แม่เหล็กไฟฟ้า

1. แม่เหล็กไฟฟ้า 1. กฏของคูลอมบ์ 2. สนามไฟฟ้า 3. กฏของเกาส์ 4. ศักย์ไฟฟ้า 5. ความจุและไดอิเล็กทริก 6. สนามแม่เหล็ก 7. แหล่งกำเนิดสนามแม่เหล็ก 8. การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก 9. สมการแมกซ์เวล

2. ตัวอย่าง 1อิเลกตรอนและโปรตอนของไฮโดรเจนอะตอมกระจายโดยมีระยะห่างระหว่างกันเป็น 5.3x10-11 m จงหาขนาดของแรงทางไฟฟ้า วิธีทำ อิเลกตรอนมีประจุตรงข้ามกับโปรตอน แต่มีขนาดประจุเท่ากัน คือ 1.6x10-19 C จึงเป็นแรงดึงดูดกันที่มีขนาดที่หาได้จากกฎของคูลอมบ์ ดังนี้

3. q1 + 5 cm 3 cm - - 4 cm q2 q3 ตัวอย่าง2ประจุ q1= +7x10-5C , q2 = -4x10-5Cและq3= -5x10-5Cวางอยู่ที่มุมของรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านยาว 3 , 4และ 5 cm จงหาขนาดและทิศของแรงที่กระทำบน q3 วิธีทำ

4. 2 m x 2-x - + + ตัวอย่าง3 จุดประจุ 3 จุด วางตัวอยู่ในแกน x ดังแสดงในรูป ประจุบวก q1= 15 Cอยู่ที่ x= 2 m ประจุบวก q2 = 6 Cอยู่ที่จุดกำเนิด และแรงลัพธ์ที่กระทำต่อ q3 มีค่าเป็นศูนย์ q3มีตำแหน่งใดบนแกน x วิธีทำ จากรูปจุดประจุ 3 จุด วางตัวอยู่ในแนวแกน x ถ้าแรงสุทธิที่กระทำต่อ q3 มีค่าเป็นศูนย์จะได้ว่า จะต้องเท่ากับและมีทิศทางตรงข้ามกับแรง

5. เนื่องจาก q3 มีเป็นลบและ q1 และ q2 เป็นบวก แรง และ จึงเป็นแรงลบทั้งคู่และมีขนาดดังนี้ ถ้าจะให้แรงลัพธ์ที่กระทำต่อ q3 มีค่าเป็นศูนย์ จะต้องเท่ากับและมีทิศทางตรงข้ามกับแรง นั่นคือ แก้สมการจะได้ว่า แก้สมการกำลังสองเพื่อหาค่า x จะได้ x = 0.775 m

6. แรง เป็นแรงผลักและทำมุม 45o กับแกน x ดังนั้นองค์ประกอบในแนวแกน x และ y ของ แรง มีค่าเท่ากับ แรง มีทิศในแกนลบ x ดังนั้น องค์ประกอบในแนวแกน x และ y ของแรงลัพธ์ที่กระทำบน q3 คือ สามารถแสดงแรงลัพธ์ที่กระทำต่อ q3 ในรูปของเวกเตอร์หน่วยดังนี้ แบบฝึกหัด จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ ตอบ 8.0 N , ทำมุม 98o กับแกน x

7. ตัวอย่าง 5มีประจุที่มีขนาดเท่ากัน 2 ประจุ แต่ละประจุมีมวล 3.0x10-2 kg แขวนอยู่อย่างสมดุลดังรูป ระยะทางของเชือกแต่ละเส้นคือ 0.15 m มุม จงหาขนาดของประจุบนทรงกลมแต่ละอัน วิธีทำ ระยะห่างระหว่างทรงกลม = 2a = 0.026 m T = mg/cos รูป (a) ทรงกลม 2 อันที่เหมือนกันแต่ละอันมี ประจุ q อยู่ในภาวะสมดุล (b) แผนภาพทรงกลมอิสระทางด้านซ้าย

8. จากกฎของคูลอมบ์ ขนาดของแรงทางไฟฟ้าคือ เมื่อ r = 2a = 0.026 m คือขนาดของประจุในทรงกลมแต่ละอัน ทำการแก้สมการเพื่อหาค่า แบบฝึกหัดถ้าประจุบนทรงกลมเป็นประจุลบต้องเพิ่มอิเลกตรอนอีกกี่ตัวเพื่อจะทำให้ประจุสุทธิมีค่า -4.4x10-8 C ตอบ 2.7x1011 ตัว

9. ตัวอย่าง 1 Electric field due to two charges ประจุ q1 = 7.0 C อยู่ที่จุดกำเนิด และประจุ q2 = -5.0 C อยู่บนแกน x ห่างจากจุดกำเนิด 0.3 m ดังรูป จงหาสนามไฟฟ้าที่ตำแหน่ง P ซึ่งมีพิกัดที่ (0,0.40) m วิธีทำ เริ่มแรกให้หาขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุด P ที่เกิดจากประจุแต่ละตัว สนาม E1 เกิดจากประจุ 7.0 C และ E2 เกิดจากประจุ -5.0 C รูป สนามไฟฟ้า E ที่จุด P เท่ากับผลรวมแบบเวกเตอร์ E1+E2

10. มีเฉพาะองค์ประกอบในแนวแกน y เป็น มีองค์ประกอบในแนวแกน x เป็น และมีองค์ประกอบในแกน –y เป็น ดังนั้นเขียนในรูปเวกเตอร์ได้ ดังนี้ สนามลัพธ์ E ที่จุด P เป็นผลรวมระหว่าง E1 และ E2 จะได้ E มีขนาด กับแกนบวก x และทำมุม แบบฝึกหัด จงหาแรงไฟฟ้าที่กระทำต่อประจุ 2x10-8 C ที่จุด P ตอบ 5.4x10-3 Nมีทิศเดียวกับสนามไฟฟ้า E

11. ตัวอย่าง 2 Electric field of dipole ไดโพลไฟฟ้า (an electric dipole) นิยามคล้ายกับว่าเป็นคู่ประจุ +q และประจุ -q อยู่ห่างกันเป็นระยะทางค่าหนึ่ง ดังรูป จงหาสนามไฟฟ้า E ที่จุด P ที่เกิดจากประจุที่ซึ่ง P มีระยะทาง y >> a จากจุดกำเนิด วิธีทำ ที่จุด P สนาม E1 และ E2 ที่เกิดจากประจุทั้งสองมีขนาดเท่ากันเนื่องจากจุด P มีระยะห่างจากประจุทั้งสองเท่ากัน สนามรวมทั้งหมดคือ เมื่อ องค์ประกอบในแนวแกน y ของ E1 และ E2 หักล้างกันและกัน องค์ประกอบในแนวแกน x นำมาบวกกันเนื่องจากเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศในแกนบวก x ทั้งคู่ ดังนั้น E จะขนานกับแกน x มีขนาดเท่ากับ รูปสนามไฟฟ้า Eที่จุด P เนื่องจากประจุ 2 ตัวที่มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศทางตรงข้ามกัน มีค่าเท่ากับผลรวมแบบเวกเตอร์ของE1 และE2

12. เมื่อ จากรูป พบว่า ดังนั้น เพราะว่า y>>a เราสามารถละทิ้ง a2 ได้ ดังนั้น เราพบว่าขนาดของ E แปรผกผันตามกำลังสามของ ระยะทางที่อยู่บนเส้นตรงที่ตั้งฉากซึ่งแบ่งครึ่งระยะทางระหว่างไดโพล

13. ตัวอย่าง 3 Motion of charged particle in a uniform electric field เมื่ออนุภาคมีประจุ q และ มวล m วางอยู่ในสนามไฟฟ้า E แรงทางไฟฟ้าที่กระทำต่อประจุคือ qE ถ้านี่คือแรงเพียงอย่างเดียวที่กระทำต่ออนุภาคมันจะเป็นแรงสุทธิที่กระทำต่อประจุและทำให้เกิดความเร่งของอนุภาค ในกรณีนี้สามารถประยุกต์ใช้กฎข้อสองของนิวตันกับอนุภาคได้ดังนี้ ความเร่งของอนุภาคเป็นดังนี้ ถ้า E มีค่าสม่ำเสมอ (มีขนาดและทิศทางคงที่) จะได้ว่าความเร่งมีค่าคงที่ด้วย ถ้าอนุภาคมีประจุบวกเมื่อมันถูกเร่งในทิศเดียวกับสนามไฟฟ้า ถ้าอนุภาคมีประจุลบมันจะถูกเร่งในทิศตรงข้ามกับสนามไฟฟ้า

14. L a ตัวอย่าง The electric field due to a charged rod แท่งความยาว L มีประจุบวกกระจายอย่างสม่ำเสมอต่อหนึ่งหน่วยความยาวเป็น และมีประจุรวม Q จงคำนวณหาสนามไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งมีตำแหน่งอยู่บนแกนของแท่งห่างจากปลายด้านหนึ่งเป็นระยะทาง a ดังรูป วิธีทำ รูปสนามไฟฟ้าที่จุด P ที่เกิดจากประจุสม่ำเสมอบนแท่งที่วางตัวอยู่ในแนวแกน x ขนาดของสนามที่ P เนื่องจากส่วนของประจุ dq คือ kQ/x2สนามรวมที่ P คือผลรวมแบบเวกเตอร์ตลอดแท่ง เมื่อเราใช้ความจริงที่ว่า ถ้า P อยู่ห่างจากแท่ง (a >> L) สามารถตัดทิ้งค่า L ที่เป็นตัวหารได้ จะได้ว่า นี่คือสนามที่คาดว่าจะได้จากจุดประจุ ถ้าค่า a / L มีขนาดมากการกระจายของประจุจะปรากฏในรูปของจุดประจุขนาด Q

15. ตัวอย่าง The electric field of a uniform ring of charge ห่วงมีรัศมี a มีประจุบวกทั้งหมด Q กระจายอยู่อย่างสม่ำเสมอ จงคำนวณหาสนามไฟฟ้าที่เกิดจากห่วงที่ตำแหน่ง P ซึ่งวางตัวอยู่ในแกน x ห่างจากจุดศูนย์กลางห่วงไปตามแกนกลาที่ตั้งฉากกับระนาบของห่วง รูปวงแหวนรัศมี a มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอ(a) สนามที่จุด P บนแกน x เนื่องจากส่วนของประจุ dq (b) สนามไฟฟ้ารวมที่ P อยู่ในแนวแกน x วิธีทำ ถ้า และ จะได้ว่า ผลแสดงให้เห็นว่าสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ที่ x = 0

16. ตัวอย่าง The electric field of a uniformly charged disk จานกลมรัศมี R มีความหนาแน่นประจุเชิงพื้นผิวเป็น จงคำนวณสนามไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งวางตัวตามแกนกลางซึ่งตั้งฉากกับจานกลมห่างจากจุดศูนย์กลางของจานกลมเป็นระยะทาง x วิธีทำ ใช้ผลค่า Ex ในตัวอย่างที่แล้ว (โดยแทน a ด้วย r ) ทำการอินทิเกรทจาก r = 0 ถึง r = R เพื่อหา สนามรวมทั้งหมดที่ P (x มีค่าคงที่) จะได้ว่า รูปจานกลมซึ่งมีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอรัศมี R สนามไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งอยู่บนแกนกลางมีทิศตามแกนกลางและตั้งฉากกับจานกลม โดยสมมติให้ R >> x ดังนั้น ส่วนที่อยู่ในวงเล็บจะลดรูปเป็นหนึ่ง เมื่อ คือค่ายินยอมในสูญญากาศ (the permittivity of free space)

17. ตัวอย่าง An accelerating positive charge จุดประจุบวกขนาด q มวล m ถูกปล่อยออกจากสถานะหยุดนิ่งในสนามไฟฟ้าที่มีขนาดสม่ำเสมอ E ที่มีทิศเดียวกับแกน x ดังแสดงในรูป จงอธิบายการเคลื่อนที่ของประจุ q วิธีทำ ความเร่งของประจุจะมีค่าคงที่เท่ากับ qE/m การเคลื่อนที่เป็นแบบเส้นตรงตามแนวแกน x ดังนั้น เราสามารถประยุกต์ใช้สมการกลศาสตร์ในหนึ่งมิติดังนี้ ให้ xi = 0 และ vxi= 0 จะได้ว่า รูปจุดประจุบวก q อยู่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอEมีความเร่งคงที่ในทิศเดียวกับสนามไฟฟ้า พลังงานจลน์ของประจุภายหลังที่มันเคลื่อนที่ได้ระยะทาง x = xf – xi คือ

18. สนามไฟฟ้าระหว่างแผนขนานที่มีประจุตรงข้ามกันถือว่ามีค่าสม่ำเสมอดังรูป สมมติว่าอิเลกตรอนประจุ –e เคลื่อนที่ในแนวราบเข้าไปในสนามด้วยความเร็วเริ่มต้น เพราะว่าสนามไฟฟ้า E ในรูปมีทิศตามแกนบวก y ความเร่งของอิเลกตรอนมีทิศในแนวแกนลบ y นั่นคือ เพราะว่าความเร่งมีค่าคงที่เราสามารถประยุกต์ใช้สมการจลน์ศาสตร์ในสองมิติได้ เมื่อ vxi= vi และ vyi= 0 หลังจากอิเลกตรอนเข้าไปใสนามไฟฟ้าเป็นเวลา t องค์ประกอบความเร็วของอิเลกตรอนคือ ตำแหน่งของอิเลกตรอน หลังเวลาผ่านไป t คือ รูปอิเลกตรอนเคลื่อนที่ในแนวราบเข้าไปในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอที่เกิดจากแผ่นขนานที่มีประจุ โดยอิเล็กตรอนถูกเร่งในทิศลง (ตรงข้ามกับทิศของ E) การเคลื่อนที่ของมันเป็นแบบ parabolic ขณะที่มันอยู่ระหว่างเพลท แทนค่า t = x /viจะพบว่า yเป็นสัดส่วนตรงกับ x2 ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นแบบพาราโบลา หลังจากอิเลกตรอนหลุดออกจากสนามมันจะเคลื่อนที่ต่อไปแบบเส้นตรงในทิศของ v ดังรูป

19. ตัวอย่าง An accelerated electron อิเลกตรอนเคลื่อนที่เข้าไปในสนามไฟฟ้าขนาดสม่ำเสมอ ดังรูป ด้วยความเร็ว v และ E = 200 N/C ความยาวของเพลทในแนวระนาบ L= 0.1 m (ก) จงหาความเร่งของอิเลกตรอนขณะที่มันอยู่ในสนามไฟฟ้า (ข) จงหาเวลาที่อิเลกตรอนใช้ในการเคลื่อนที่ผ่านสนามไฟฟ้า (ค) ระยะขจัดของอิเลกตรอนในแนวแกน y ขณะที่มันอยู่ในสนามไฟฟ้า L วิธีทำ y v x E ผลที่ได้จาก (ก) และ (ข) จะพบว่าถ้าการระยะทางระหว่างเพลทน้อยกว่าค่าที่ได้อิเลกตรอนจะชนกับเพลทที่มีประจุบวก ถ้าระยะห่างระหว่างเพลทน้อยกว่านี้ อิเลกตรอนจะชนกับเพลทที่เป็นบวก แบบฝึกหัด จงหาความเร็วของอิเลกตรอนขณะที่มันหลุดออกจากเพลท

20. ตัวอย่าง Flux through a sphere ฟลักซ์ไฟฟ้าที่พุ่งผ่านทรงกลมรัศมี 1 เมตรซึ่งมีประจุ +1 C ที่ศูนย์กลางทรงกลมมีค่าเท่าไร วิธีทำ ขนาดของสนามไฟฟ้า E ที่ห่างจากประจุเป็นระยะ 1 เมตร มีขนาดเท่ากับ สนามจะมีทิศชี้ออกในแนวรัศมีและจะตั้งฉากกับพื้นผิวทรงกลมในทุกจุดโดยฟลักซ์ที่ผ่านทรงกลมคือ แบบฝึกหัด (ก) สนามไฟฟ้ามีค่าเท่าไร (ข) ฟลักซ์ที่พุ่งผ่านทรงกลมรัศมี 0.5 m มีค่าเท่าไร ตอบ (ก)3.6x104 N/C (ข) 1.13x105 N.m2/C

21. ตัวอย่าง Flux through a cube พิจารณาสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ E ที่พุ่งออกมาตามแนวแกน x ดังรูป จงหาฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่พุ่งผ่านลูกบาศก์ที่มีด้านยาว L ฟลักซ์สุทธิคือผลรวมของฟลักซ์ที่พุ่งออกมาจากทุกๆ ด้านของลูกบาศก์ โดยฟลักซ์ที่พุ่งผ่านผิวที่ 3 ,4 และผิวที่ไม่มีหมายเลขกำกับ (ด้านข้าง) มีค่าเป็นศูนย์ เพราะว่า E ตั้งฉากกับ dA บนพื้นผิวเหล่านี้ วิธีทำ L พื้นผิวแต่ละหน้าคือ A = L2 ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่พุ่งผ่านผิวที่ 1 คือ L L รูป พื้นผิวปิดรูปลูกบาศก์ในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอที่ขนานกับแกน x ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่ผ่านผิวปิดมีค่าเป็นศูนย์ ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิที่พุ่งผ่านผิวที่ 2 คือ ดังนั้น ฟลักซ์สุทธิที่พุ่งผ่านผิวทั้งหกด้านคือ

22. ตัวอย่าง สนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุ จากกฎของเกาส์จงคำนวณหาสนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุเดี่ยว q วิธีทำ เราเลือกผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลมรัศมี r มีศูนย์กลางที่จุดประจุดังรูปสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุบวกมีทิศพุ่งออกตามแนวรัศมีและตั้งฉากกับพื้นผิวในทุกจุดจากสภาวะที่(2) Eขนานกับ dAดังนั้น กฎของเกาส์จะได้ว่า จากความสมมาตร E มีค่าคงที่ทุกๆจุดบนพื้นผิวและสอดคล้องกับสภาวะที่ (1) ดังนั้นสามารถดึง E ออกมานอกเครื่องหมายอินทิเกรทได้ รูปจุดประจุ q ที่ศูนย์กลางของพื้นผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลมโดยEขนานกับ dA เนื่องจากพื้นผิวทรงกลมคือ 4r2ดังนั้น สนามไฟฟ้าเนื่องจากจุดประจุคือ

23. ตัวอย่าง การกระจายประจุสม่ำเสมอแบบทรงกลม ทรงกลมตันซึ่งเป็นฉนวนมีความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตรสม่ำเสมอเป็นประจุบวก Q (a) จงคำนวณหาขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุดภายนอกทรงกลม (b) จงคำนวณหาขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุดภายในทรงกลม วิธีทำ (a) เนื่องจากการกระจายประจุเป็นสมมาตรทรงกลม เราจึงเลือกพื้นผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลมซึ่งมีจุด ศูนย์กลางเดียวกันกับทรงกลมตันดังนั้น รูปทรงกลมฉนวนมีประจุกระจายสม่ำเสมอมีประจุสุทธิ Q (a)ขนาดของสนามไฟฟ้าภายนอกคือ E = kQ/r2 (b)ขนาดของสนามไฟฟ้าภายในคือ E = kQr/a3 ผลที่ได้เหมือนกับกรณีจุดประจุสรุปได้ว่าทรงกลมประจุสนามบริเวณภายนอกทรงกลมมีค่าเท่ากับสนามเนื่องจากจุดประจุที่อยู่ในพื้นผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลม (b) ในกรณีนี้เลือกผิวเกาส์เซียนแบบทรงกลมรัศมี r < a มีศูนย์กลางร่วมกับทรงกลมตันดังรูป(b) กำหนดให้ปริมาตรของทรงกลมเล็กเป็น V/ใช้กฎของเกาส์กับกรณีนี้โดยพบว่ามีประจุ qinอยู่ในปริมาตร V/ซึ่งน้อยกว่า Q ทำการคำนวณ qin • รูปกราฟระหว่าง E และ r • เมื่อ r < a สนามไฟฟ้าจะแปรผันแบบเชิงเส้นกับ r • เมื่อ r > a สนามไฟฟ้าจะแปรผันกับ 1/r2

24. จากหลักความสมมาตรขนาดของสนามไฟฟ้ามีค่าคงที่ทุกจุดในทรงกลมเกาส์เซียนและตั้งฉากกับพื้นผิวในทุกๆจุดและเนื่องจากมีความสอดคล้องกับสภาวะ (1) (2) จากกฎของเกาส์ เมื่อ r < a ดังนั้น และจาก เนื่องจาก ดังนั้น (เมื่อ r < a) ผลที่ได้สำหรับค่า E แตกต่างจากข้อ (a) โดยมันแสดงว่า E 0เมื่อ r  0นั่นคือ จะไม่เกิดปัญหาที่ตำแหน่ง r = 0 ซึ่งถ้าหาก E แปลผันกับ 1/r2ภายในทรงกลมเหมือนกับกรณีภายนอกทรงกลมซึ่งถ้า E  1/r2เมื่อ r < a สนามไฟฟ้าจะมีค่าเป็นอนันต์ที่ r = 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ในทางฟิสิกส์โดยสูตรที่ได้จาก (a) และ (b) มีค่าเท่ากันที่ r = a

25. ตัวอย่าง สนามไฟฟ้าเนื่องจากเปลือกทรงกลมบาง เปลือกทรงกลมบางรัศมี a มีประจุสุทธิ Q กระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวดังรูป (a) จงหาสนามไฟฟ้าที่จุด (a) ภายนอก (b) ภายใน วิธีทำ คำนวณสนามภายนอกเปลือกทรงกลมบางเหมือนกับกรณีทรงกลมตัน (a) ถ้าทำการกำหนดพื้นผิวเกาส์เซียนทรงกลมรัศมี r > a มีศูนย์กลางเดียวกับเปลือกทรงกลมบางดังรูป 24.13b ประจุภายในพื้นผิวคือ Q ดังนั้นสนามที่จุดภายนอกเปลือกทรงกลมจะเท่ากับมีประจุ Q ที่จุดศูนย์กลาง รูปสนามไฟฟ้า (a) ภายในเปลือกทรงกลมมีประจุมีค่าเป็นศูนย์ (b) พื้นผิวเกาส์เซียนเมื่อ r>a (c) พื้นผิวเกาส์เซียนเมื่อ r>a (r > a) (b) สนามไฟฟ้าภายในเปลือกทรงกลมมีค่าเป็นศูนย์เนื่องจากประยุกต์กฎของเกาส์เข้ากับผิวของทรงกลมรัศมี r < a ซึ่งมีจุดศูนย์กลางเดียวกับเปลือกทรงกลมดังรูปc เพราะว่าประจุมีการกระจายแบบทรงกลมสม่ำเสมอและเพราะว่าประจุสุทธิภายในพื้นผิวเป็นศูนย์สอดคล้องกับสภาวะที่ (1) (2) และจากกฎของเกาส์ทำให้สรุปได้ว่า E = 0 เมื่อ r < a

26. ตัวอย่างการกระจายประจุอย่างสม่ำเสมอแบบทรงกระบอกตัวอย่างการกระจายประจุอย่างสม่ำเสมอแบบทรงกระบอก จงหาสนามไฟฟ้าที่ระยะ r ห่างจากเส้นของประจุบวกที่มีความยาวอนันต์และประจุต่อหนึ่งหน่วยความยาวมีค่าคงที่ วิธีทำ จากความสมมาตรในการกระจายประจุต้องอยู่ในสภาวะที่ E ตั้งฉากกับเส้นประจุและมีทิศทางพุ่งออกดังรูป a และ b เพื่อแสดงให้เห็นว่าการกระจายประจุมีความสมมาตรเราเลือกผิวเกาส์เซียนแบบทรงกระบอกมีรัศมี r ความยาว l มีศูนย์กลางเดียวกับเส้นประจุและมีความสอดคล้องกับสภาวะที่ (1) (2) และฟลักซ์ที่ผ่านปลายทั้งสองของผิวเกาส์เซียนเป็นศูนย์เนื่องจากEขนานกับพื้นผิวทำการอินทีเกรทกฎของเกาส์ตลอดผิวเกาส์เซียนในส่วนที่เป็นผิวทรงกระบอก (ไม่รวมปลายทั้งสอง) ประจุสุทธิภายในผิวเกาส์เซียนคือดังนั้นจะได้ว่า โดยผิวของทรงกระบอกมีค่าเป็น รูป(a) เส้นประจุมีความยาวอนันต์ล้อมรอบด้วยผิวเกาส์เซียนทรงกระบอกมีศูนย์กลางเดียวกันกับเส้นประจุ (b) end view แสดงว่าสนามไฟฟ้าที่ผิวทรงกระบอกมีขนาดคงที่และตั้งฉากกับพื้นผิว พบว่าสนามไฟฟ้าบนทรงกะบอกที่มีประจุกระจายอย่างสมมาตรแปรผันกับ 1/rในขณะที่การกระจายประจุอย่างสม่ำเสมอแบบทรงกลมสนามไฟฟ้าแปรผันตรงกับ 1/r2

27. http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htmhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm • จากรูปจงหาฟลักซ์ไฟฟ้าของพื้นที่ผิวปิดถ้า  q1 =  q4  = +3.1 nC   • q2  =  q5  =  -5.9 nC  และ  q3  =  -3.1 nC วิธีทำ

28. http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htmhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm 2. ภาพแผ่นประจุคู่ขนานภายในมีจุดประจุบวกจงเรียงจากตำแหน่งที่มีสนามไฟฟ้ามากไปหาตำแหน่งที่มีสนามไฟฟ้าน้อย ตอบ3,4,2,1

29. http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htmhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm 3. เครื่องวัดที่เห็นดังรูปชื่อว่าไกเกอร์เคาเตอร์ใช้สำหรับวัดการแผ่รังสีซึ่งเกิดจากการอิออไนเซชั่นของอะตอมอุปกรณ์ทำจากเส้นลวดประจุบวกล้อมรอบด้วยทรงกระบอกประจุลบเมื่อมีรังสีมากระทบกับทรงกระบอกรังสีจะกระแทกให้อิเล็กตรอนหลุดออกจากทรงกระบอกกลายเป็นอิเล็กตรอนอิสระ (e)  เพราะมีสนามไฟฟ้าระหว่างทรงกระบอกกับเส้นประจุอิเล็กตรอนอิสระนี้จะถูกเร่งให้มีความเร็วเเพิ่มขึ้นชนเข้ากับอนุภาคอากาศที่อยู่ภายในทรงกระบอกทำให้อะตอมของอากาศเกิดการอิออไนเซชั่นมีอิเล็กตรอนอิสระเกิดมากขึ้นก่อนจะมาถึงเส้นประจุปรากฎการณ์นี้เรียกว่าการอะวาลานซ์หรือการทลายตัวของหิมะซึ่งเกิดจากการเคลื่อนตัวของหิมะเพียงเล็กน้อยในตอนเริ่มต้นจนเกิดการทลายตัวหรือการเคลื่อนตัวครั้งใหญ่ในครั้งต่อไปเส้นประจุจะดีเทคอิเล็กตรอนเกิดเป็นสัญญาณทางไฟฟ้าส่งไปที่เครื่องแปรสัญญาณสมมติว่ารัศมีของเส้นลวดคือ  25  ไมโครเมตรรัศมีของทรงกระบอกคือ 1.4 เซนติเมตรและความยาวของทรงกระบอกเท่ากับ 16 เซนติเมตรถ้าสนามไฟฟ้าภายในทรงกระบอกคือ  2.9 x 104 N/C จงคำนวณหาประจุบวกทั้งหมดบนเส้นลวดประจุ ตอบ3.6  นาโนคูลอมบ์

30. ตัวอย่าง The electric field between two parallel plates of opposite charge แบตเตอรี่ขนาด 12 V สร้างความต่างศักย์ระหว่างแผ่นตัวนำที่ติดอยู่กับมันดังรูป โดยมีระยะระหว่างแผ่นขนานเป็น d = 0.30 cm และสมมติว่าสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นขนานมีค่าสม่ำเสมอ จงหาขนาดของสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นคู่ขนาน วิธีทำ สนามไฟฟ้ามีทิศจากแผ่นประจุบวก (A) ไปยังแผ่นประจุลบ (B) โดยแผ่นที่เป็นบวกจะมีศักย์ไฟฟ้าสูงกว่าแผ่นที่เป็นลบ ความต่างศักย์ระหว่างแผ่นจะเท่ากับความต่างศักย์ของแบตเตอร์รี นั่นคือทุกๆ จุด บนแผ่นตัวนำจะมีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน ดังนั้น ขนาดของสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นมีค่าดังสมการ รูป แบตเตอร์รี่ขนาด 12 V ต่ออยู่กับแผ่นคู่ขนาน สนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นมีขนาดเท่ากับความต่างศักย์ หารด้วยระยะห่างระหว่างแผ่นขนาน d รูปนี้เรียกว่า a parallel-plate capacitor

31. ตัวอย่าง Motion of a proton in a uniform electric field โปรตอนถูกปล่อยจากสถานะหยุดนิ่งในสนามไฟฟ้าขนาด 8x104 V/m ซึ่งมีทิศในแกนบวก x ดังรูปโปรตอนเคลื่อนที่ได้ระยะขจัด 0.50 m ในทิศของสนาม E (ก) จงหาการเปลี่ยนแปลงของศักย์ไฟฟ้า Vระหว่างจุด A และ B (ข) จงหาการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ U ของโปรตอนเนื่องจากการกระจัด 0.5 m นี้ วิธีทำ เพราะว่าโปรตอนเคลื่อนที่ในทิศของสนามไฟฟ้า ดังนั้นมันจะเคลื่อนที่ไปยังจุดที่มีศักย์ไฟฟ้าต่ำกว่า จะได้ว่า เครื่องหมายลบแสดงว่าพลังงานศักย์ของโปรตอนลดลงเมื่อมันเคลื่อนที่ตามสนามไฟฟ้า นั่นคือโปรตอนถูกเร่งในสนามไฟฟ้ามันได้รับพลังงานจลน์เพิ่มขึ้นและในขณะเดียวกันมันก็จะสูญเสียพลังงานศักย์ (เนื่องจากพลังงานมีการอนุรักษ์) รูปโปรตอนถูกเร่งจาก AไปB ในทิศของสนามไฟฟ้า แบบฝึกหัดใช้แนวคิดในการอนุรักษ์พลังงานหาความเร็วของโปรตอนที่จุด B ตอบ2.8 x 106 m/s

32. ตัวอย่าง The electric potential to two point charges ประจุ q1 = 2 C และ q1 = -6C อยู่ที่ตำแหน่ง (0, 0)m และ (0, 3.0) m ตามลำดับ ดังแสดงในรูป (a) (ก) จงหาศักย์ไฟฟ้ารวมที่ P ซึ่งอยู่ที่ตำแหน่ง (4.0,0.0) m เนื่องจากประจุเหล่านี้ (ข) จงหาการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ของประจุ 3.0 C ถ้ามันเคลื่อนที่จากระยะอนันต์ไปยังจุด P ในรูป (b) วิธีทำ (ก) สำหรับระบบสองประจุ สามารถหาผลรวมของศักย์ไฟฟ้าได้โดยใช้สมการ รูป (a) ศักย์ไฟฟ้าที่จุด P เนื่องจากประจุทั้งสองเป็นผลรวมของศักย์ไฟฟ้าของประจุแต่ละตัว (b) รูปแสดงระบบของประจุ 3 ประจุ (ข) เมื่อประจุอยู่ที่ระยะอนันต์ Ui = 0 และเมื่อประจุอยู่ที่ P Uf = q3Vp ดังนั้น ดังนั้นถ้า งานที่เป็นบวกจากภายนอกจะใช้ในการเคลื่อนย้ายประจุจากจุด P กลับไปยังจุดที่เป็นอนันต์ แบบฝึกหัด จงหาพลังงานศักย์ของระบบดังแสดงในรูป (b)ตอบ-5.48 x10-2 J

33. ตัวอย่าง The electric potential due to a dipole ไดโพลไฟฟ้าประกอบด้วยประจุสองตัวที่มีขนาดเท่ากันที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกันอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง 2a ดังรูป ไดโพลวางตัวอยู่ในแนวแกน x มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (ก) จงคำนวณศักย์ไฟฟ้าที่ P (ข) จงคำนวณ V และ Ex ณ จุดซึ่งอยู่ห่างจากไดโพลมากๆ (x >> a)

34. (ค) จงคำนวณหา V และ Ex ถ้า P อยู่ที่ตำแหน่งใดๆ ระหว่างประจุทั้งสอง เราสามารถตรวจผลที่ได้โดยใช้สภาวะที่จุดศูนย์กลางของไดโพลที่ x = 0 , V = 0 และ Ex = -2kEq/a2

35. ตัวอย่าง Electric potential due to a uniformly charged ring • จงหาสูตรสำหรับศักย์ไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งอยู่บนแกนกลางซึ่งตั้งฉากกับห่วงกลมที่มีการกระจายของประจุอย่างสม่ำเสมอ โดยห่วงกลมมีรัศมี a มีประจุทั้งหมด Q • (ข) จงหาสูตรสำหรับขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุด P วิธีทำ (ก) ศักย์ไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งอยู่บนแกนกลางซึ่งตั้งฉากกับห่วงกลมที่มีการกระจายของประจุอย่างสม่ำเสมอ โดยห่วงกลมมีรัศมี a มีประจุทั้งหมด Q รูปวงแหวนมีประจุอย่างสม่ำเสมอรัศมี r วางตัวอยู่ในระนาบซึ่งตั้งฉากกับแกน x ส่วนเล็กๆ dq ทุกส่วนบนวงแหวนมีระยะห่างจากจุด P ซึ่งอยู่บนแกน x เท่ากัน แต่ละประจุ dq อยู่ห่างจาก P เป็นระยะทางที่เท่ากัน ดังนั้น ...(1)

36. (ข) หาสูตรสำหรับขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุด P จากหลักความสมมาตร พบว่า E ตามแนวแกน x มีแต่องค์ประกอบในแนวแกน x

37. ตัวอย่าง Electric potential due to a uniformly charged disk จงหา ศักย์ไฟฟ้าและขนาดของสนามไฟฟ้า ตามแกนกลางซึ่งตั้งฉากจานกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอ โดยจานกลมมีรัศมี a และมีความหนาแน่นประจุเชิงพื้นผิว  วิธีทำ เลือกจุด P ห่างจากจุดศูนย์กลางของจานกลมเป็นระยะทาง x และให้ระนาบของจานกลมตั้งฉากกับแกน x เราสามารถทำปัญหาให้ง่ายขึ้นได้ โดยแบ่งจานกลมให้เป็นชุดห่วงกลมซึ่งมีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอ ศักย์ไฟฟ้าของแต่ละห่วงกลมแสดงดังสมการ(1) พิจารณาห่วงกลมรัศมี r หนา dr ดังรูป พื้นผิวหน้าของห่วงกลมคือ รูปจานกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอรัศมี a วางตัวอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกน x ดังนั้น ศักย์ที่ P เนื่องจากห่วงกลมคือ

38. ทำการหาศักย์ไฟฟ้ารวมที่จุด P โดยการรวมศักย์ไฟฟ้าของแต่ละห่วงกลม นั่นคือทำการอินทิเกรต dV จาก r = 0 ไปถึง r = a อินทิกรัลนี้อยู่ในรูป undu ให้ผลเฉลยเป็น un+1 /(n+1) เมื่อ n = -1/2 และ u = r2+x2 จะได้ว่า หาสนามไฟฟ้าที่จุดใดๆ บนแกนกลางซึ่งตั้งฉากจานกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอได้จาก

39. y P r a dq x x L ตัวอย่าง Electric potential due to a finite line of charge แท่งความยาว L วางตัวตามแนวแกน x มีประจุรวม Q และความหนาแน่นประจุเชิงเส้นมีค่าสม่ำเสมอเป็น จงหาศักย์ไฟฟ้าที่จุด P ซึ่งอยู่บนแกน y ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะทาง a วิธีทำ จะได้ว่า ดังนั้น รูป เส้นประจุสม่ำเสมอยาว L วางตัวอยู่บนแกน x

40. ตัวอย่าง Electric potential due to a uniformly charged sphere ทรงกลมฉนวนแข็งรัศมี R มีความหนาแน่นประจุบวกเชิงปริมาตรสม่ำเสมอและมีประจุรวมเป็น Q จงหาศักย์ไฟฟ้าที่จุดภายนอกทรงกลม ที่ผิวทรงกลม และภายในทรงกลม วิธีทำ ขนาดของสนามไฟฟ้าภายนอกทรงกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอรัศมี R คือ (r > R) โดยสนามมีทิศชี้ออกตามแนวรัศมีเมื่อ Q เป็นบวก ในการหาศักย์ไฟฟ้าที่จุดภายนอกเช่นที่จุด B รูปทรงกลมฉนวนมีประจุกระจายสม่ำเสมอรัศมี R มีประจุรวม Q

41. เพราะว่าศักย์มีค่าต่อเนื่องที่ r = R เราจะใช้สูตรที่ได้ในการหาศักย์ที่ผิวของทรงกลม เช่น ศักย์ที่จุด C สนามไฟฟ้าภายในทรงกลมตันฉนวนที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอคือ เราสามารถหาค่าความต่างศักย์ VD– VC ที่จุด D ภายในทรงกลม แทนค่า VC = kEQ/R ลงไปจะได้ ที่ r = R สูตรที่ได้จะแสดงให้เห็นค่าของศักย์ไฟฟ้าที่พื้นผิวซึ่งก็คือ VC นั่นเอง

42. กราฟระหว่างศักย์ไฟฟ้า V และระยะทาง r จากจุดศูนย์กลางของทรงกลมฉนวนที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอรัศมี R ศักย์ไฟฟ้ามีค่าสูงสุด V0ที่จุดศูนย์กลางของทรงกลม แบบฝึกหัดขนาดของสนามไฟฟ้าและศักย์ไฟฟ้าที่ศูนย์กลางของทรงกลมมีค่าเท่าไร ตอบ E = 0 , V = 3kQ/2R

43. ตัวอย่าง Two connected charged sphere ตัวนำทรงกลม 2 อันมีรัศมี r1 และ r2 อยู่ห่างกันเป็นระยะทางที่มากกว่ารัศมีของทรงกลมทั้งสองมากทรงกลมทั้งสองเชื่อมต่อกันด้วยสายตัวนำ ดังรูป ประจุบนทรงกลมสมดุลมีค่าเป็น q1 และ q2 จงหาอัตราส่วนของสนามไฟฟ้าที่พื้นผิวของทรงกลมทั้งสอง วิธีทำ เพราะว่าทรงกลมเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตัวนำ ดังนั้นมันจะมีศักย์ไฟฟ้าเดียวกัน เนื่องจากทรงกลมอยู่ห่างกันมากและพื้นผิวมีการประจุอย่างสม่ำเสมอ ดังนั้น ขนาดของสนามไฟฟ้าของผิวทรงกลมแต่ละอันคือ รูปตัวนำทรงกลม 2 อันเชื่อมต่อกันโดยเส้นตัวนำทรงกลมจะมีศักย์ไฟฟ้าเดียวกัน จะได้ว่า

44. http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asphttp://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp แบบฝึกหัด • 1. จงหาสนามไฟฟ้าและศักย์ไฟฟ้าที่จุดศูนย์กลางของทรงกลมฉนวนที่มีรัศมี R และมีประจุไฟฟ้า Q • ตอบ E = 0 และ V0 = 3kQ/2R • สี่เหลี่ยมจัตุรัส มีเส้นทแยงมุมยาว 0.2 m วางประจุ 3x10-6 C, -2x10-6 C, 8x10-6 C และ –5x10-6 C ที่มุมทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้ จงหาความต่างศักย์ที่จุดศูนย์กลางสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ • ตอบ 3.6x105 V

45. ไดอิเลกตริก ไดอิเลกตริก (Dielectric) คือวัสดุที่ไม่นำไฟฟ้า ถ้าใช้กั้นระหว่างแผ่นตัวนำของตัวเก็บประจุ จะทำให้ค่าความจุสูงขึ้น ขึ้นกับค่าคงที่ของไดอิเลกตริก k C = kC0 ข้อดีของไดอิเลกตริก • เพิ่มค่าความจุ • เพิ่มโวลท์ใช้งานสูงสุด • กันไม่ให้ตัวนำแตะกัน

46. ตัวอย่าง Parallel-plate capacitor ตัวเก็บประจุแผ่นคู่ขนานมีพื้นที่ A = 2x10-4 m2แผ่นมีระยะห่าง d = 1 mm จงหาค่าความจุของมัน วิธีทำ แบบฝึกหัดค่าความจุของแผ่นขนานที่ห่างกัน 3 mm มีค่าเท่าไร ตอบ0.590 pF

47. ตัวอย่าง The cylindrical capacitor ตัวเก็บประจุทรงกระบอกแข็งรัศมี a มีประจุ Q มีแกนร่วมกันกับเปลือกทรงกระบอกกลวงบางรัศมี b > a ซึ่งมีประจุ –Q จงหาค่าความจุของตัวเก็บประจุทรงกระบอกนี้ถ้ามันมีความยาวL วิธีทำ จากกฏของเกาส์ขนาดสนามไฟฟ้าในทรงกระบอกที่มีการกระจายประจุสม่ำเสมอมีความหนาแน่นประจุเชิงพื้นผิวคือ Er = 2kE /r ในพื้นที่ a < r < b ใช้หลักการนี้กับทรงกระบอกด้านนอกโดย E มีทิศตามแนวรัศมี r และใช้ = Q/Lจะได้ความต่างศักย์ระหว่างทรงกระบอกทั้งสองเท่ากับ รูป (a) ตัวเก็บประจุทรงกระบอก (b) ภาพภาคตัดขวางของตัวเก็บประจุ ดังนั้นค่าความจุขึ้นอยู่กับรัศมีทั้งสองของทรงกระบอกและค่าความจุต่อหนึ่งหน่วยความยาวของตัวเก็บประจุทรงกระบอกที่มีศูนย์กลางร่วมกันคือ

48. ตัวอย่าง The spherical capacitor ตัวเก็บประจุทรงกลมประกอบด้วยเปลือกตัวนำทรงกลมรัศมี b มีประจุ –Q มีศูนย์กลางเดียวกับตัวนำทรงกลมขนาดเล็กรัศมี a ซึ่งมีประจุ Q ดังรูป จงหาค่าความจุของอุปกรณ์นี้ วิธีทำ สนามภายนอกทรงกลมที่มีประจุกระจายอย่างสม่ำเสมอมีค่าเท่ากับ kEQ/r2ในกรณีนี้ประยุกต์ผลที่ได้กับสนามระหว่างทรงกลม a < r < b จากกฎของเกาส์พบว่าภายในทรงกลมเท่านั้นที่มีสนามดังนั้นความต่างศักย์ระหว่างทรงกลมคือ รูปตัวเก็บประจุทรงกลมประกอบด้วยทรงกลมภายในรัศมี a ล้อมรอบด้วยเปลือกทรงกลมรัศมี b ซึ่งมีจุดศูนย์กลางเดียวกัน ดังนั้น

49. ตัวอย่าง Equivalent capacitance จงหาค่าความจุเทียบเท่าระหว่างจุด a และ b สำหรับการต่อตัวเก็บประจุดังรูป(a)โดยกำหนดค่าความจุเป็นไมโครฟารัด (F) วิธีทำ ตัวเก็บประจุขนาด 1 F และ 3 F ต่อกันแบบขนานจะมีความจุเทียบเท่าได้ว่า = 1 + 3 F = 4F ตัวเก็บประจุ 2 F และ 6 Fต่อกันแบบขนานจะมีความจุเทียบเท่า = 2 + 6 F = 8 F ดังนั้นสาขาด้านบนจะเป็นการต่อของตัวเก็บประจุขนาด 4 F แบบอนุกรม 2 ตัวดังนั้น สาขาด้านล่างจะเป็นการต่อของตัวเก็บประจุขนาด 8 F แบบอนุกรม2 ตัวดังนั้น สุดท้ายทำการรวมตัวเก็บประจุขนาด 2 F และ 4F แบบขนาน ดังนั้น จะได้ค่าความจุเทียบเท่าระหว่างจุด a และ b มีค่าเท่ากับCeq = Cupper + Clower = 2 + 4 F = 6 F

50. ตัวอย่าง ตัวเก็บประจุที่ใช้กระดาษเป็นไดอิเลกตริก (A paper-filled capacitor) ตัวเก็บประจุแบบแผ่นขนานแผ่นมีขนาด2 cm x 3cmมีแผ่นกระดาษหนา 1 mm กั้นระหว่างแผ่นขนานจงหา(a) ค่าความจุ (b) ค่าประจุสูงสุดที่สามารถเก็บได้ในตัวเก็บประจุ วิธีทำ ค่าk = 3.7 สำหรับกระดาษ (ดูตาราง) จะได้ว่า จากตารางพบว่าค่าความแรงไดอิเลกตริกของกระดาษเป็น16x106 V/m และถ้าความหนาของกระดาษเป็น 1 mm ค่าโวลท์สูงสุดที่ให้ได้โดยไม่ทำให้ไดอิเลกตริกสูญเสียความเป็นฉนวนไปคือ ดังนั้นค่าประจุสูงสุดคือ