dirac est :
    • Définition de la fonction peigne de Dirac
    • La transformée d’un peigne est un peigne
la transformation de fourier tablit le spectre d un signal ap riodique ou de dur e infinie8
La transformation de Fourier établit le spectre d’un signal apériodique ou de durée infinie
  • Quelques transformées utilisées dans la suite
    • la transformée du cosinus contient 2 raies :
    • La fonction rectangle (ou fonction porte)
    • La transformée de la fonction rectangle est la fonction sinus cardinal
la transform e de fourier discr te tablit le spectre d un signal en temps discret x nte
La transformée de Fourier discrète établit le spectre d’un signal en temps discret x(nTe)
  • Transformée de Fourier discrète :
    • La périodicité de TFD est :
    • On ne conserve que N échantillons successifs pour calculer la transformée de Fourier à court terme
    • Et on ne calcule que M fréquences fk de X(f)
  • On aboutit à l’algorithme de FFT (ou Fast Fourier Transform), car le calcul du spectre est plus rapide en particulier si N=M=2K
le spectrogramme repr sente l volution du spectre court terme au cours du temps
Le spectrogramme représente l’évolution du spectre à court terme au cours du temps
  • On sait par exemple que le spectre du signal vocal est constant durant 30ms, on utilisera une fenêtre de 240 échantillons avec la fréquence d’échantillonnage 8 kHz.
  • On découpe l’axe des temps en zones de 30 millisecon-des (240 échantillons), et on calcule le spectre de chaque fenêtre par FFT 240 points.
  • Le spectrogramme qui affiche tous ces résultats et indique donc l’évolution temporelle du spectre.

Spectrogramme de la note piano_c3.wav (par WaveLab)

(retrouver l’axe des temps et l’axe des fréquences)

calcul du spectre avec matlab
Calcul du spectre avec Matlab

fe=8000;

t=[0:1023]*(1/fe);

s=0.5*cos(2*pi*880*t);

f=[0:1023]/1024*fe;

plot(f,abs(fft(s,1024)))

grid, figure

f2=[-512:511]/1024*fe;

spec= fftshift(fft(s,1024))

plot(f2,abs(spec))

N=?

M=?

Qu’est ce qui change ici ?

calcul du spectrogramme avec matlab
Calcul du spectrogramme avec Matlab

fe=8000;

t=[0:16000]*(1/fe);

s=0.5*cos(2*pi*880*t)+0.75*cos(4000*pi*t);

f=[-512:511]/1024*fe;

spec= fftshift(fft(s(1:1024),1024))

plot(f,abs(spec)), grid, figure

specgram(s,2048,fe,ones(1,1024))

colorbar

Fenêtre

Amplitude

N

M

Fenêtre

Amplitude

N

M

overlap

quelques propri t s de la distribution de dirac qui seront r utilis es dans la suite

1/h

temps

0

h

Quelques propriétés de la distribution de Dirac qui seront réutilisées dans la suite :
  • La distribution de Dirac peut être présentée comme la limite d’une impulsion de largeur h et de hauteur 1/h quand h tend vers 0.
  • En conséquence, l’opération suivante permet de prélèver une valeur sur le signal s(t)
  • Le produit de convolution par d(t-T) décale le signal s(t) de T :
revenons aux origines du spectre la d composition en s ries de fourier
Revenons aux origines du spectre : la décomposition en séries de Fourier
  • Le problème consiste à décrire une fonction s(t) de durée T sous la forme suivante :
    • n est entier
    • le terme n de fréquence n/T est l’harmonique Hn
    • le terme de fréquence nulle est la composante continue CC ou valeur moyenne de s(t) (n=0)
    • le terme de fréquence 1/T est dit fondamental F
  • Fourier propose une méthode basée sur les propriétés des fonctions sinus et cosinus.
    • Notons
    • Et notons
    • On vérifie aisément
    • On en tire