metode numerik fortran l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
METODE NUMERIK & FORTRAN PowerPoint Presentation
Download Presentation
METODE NUMERIK & FORTRAN

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 130

METODE NUMERIK & FORTRAN - PowerPoint PPT Presentation


  • 2645 Views
  • Uploaded on

METODE NUMERIK & FORTRAN. FAKULTAS ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS GUNADARMA. TIM PENYUSUN. Suryadi M.T Teguh Yuniarko Mike Susmikanti Maukar Mufid Nilmada Miftah Andriansyah Erni Rihyanti Fitri Ningsih Umi Sholikhah. POKOK BAHASAN (1). Pendahuluan (Algoritma)

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'METODE NUMERIK & FORTRAN' - Jims


Download Now An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
metode numerik fortran

METODE NUMERIK & FORTRAN

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

UNIVERSITAS GUNADARMA

tim penyusun
TIM PENYUSUN
  • Suryadi M.T
  • Teguh Yuniarko
  • Mike Susmikanti
  • Maukar
  • Mufid Nilmada
  • Miftah Andriansyah
  • Erni Rihyanti
  • Fitri Ningsih
  • Umi Sholikhah
pokok bahasan 1
POKOK BAHASAN (1)
  • Pendahuluan (Algoritma)
  • Solusi Persamaan Non Linier
    • Metode Bisection
    • Metode False Position
    • Metode Secant
    • Metode Fixed point iteration
    • Metode Newton Raphson
pokok bahasan 2
POKOK BAHASAN (2)
  • Solusi Sistem Persamaan Linier
    • Eliminasi Gauss
    • Eliminasi Gauss Yourdan
    • Iterasi Gauss-Seidel
  • Interpolasi
    • Interpolasi Linier
    • Interpolasi Kuadrat
    • Interpolasi Lagrange
    • Interpolasi Newton
pokok bahasan 3
POKOK BAHASAN (3)
  • Integrasi Numerik
    • Metode Empat persegi panjang
    • Metode Trapesium
    • Metode Simpson
    • Metode Kuadratur Gauss
referensi
Referensi
  • 1. Steven C. Chapra & Raymond P. Canale, Metode Numerik untuk Teknik dengan Penerapan pada Komputer Pribadi, UI-Press, Jakarta, 1991.
  • 2. Suryadi H.S., Pengantar Metode Numerik, Seri Diktat Kuliah, Gunadarma, 1990
  • 3. Suryadi M.T., Bahasa FORTRAN dan Analisis Numerik, Seri Diktat Kuliah, Gunadarma, 1995
  • 4. William H. Press, et. al., Numerical Recipes in FORTRAN, 2n ed, Cambridge University Press, 1992.
pemrograman terstruktur

PEMROGRAMAN TERSTRUKTUR

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

UNIVERSITAS GUNADARMA

pemrograman terstruktur8

Coding

Struktur Data

+

Algoritma

Program

Pengembangan

Algoritma

Analisa

Persoalan

Pemrograman Terstruktur
analisa persoalan
Analisa Persoalan
  • Persoalan apa yang perlu diselesaikan =>tujuan/program
  • Bagaimana program harus berbuat untuk menyelesaikan persoalan

Struktur Data

Bagaimana menyusun data yang ada (struktur data) sehingga program menjadi efisien :

  • mudah dalam pengambilan data
  • mudah dalam memperbarui data (insert, delete, update)
  • mudah algoritmanya
algoritma
Algoritma

Suatu rancangan rinci yang menggambarkan langkah demi langkah instruksi-instruksi bagi komputer agar dapat memcahkan suatu persoalan

  • Algoritma dapat ditulis (yang mudah dimengerti manusia) berupa :
    • diagram alur (flowchart)
    • pengkodean semu (pseudocode)
program
Program

Kumpulan instruksi, ditulis dalam suatu bahasa komputer (mis. TURBO PASCAL) yang memerintahkan komputer bagaimana memecahkan suatu persoalan

Garis besar

Tahap analisa persoalan :

  • menentukan data yang diperlukan untuk proses (data input)
  • memahami dengan baik persoalan yang akan dipecahkan
  • menentukan data apa yang diharapkan muncul dari hasil proses (data output)
garis besar
Tahap struktur data & algoritma :

Rancang struktur data yang digunakan, sedemikian rupa sehingga mudah merancang algoritmanya dan memberikan proses yang efisien

Dengan memahami masalah yang dimiliki, rancang setiap langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan (bisa dalam bentuk flowchart ataupun pseudocode) dan pilih teknik-teknik yang efisien => design algorithm

Mencoba algoritma yang dibuat dengan data sederhana

Garis Besar
garis besar13
Garis Besar :

Tahap Program :

  • Memahami syntax dari bahasa yang akan digunakan
  • Inti : INPUT => PROSES => OUTPUT
  • Coding : susun pengkodean-nya sesuai dengan algoritma dan struktur data yang telah dibuat beserta Keterangannya
  • Debugging : memperbaiki kesalahan syntax (tahap compiling), kesalahan logika dan kesalahan run-time (tahap execution)
  • Testing : menguji dengan data yang telah diketahui hasil outputnya
  • dokumentasi
garis besar14
Garis Besar

Di dalam menyusun algoritma, hanya dikenal 3 jenis struktur proses :

:

:

:

Algoritma yang disusun berdasarkan struktur di atas disebut : algoritma terstruktur, sedangkan program yang dibuat berdasarkan algoritma terstruktur dikatakan sebagai program terstruktur

garis besar15
Garis Besar

Alasan menggunakan program terstruktur :

  • Jika kita telah terbiasa menganalisa dan menyusun program untuk suatu masalah dengan menggunakan teknik yang sama, maka pemecahan masalah (analisa, design, penyusunan program) akan menjadi lebih cepat dan mengurangi error
  • Jika persoalan dilakukan oleh suatu team work, dan semua programer menggunakan teknik yang sama, maka akan lebih mudah bagi seorang programmer untuk dapat membaca pekerjaan programmer yang laindan mudah dalam pengembangan /perbaikan program nantinya
struktur logika 3 struktur kendali dasar
Struktur Logika (3 struktur kendali dasar)

Untuk menghindari terjadinya “spaghetti code” yang menyebabkan suatu program sulit untuk ditelusuri baik dalam penulisan maupun debugging maka digunakanlah 3 struktur kendali dasar yang dapat mengatur jalannya program :

  • Struktur Sederhana (berurutan) : jika perintah-perintah dilakukan secara berurutan
  • Struktur Berulang (loop) : jika sekumpulan perintah diulang beberapa kali
  • Struktur Bersyarat (selection) : jika sekumpulan perintah dilakukan pada kondisi tertentu
struktur logika

N

y

N

1 ?

1

1

y

2

4

2

2

3

3

3

(1)

(3)

(2)

Struktur Logika

Bentuk umum dari 3 struktur kendali proses

struktur logika18

1

2

Y

1

?

T

2?

T

Y

DO WHILE

DO UNTIL

Struktur Logika

a. Terdapat tiga macam struktur berulang :

  • FOR LOOP : badan loop dilakukan untuk sejumlah tertentu pengulangan
  • DO WHILE : lakukan pengujian, selama kondisi masih dipenuhi, lakukan badan loop
  • DO UNTIL : lakukan badan loop satu kali, uji kondisi dan lakukan badan loop sampai kondisi tidak dipenuhi
struktur logika19
Struktur Logika

b. Struktur Bersyarat dapat dibedakan :

  • Struktur 2 pilihan : IF – THEN – ELSE
  • Struktur lebih dari 2 pilihan : NESTED IF/ DO CASE

Y

T

?

Y

?

T

If - Then - Else

contoh 1
Contoh 1

dimana Nilai rata-rata ditentukan dari 20% ujian 1, 35% ujian 2dan 45% ujian 3.

contoh 2
Contoh 2

Menjumlahkan n buah bilangan

Persoalan : hitung

pengembangan algoritma
Pengembangan Algoritma

Dekomposisi :

  • Perincian Sub Persoalan :
  • Masukkan jumlah bilangan yang akan dijumlah dan simpan pada variabel n
  • Lakukan sebanyak n kali :
  • masukkan nilai bilangan pada variabel ai (I= 1, 2, …,n)
  • Isi variabel S=0
  • Baca/masukkan jumlah bilangan yang akan dijumlahkan
  • Baca/masukkan bilangan-bilangan yang akan dijumlah
  • Jumlahkan satu per satu bilangan di atas ke suatu nilai total
  • Cetak nilai total tersebut
pengembangan algoritma24
Pengembangan Algoritma
  • Lakukan sebanyak n kali :

jumlahkan ai ke s (i = 1, 2, …, n)

  • Cetakisi variabel s

Data :

Variabel penyimpanan banyaknya data (n) bertipe integer

Varibel penyimpanan masing-masing bilangan linier array (ai) dan bertipe integer/real

Variabel penyimpanan nilai total (s) bertipe integer/real

pengembangan algoritma25
Pengembangan Algoritma

Algoritma 1 :

  • Baca/masukkan suatu nilai dan simpan pada variabel n
  • Untuk nilai varibel i dari 1 s/d n lakukan :

baca/masukkan nilai ai

  • Set isi variabel s = 0
  • Untuk nilai variabel i dari 1 s/d n lakukan :

s = s + ai

  • Cetak variabel s
pengembangan algoritma26
Pengembangan Algoritma

Algoritma 2 :

  • Baca/masukkan suatu nilai dan simpan pada variabel n
  • Set isi variabel s=0
  • Untuk nilai variabel i dari s/d n lakukan :

a. baca/masukkan nilai ai

b. s = s + ai

  • Cetak variabel s
latihan
Latihan
  • Bila dibaca 2 buah bilangan bulat positip x dan y, maka buatlah algoritma untuk menghitung FPB dari x dan y !
  • Bila dibaca sebuah bilangan bulat positip x maka buatlah algoritma untuk menyatakan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan Amstrong !
solusi persamaan non linier

SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER

METODE BISEKSI (BAGI DUA)

metode biseksi
Metode Biseksi
  • Fungsi kontinu pada [a,b]
  • Akarnya x = p & p  [a,b]
  • Untuk setiap iterasi akan membagi 2 interval yang memuat x = p dan berhenti bila mencapai suatu bilangan yang berada dalam toleransi (ditetapkan)
  • Hanya ada 1 akar dalam [X0,X1] maka f(X0)*f(X1)  0
  • Titik tengah interval X2=½(X0 + X1)
metode biseksi lanjutan
Metode Biseksi (lanjutan)
  • Bila f(X0)*f(X2)  0 maka akar p  [X0,X2]
  • Ulangi iterasi pada interval [X0,X1] yang baru (dalam hal ini [X0,X2])
  • Pada kasus lainnya, yakni bila f(X0)*f(X2) > 0, maka akar p  [X2,X1]
  • Ulangi iterasi pada interval [X0,X1] yang baru (dalam hal ini [X2,X1])
metode biseksi lanjutan31
Metode Biseksi (lanjutan)
  • Setelah dilakukan n kali iterasi biseksi, akan diperoleh interval yang lebarnya (½)n(X1 – X0)
  • Bila (½)n(X1 – X0)<t maka akarnya berselisih kurang dari t terhadap kedua titik ujung interval kecil (terakhir) tsb.
metode biseksi lanjutan32
Metode Biseksi (lanjutan)
  • Bila diinginkan toleransi kesalahan lebih kecil dari t, maka diperlukan paling sedikit 2log(X1 – X0) iterasi biseksi, kecuali bila akarnya tepat pada ujung interval.
algoritma biseksi 1
Algoritma Biseksi (1)

INPUT X0 ,X1 ,F(X),T

WHILE[(X1 – X0) T OR F(X0)*F(X1) 0] DO

X2 = (X0 + X1)/2

IF F(X0)*F(X2) >0 THEN

X0 = X2

ELSE

X1 = X2

ENDIF

ENDWHILE

algoritma biseksi 2
Algoritma Biseksi (2)

IF F(X0)=0 THEN

OUTPUT (X0)

ELSE IF F(X1) = 0 THEN

OUTPUT (X1)

ELSE

OUTPUT (X2)

ENDIF

keuntungan biseksi
KEUNTUNGAN BISEKSI
  • Selalu berhasil menemukan akar (solusi) yang dicari, atau dengan kata lain selalu konvergen.
kelemahan biseksi
KELEMAHAN BISEKSI
  • Bekerja sangat lambat. Tidak memandang bahwa sebenarnya akar atau solusi yang dicari telah berada dekat sekali dengan X0 ataupun X1.
solusi persamaan non linier37

SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER

METODE REGULA FALSI

(FALSE POSITION)

metode regula falsi
METODE REGULA FALSI
  • Salah satu alternatif untuk mempercepat perhitungan akar (solusi).
  • Tetapkan interval awal [X0 ,X1] yang memuat akar (solusi).
  • Hitung X2 (yang merupakan titik ujung interval baru) : titik potong garis lurus dari titik [X0,f(X0)] ke titik [X1,f(X1)] dengan sumbu X.
metode regula falsi39
METODE REGULA FALSI
  • Persamaan garis lurus melalui titik [X0,f(X0)] dan [X1,f(X1)], yaitu :
metode regula falsi40
METODE REGULA FALSI
  • Garis tersebut berpotongan dengan sumbu X  Y = 0 dengan titik absisnya yaitu X2, sehingga diperoleh :
metode regula falsi41
METODE REGULA FALSI
  • Penetapan interval baru:

bila F(X0)*F(X2) <0 maka intervalnya menjadi [X0 , X2]

bila F(X0)*F(X2) >0 maka intervalnya menjadi [X2 , X1]

metode regula falsi42
Metode Regula Falsi
  • Pengulangan/iterasi mencari X2 dan interval baru dilakukan berdasarkan nilai toleransi atau bila akarnya belum ditemukan
  • Sebaiknya nilai toleransi secara relatif mengacu pada : error aproksimasi
algoritma regula falsi
ALGORITMA REGULA FALSI

INPUT X0,X1,T,F(X), MAX

I=0; FOUND = false

REPEAT

I=I+1

X2 = X1 -(X1 - X0)*F(X1)/(F(X1)-F(X0))

IF F(X0)*F(X2)<0 THEN

X1 = X2

algoritma regula falsi44
ALGORITMA REGULA FALSI

ELSE

X0 = X2

ENDIF

IF (|(X2 - X1)/ X1|T OR I=MAX) THEN

FOUND=true

ENDIF

UNTIL (FOUND=true)

OUTPUT (X2)

kelemahan regula falsi
KELEMAHAN REGULA FALSI
  • Hanya salah satu titik ujung interval (X0 atau X1) yang bergerak menuju akar dan yang lainnya selalu tetap untuk setiap iterasi.
  • Sehingga mungkin [X0, X1] masih cukup besar jaraknya bila menggunakan batas | X1 - X0|  T padahal X0 X2 atau

X1  X2

kelemahan regula falsi46
KELEMAHAN Regula falsi

hal tersebut dikenal dengan pendekatan error mutlak.

diperbaiki dengan pendekatan Error relatif :

metode sekan48
Metode Sekan
  • Disebut juga Metode Interpolasi Linear
  • Dalam prosesnya tidak dilakukan penjepitan akar atau dpl.

[X0, X1] tidak harus mengandung akar yang akan dicari.

  • Sehingga f(x0) dan f(x1) bisa bertanda sama
  • Untuk mencari X2 , sama dengan metode REGULA FALSI
metode sekan lanjutan
Metode Sekan (lanjutan)
  • Untuk iterasi berikutnya akan diperoleh interval baru [X0, X1] dengan cara pergeseran: X0 X1 , X1  X2
  • Iterasi berlangsung sampai batas maksimum (Max.) atau sampai dipenuhinya batas Toleransi (T):

| (X1 - X2 )/ X1 |≤ T

--------------------------

|

\/

Nilai kesalahan relatif

metode sekan lanjutan50
Metode Sekan (lanjutan)
  • Proses Pencapaian Akar (Mtd. SEKAN)
  • Tambah gambar ! (halaman akhir)
algoritma sekan
Algoritma Sekan
  • INPUT X0, X1, T, Max, F(x)
  • i = 0
  • Found = false
  • REPEAT

i = i + 1

X2 = X1 – (X1 – X0)*F(X1)/(F(X1) – F(X0))

X0 = X1

X1 = X2

algoritma sekan lanjutan
Algoritma Sekan (lanjutan)

IF | (X0- X1)/ X0|≤ T OR

i = Max THEN

Found = true

ENDIF

  • UNTIL (Found = true)
  • OUTPUT (X2)
metode iterasi titik tetap

SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER

METODE ITERASI TITIK TETAP

metode iterasi titik tetap55
METODE ITERASI TITIK TETAP
  • Syaratnya:
    • f(x) = 0 dapat diubah menjadi bentuk:

x = g(x) (yang tidak unik)

    • Cari akar dgn pertidaksamaan rekurens:

Xk+1 = g(Xk); untuk k = 0, 1, 2, 3, …

dgn X0 asumsi awalnya, sehingga diperoleh

barisan X0, X1, X2, X3, … yang diharapkan

konvergen ke akarnya.

    • Jika g’(x) ε [a, b] dan g’(x) ≤ k dgn k< 1 Utk setiap

x ε [a, b] , maka titik tetap tersebut tunggal dan

iterasinya akan konvergen menuju akar

metode iterasi titik tetap cont d
METODE ITERASI TITIK TETAP (cont’d)
  • Dari bentuk x = g(x), berarti akar dari f(x) tak lain adalah perpotongan antara garis lurus y = x dan kurva y = g(x).
contoh kasus
CONTOH KASUS
  • CONTOH:

f(x) = x – e1/x ;

bentuk x = g(x), yaitu: f(x) = x – e1/x dapat ditulis: f(x) = 0  x – e1/x = 0 shg didapat x = g(x), antara lain:

    • x = e1/x
    • x = e1/x ln x = 1/x (ln e)  x = 1/ln x
    • x = e1/x 2x = x + e1/x x = 1/2(x + e1/x)
contoh kasus lanjutan
CONTOH KASUS (lanjutan)

ambil x0 = 1.5

periksa kekonvergenan iterasi:

  • g’(x) = - (1/x2 ) e1/x

g’(x) = - (1/(1.5)2 ) e1/1.5 = …. ?

metode newton raphson

SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER

METODE NEWTON-RAPHSON

metode newton raphson61
METODE NEWTON-RAPHSON
  • Waktu pencarian akarnya relatif lebih cepat dibandingkan metode lainnya.
  • Memanfaatkan turunan fungsi f(x) pada suatu titik P [x1, f(x1)]
  • Membuat garis singgung pada titik P tsb yg memotong sumbu x  didapat xi+1
  • Sampai ditemukan akarnya (sesuai batas toleransi/error yg diberikan)
metode newton raphson lanjutan
METODE NEWTON-RAPHSON (lanjutan)
  • Persamaan garis singgung melalui P [X1, f(X1)] adalah: y – f(X1) = f ’(X1) . (X – X1)

dgn f ’(X1) : gradien garis singgung

  • Persamaan tsb memotong sumbun x di titik (X2, 0) maka akan diperoleh:

0 - f(X1) = f’(X1). (X2– X1)

X2 .f’(X1) - X1.f’(X1) = - f’(X1)

X2 =X1 - f(X1)/ f’(X1)

metode newton raphson lanjutan64
METODE NEWTON-RAPHSON (lanjutan)
  • Secara Rekurens, persamaan tsb dinyatakan menjadi:

Xi+1= Xi - f(X1)/ f’(X1)

Utk i = 1, 2, 3, …

f’(Xi): turunan pertama f(X) pada x = xi.

solusi sistem persamaan linear spl
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)
  • SPL dengan m persamaan dan n variabel:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

: : :

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

atau dalam bentuk matriks: Ax = b

a11 a12 … a1n x1 b1

a21 a22 … a2n x2 b2

: : :

am1 am2 … amn xn bm

A x b

  • Solusi dari SPL Ax = b adalah nilai-nilai dari x1, x2, …, xn Э memenuhi persamaan ke -1 s/d ke –m
  • Solusi dari SPL:

3x1 + 2x2 = 16

-x1 + 3x2 = 13

metode eliminasi gauss
METODE ELIMINASI GAUSS

Misalkan: A(n x n), sehingga SPL: Ax = b dengan A(n x n), x(n x 1) dan

B(n x 1)

Untuk menentukan solusi SPL tersebut dilakukan dalam 2 langkah utama :

Langkah 1:

Mengeliminir x1 s/d x2 atau dpl membuat Ax = b menjadi bentuk

A*x = b* dengan A* adalah matriks segitiga atas

Langkah 2:

Melakukan substitusi mundur (“back substitutions”) sehingga di

peroleh Xn, xn-1, xn-2,…,x2, x1

slide68
Contoh:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = a14

a21x1 + a22x2 + a23x3 = a24

a31x1 + a32x2 + a33x3 = a34

  • Eliminasi x1 pada baris ke dua dpl. Membuat koefisien x1 pada baris ke dua menjadi nol (manfaatkan operasi elementer baris/kolom)

FOR j = 1 to 4

a2j = a2j – a21/a11 x a1j

NEXT j

  • Eliminir x1 pada baris ke tiga

FOR j = 1 to 4

a3j = a3j – a31/a11 x a1j

NEXT j

slide69
Secara umum untuk mengeliminir x1:

FOR i = 2 to 3

FOR j = 1 to 4

aij = aij – ai1/a11 x a1j

NEXT j

NEXT I

  • Secara umum untuk mengeliminir: xk

FOR i = k + 1, n

FOR j = k, n + 1

aij = aij – aik/akk x akj

NEXT j

NEXT i

slide70
Setelah dieliminir x1 dan x2 maka diperoleh

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = a14

a22 x2 + a23 x3 = a24

a33 x3 = a34

  • Langkah utama ke dua: substitusi mundur dari persamaan ke 3 diperoleh:

x3 = a34/a33

Substitusi x3 ke persamaan ke 2, sehingga diperoleh:

x2 = (a24 – a23 x3) / a22

Substitusi x3 dan x2 ke persamaan ke 1, sehingga diperoleh: x1

Dengan demikian diperoleh x1, x2, x3Э Ax = b

slide71
CONTOH KASUS
  • Tentukanlah solusi dari SPL:

x1 - 2x2 + x3 = 4

2x1 - 5x2 + 5x3 = 10

x1 + x2 + x3 = 7

(dpl x1, x2 dan x3 ?)

algoritma gauss
ALGORITMA GAUSS

FOR i = 1 to n

FOR j = 1 to n + 1

INPUT (aij)

NEXT j

NEXT I

FOR k = 1 to n – 1

FOR i = k + 1 to n

u = aik/akk

FOR j = k to n + 1

aij = aij – u * akj

NEXT j

NEXT I

NEXT k

slide73
xn = an n+1/ann

FOR i = n – 1 DOWNTO 1

sum = 0

FOR j = i + 1 to n

sum = sum + aij * xj

NEXT j

xi = (ai n+1 – sum)/aii

NEXT i

FOR i = 1 to n

OUTPUT (xi)

NEXT i

slide74
Perhatian !
  • Dalam mengeliminir xk, selalu dihitung aik/akk, selanjutnya dinyatakan dengan variabel u. Bila |akk|  0 maka “berbahaya” karena u bisa mengandung error yang besar
  • Untuk menghindarinya, susun kembali SPL nya Э|akk| selalu yang terbesar dalam kolom ke k, akk disebut elemen PIVOT
algoritma pivoting pada eliminasi gauss
ALGORITMA PIVOTING PADA ELIMINASI GAUSS

FOR k = 1 to n-1

max = abs(akk)

p = k

FOR m = k + 1 to n

IF abs(amk) > max THEN

max = abs(amk)

p = m

ENDIF

NEXT m

IF max ≤  THEN

OUTPUT (“ILL-CONDITION”)

STOP

ENDIF

IF p ≠ k THEN

FOR i = k TO n+1

temp = akl

akl = apl

apl = temp

NEXT i

ENDIF

FOR i = k+1 TO n

u = aik/akk

FOR j = k TO n+1

aij = aij – u * akj

NEXT j

NEXT i

NEXT k

metode eliminasi gauss yourdan
METODE ELIMINASI GAUSS-YOURDAN

Untuk mencari solusi SPL, dilakukan

dalam 3 langkah utama :

  • Transformasikan A dari Ax = b Э menjadi A* (segitiga atas) dari A*x = b*
  • Transformasikan A* (hasil dari langkah 1) Э menjadi A** (matriks diagonal) dari A**x = b**
  • Tentukan xi i = 1,2, …,n berdasarkan hasil langkah 2. xi = b**i/a**i  i = 1,2,..,n

Metode ini jarang digunakan karena sangat mahal (n3)

solusi sistem persamaan linier77

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINIER

METODE ITERASI GAUSS SEIDEL - IGS

sistem persamaan linier spl
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
  • Bila diketahui SPL dengan n persamaan dan n variabel, sebagai berikut :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = a1(n+1) .. (1)

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = a2(n+1) .. (2)

:

an1x1 + an2x2 + … + annxn = an(n+1) .. (n)

  • Maka solusinya dapat diperoleh dengan cara :
algoritma pseudo code igs 1
Algoritma (pseudo code) IGS - 1
  • Langkah ke-1 :

Tebak sebarang nilai awal untuk variabel x2, x3, ... , xn . Namakan nilai awal tersebut x20, x30, … , xn0.

  • Langkah ke-2 :

Substitusikan x20, x30, … , xn0 ke SPL (1) untuk memperoleh nilai x1lalu namakan dengan x11 .

algoritma pseudo code igs 2
Algoritma (pseudo code) IGS - 2
  • Langkah ke-3 :

Substitusikan x11, x30, x40, … , xn0 ke SPL (2) untuk memperoleh nilai x2lalu namakan dengan x21 .

  • Langkah ke-4 :

Substitusikan x11, x21, x40, x50, … , xn0 ke SPL (3) untuk memperoleh nilai x3lalu namakan dengan x31 .

algoritma pseudo code igs 3
Algoritma (pseudo code) IGS - 3
  • Langkah ke-5 :

dan seterusnya, sampai diperoleh x11, x21, x31, … , xn-11 , selanjutnya substitusika ke SPL (n) untuk memperoleh nilai xnlalu namakan dengan xn1 .

( Iterasi ke-1 selesai dengan diperolehnya nilai : x11, x21, x31, … , xn-11 , xn1 . )

algoritma pseudo code igs 4
Algoritma (pseudo code) IGS - 4
  • Langkah ke-6 :

Ulangi langkah ke-2 s/d ke-5 (substitusikan x21, x31, … , xn1 ke SPL (1) untuk memperoleh nilai x1lalu namakan dengan x12 ). Sampai nanti diperoleh nilai x12, x22, x32, … , xn-12 , xn2 .

algoritma pseudo code igs 5
Algoritma (pseudo code) IGS - 5
  • Langkah ke-7 :

Iterasi berakhir pada iterasi ke-k, bila :

| xjk – xjk+1 | < T

dengan T nilai toleransi kesalahan yang sudah ditetapkan sebelumnya.

tingkat konvergensinya
Tingkat Konvergensinya
  • Algoritma tersebut BELUM TENTU KONVERGEN !!!
  • Syarat Konvergensi :

Matriks koefisiennya (A) harus bersifat DIAGONALLY DOMINANT

contoh soal 1
Contoh Soal 1:
  • Diketahui SPL sebagai berikut :

3x1 – 10x2 = 3

x1 + x2 = 2

  • Carilah nilai x1 dan x2 dengan menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel dengan Toleransinya 0,005 !
jawab contoh soal 1 1
Jawab Contoh Soal 1 : (1)
  • Periksa tingkat konvergensinya.

Diperoleh bahwa :

|a11|=3 ; |a12|=10 ; |a21|=1 ; |a22|= 1

 3  10

 1  1

jawab contoh soal 1 2
Jawab Contoh Soal 1 : (2)
  • Jadi SPL tersebut TIDAK DIAGONALLY DOMINANT. Sehingga tidak akan konvergen bila dipecahkan dengan metode Iterasi Gauss-Seidel.
  • Untuk itu, ubah penyajian SPL nya menjadi :

x1 + x2 = 2

3x1 – 10x2 = 3

Periksa tingkat konvergensinya !!

jawab contoh soal 1 3
Jawab Contoh Soal 1 : (3)
  • Periksa tingkat konvergensinya.

Diperoleh bahwa :

|a11|= 1 ; |a12|= 1 ; |a21|= 3 ; |a22|= 10

1  1

10  3

jawab contoh soal 1 4
Jawab Contoh Soal 1 : (4)
  • Jadi SPL hasil perubahannya bersifat DIAGONALLY DOMINANT konvergen
  • Selanjutnya jalankan algoritmanya terhadap SPL : !

x1 + x2 = 2 … (1)

3x1 – 10x2 = 3 … (2)

jawab contoh soal 1 5
Jawab Contoh Soal 1 : (5)
  • Iterasi ke-1 :

1. Tebak nilai awal x20 = 0

2. Substitusikan x20 = 0 ke SPL (1) :

x1 + x2 = 2  x1 + 0 = 2  x1 = 2

didapat x11 = 2

3. Substitusikan x11 = 2 ke SPL(2) :

3x1 – 10x2 = 3  3.(2) – 10x2 = 3

 6 – 10x2 = 3  x2 = 0,3

didapat x21 = 0,3

jawab contoh soal 1 6
Jawab Contoh Soal 1 : (6)
  • Iterasi ke-2 :

2. Substitusikan x21 = 0,3 ke SPL (1) :

x1 + x2 = 2  x1 + 0,3 = 2  x1 = 1,7

didapat x12 = 1,7

3. Substitusikan x12 = 1,7 ke SPL(2) :

3x1 – 10x2 = 3  3.(1,7) – 10x2 = 3

 5,1 – 10x2 = 3  x2 = 0,21

didapat x22 = 0,21

jawab contoh soal 1 7
Jawab Contoh Soal 1 : (7)
  • Iterasi ke-3 :

2. Substitusikan x22 = 0,21 ke SPL (1) :

x1 + x2 = 2  x1 + 0,21 = 2  x1 = 1,79

didapat x13 = 1,79

3. Substitusikan x12 = 1,79 ke SPL(2) :

3x1 – 10x2 = 3  3.(1,79) – 10x2 = 3

 5,37 – 10x2 = 3  x2 = 0,237

didapat x23 = 0,237

Dan seterusnya…..

jawab contoh soal 1 8
Jawab Contoh Soal 1 : (8)
  • Iterasi ke-4, ke-5 dst
    • Lanjutkan sendiri, sebagai latihan !!
    • Ingat, proses iterasi akan berhenti bila kondisi

| xjk – xjk+1 | < 0,005

Terpenuhi !!

jawab contoh soal 1 9
Jawab Contoh Soal 1 : (9)
  • Rangkuman Proses Iterasinya :
algoritma igs
ALGORITMA IGS

INPUT A(n,n+1), e, maxit

INPUT xi (nilai awal)

k  1 ; big  1

WHILE (k ≤ maxit and big  e) DO

big  0

FOR i = 1 TO n

sum  0

FOR j = 1 TO n

IF j ≠ i THEN

sum  sum + aij

NEXT j

temp  (ai n+1 – sum) / aii

relerror  abs((xi – temp) / temp)

IF relerror  big THEN

big  relerror

xi  temp

NEXT I

k  k + 1

ENDWHILE

IF k > maxit THEN

OUTPUT(“TDK KONVERGEN”)

ELSE OUTPUT (“KONVERGEN”)

ENDIF

OUTPUT(xi)

interpolasi98
INTERPOLASI
  • Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui
  • dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn)
teknik umum yang digunakan
Teknik Umum yang digunakan :
  • Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga fungsi di titik-titik yang diketahui Polinomial Interpolasi
  • Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi
jenis interpolasi
Jenis Interpolasi
  • Interpolasi Linier
  • Interpolasi Kuadrat
  • Interpolasi Lagrange
  • Interpolasi Newton
interpolasi linier 1

y

yk+1

?

y*

yk

xk

x*

xk+1

x

INTERPOLASI LINIER (1)
  • Misalkan ada m bilangan : x1, x2, …., xm dan bilangan lain yang berkaitan : y1, y2 , …., ym
  • maka masalahnya : berapa harga y* pada

x* ε [xk,xk+1] ?

interpolasi linier 2
INTERPOLASI LINIER (2)
  • Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1)
  • Diperoleh persamaan garisnya :
interpolasi linier 3

y

yk+1

?

y*

yk

xk

x*

xk+1

x

INTERPOLASI LINIER (3)
  • Jadi persamaan garisnya adalah :
contoh 1 1
Contoh – 1 : (1)

Diketahui data sebagai berikut :

Tentukan harga y pada x = 6,5 !

Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7

Hasilnya

contoh 1 2
Contoh – 1 : (2)

Alternatif 2 :

x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7

Hasilnya

contoh 1 3
Contoh – 1 : (3)
  • Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !!
  • Mana yang mendekati jawaban yang

sesungguhnya ..??

  • Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25

=> Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25

contoh 1 4
Contoh – 1 : (4)

Kesalahan mutlak (E), untuk :

y = 42,5 |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25 %

Sedangkan untuk

y = 45 |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %

contoh 2 diketahui tabel akar bilangan sbb
Contoh-2 :Diketahui tabel akar bilangan sbb :

Tentukan akar dari 2,155

(2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629)

= 1,46629 + 0,00170

(2,155)1/2 = 1,46799

Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018

  • Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !
interpolasi kuadrat
INTERPOLASI KUADRAT
  • Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier
  • Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya
  • Caranya :
  • Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x*
  • Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat :
  • xk-1 < xk < xk+1 atau
  • xk-1 < x* < xk < xk+1
persamaan umum polinomial kuadrat
Persamaan umum Polinomial kuadrat :

P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(*)

3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti:

yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-12

yk = a0 + a1 xk + a2 xk2 …………………………. (**)

yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+12

=> Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2

=> Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan solusinya unik (tunggal)

interpolasi lagrange
INTERPOLASI LAGRANGE
  • Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.
  • Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan (n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :
formula interpolasi lagrange
Formula Interpolasi Lagrange

Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)

x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y

contoh 1113
Contoh 1:

Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :

Carilah 10log 301 ?

Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi

contoh 2115
Contoh 2 :

Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ?

Karena yg ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yg analog dg interpolasi Lagrange.

Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data diatas adalah hasil dari polinom y(x) = x2 + 3.

Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat.

slide117

INTEGRASI NUMERIK

  • Masalah

Menghitung luas daerah di atas sumbu x yang dibatasi oleh kurva y = f(x), antara x = a dan x = b

Dari ilustrasi di samping secara kalkulus hasilnya adalah :

  • Contoh :

Hitung luas daerah di atas sumbu x yang dibatasi oleh kurva y = x2, antara x = 0 dan x = 4

Solusi :

slide118

METODE PERSEGI PANJANG

  • Metode secara numerik
    • Metode Pendekatan Persegi Panjang
    • Metode Trapesium
  • Metode Pendekatan Persegi Panjang
  • Bagi interval a sampai b atas n sub-interval 
  • Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (xk )
  • Hitung luas tiap-tiap persegi panjang tersebut Pk = h * f (xk )
  • Jumlahkan semua luaspersegi panjang tersebut

slide119

METODE PERSEGI PANJANG

  • Selain mengambil tinggi persegi panjang ke-k, sama dengan f (xk ) yaitu nilai fungsi pada ujung kanan sub-interval ke-k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan f (xk-1 ) yaitu nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval, ataupun juga pada :

 yaitu nilai fungsi pada titik tengah sub-interval

  • Contoh:

Cari luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4

Solusi:

    • Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1
    • Luas persegi panjang  P1= 1 * f(1) = 1 * 1 = 1

P2= 1 * f(2) = 1 * 4 = 4

P3= 1 * f(3) = 1 * 9 = 9

P4= 1 * f(4) = 1 * 16 = 16

Luas Total = 30

Penyimpangannya = 30 – 21.33 = 8.66

+

slide120

METODE PERSEGI PANJANG

  • Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8  h = (4 - 0)/8 = 0.5
  • Luas persegi panjang  P1= 1 * f(0.5) = 1 * 1 = 0.125

P2= 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1

P3= 1 * f(1.5) = 1 * 9 = 1.125

P4= 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2

P5= 1 * f(2.5) = 1 * 4 = 3.125

P6= 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5

P7= 1 * f(3.5) = 1 * 16 = 6.125

P8= 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8

Luas Total = 26

Penyimpangannya = 26 – 21.33 = 4.67

  • Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14, dan untuk n = 100 diperoleh L = 21.6544

+

slide121

METODE PERSEGI PANJANG

  • Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval

Luas  P1= 0.5 * f(0.0) = 0.5 * 0 = 0

P2= 0.5 * f(0.5) = 0.5 * 0.25 = 0.125

P3= 0.5 * f(1.0) = 0.5 * 1 = 1

P4= 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = 1.125

P5= 0.5 * f(2.0) = 0.5 * 4 = 2

P6= 0.5 * f(2.5) = 0.5 * 6.25 = 3.125

P7= 0.5 * f(3.0) = 0.5 * 9 = 4.5

P8= 0.5 * f(3.5) = 0.5 * 12.25 = 6.125

Luas Total = 18

+

slide122

METODE PERSEGI PANJANG

  • Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh:

Luas  P1= 0.5 * f(0.25) = 0.03125

P2= 0.5 * f(0.75) = 0.28125

P3= 0.5* f(1.25) = 0.78125

P4= 0.5* f(1.75) = 1.53125

P5= 0.5 * f(2.25) = 2.53125

P6= 0.5* f(2.75) = 3.78125

P7= 0.5* f(3.25) = 5.23125

P8= 0.5* f(3.75) = 7.03125

Luas Total = 21.2000

+

Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik.

slide123

METODE TRAPESIUM

  • Metode Trapesium
  • Bagi interval (a, b) menjadi n sub-interval yang sama 
  • Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (xk )
  • Hitung luas trapesium Pk = h * f (xk )

Luas trapesium ke-1 = t1 = ½ ( f(x0) + f(x1) ) * h = h/2 ( f(x0) + f(x1) )

ke-2 =t2 = ½ ( f(x1) + f(x2) ) * h = h/2 ( f(x1) + f(x2) )

…………….

ke-n =tn = ½ ( f(xn-1) + f(xn) ) * h = h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

Luas Total = t1 + t2 + ……. + tn

= h/2 ( f(x0) + f(x1) ) + h/2 ( f(x1) + f(x2) ) + ……. + h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

slide125

METODE TRAPESIUM

  • Contoh:

Hitung luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4

Solusi:

    • Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1
    • Luas total
metode kuadratur gauss
METODE KUADRATUR GAUSS
  • Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik
  • Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral
  • F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang tidak berjarak sama, melainkan simetris terhadap titik tengah interval

I = f(x) dx

= (a-b) [R1 (U1 ) + R2 (u2) + … + Rn (Un)]

U1,U2,…,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2]

(U) = f(x) = f[(b-a)u + ]

X = (b-a)u +

(Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R)

algoritma kuadratur gauss
ALGORITMA KUADRATUR GAUSS

Algoritma:

  • Inisialisasi tabel koefisien gauss
  • Definisikan fungsi integran
  • Tentukan batas pengintegralan a dan b
  • Inisialisasi : sum = 0
  • Hitung : sum = sum + Ri x (Ui), i = 1 sampai n
  • Hitung : I = (b-a) x sum
  • Tulis hasil integral
metode simpson
METODE SIMPSON
  • Paling luas pemakaiannya
  • Untuk pendekatannya memakai parabola yang melalui 3 ordinat dari 2 interval berdampingan
  • Eksak untuk polinim derajat dua atau kurang
  • Lebih teliti dan rumus tidak lebih rumit dari metode trapesium
  • n = banyak interval

h =

I = (Y0 + 4Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 +…+ 2Yn-4 + 4Yn-3 + 2Yn-2 +

4Yn-1 + Yn)

Kesalahan pemotongan :

eT ~ (b-a) f (Q), a<Q<b

algoritma metode simpson
ALGORITMA METODE SIMPSON

Algoritma:

  • Definisikan fungsi integran
  • Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap)
  • Hitung : h = (b-a)/n
  • Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h)
  • Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 2 sum = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h)
  • Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b))
  • Tulis hasil perhitungan
penutup
PENUTUP
  • Semoga sukses dalam proses belajar !
  • Tim – MetNum 2005