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CUERPOS EN EL ESPACIO. CUERPOS EN EL ESPACIO. ÍNDICE. Poliedros. Leonhard Euler. Fórmula de Euler. Poliedros regulares. Prismas. Definición. Elementos. Clasificación. Paralelepípedos Pirámides. Definición y elementos. Clasificación. Cuerpos de revolución. Definición.

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CUERPOS EN

EL ESPACIO

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CUERPOS EN EL ESPACIO. ÍNDICE

  • Poliedros.
  • Leonhard Euler.
  • Fórmula de Euler.
  • Poliedros regulares.
  • Prismas.
  • Definición.
    • Elementos.
    • Clasificación.
  • Paralelepípedos
  • Pirámides.
    • Definición y elementos.
    • Clasificación.
  • Cuerpos de revolución.
    • Definición.
    • Cilindro.
    • Cono.
    • Esfera.
  • Ejemplos de la vida cotidiana.
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POLIEDROS

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos planos.

Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras.

El lado común a dos caras se llama arista.

El punto común a tres o más aristas se llama vértice.

CARAS

ARISTAS

VÉRTICES

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LEONHARD EULER

  • Leonhard Euler fue un matemático suizo. Nació en Basilea en 1707 y murió en San Petersburgo en 1783.
  • En el ámbito de la Geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler.
  • A él también le debemos la denominada fórmula de Euler, con la que se relacionan las caras, vértices y aristas de un poliedro.

BIOGRAFÍA DE EULER

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FÓRMULA DE EULER

Vamos a observar la relación que existe entre el número de caras, vértices y aristas de un poliedro.

Para ello, vamos a llamar C al número de caras, V al número de vértices y A al número de aristas de un poliedro cualquiera.

Comencemos con un cubo.

Vemos que: C = 6, V = 8, A =12

Si observamos estos números detenidamente, vemos que cumplen que:

C + V – A = 6 + 8 – 12 = 2

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FÓRMULA DE EULER

Si hacemos un corte en una esquina obtenemos un nuevo poliedro irregular que guarda la misma relación entre sus caras, aristas y vértices.

En este caso, C = 7, V = 10, A = 15.

Estos números cumplen la misma condición:

C + V – A = 7 + 10 – 15 = 2

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FÓRMULA DE EULER

La fórmula de Euler para Poliedros es la siguiente:

  • Sea P un poliedro cualquiera, que tiene:
  • Número de caras: C
  • Número de vértices: V
  • Número de aristas: A
  • Entonces se cumple que:

C + V – A = 2

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POLIEDROS REGULARES

  • Un poliedro se llama regular cuando cumple estas dos condiciones:
    • Sus caras son polígonos regulares idénticos.
    • En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras.

Solo hay cinco poliedros regulares:

  • Tetraedro (4): Formado por cuatro triángulos equiláteros.
  • Cubo o hexaedro (6): Formado por seis cuadrados.
  • Octaedro (8): Formado por ocho triángulos equiláteros.
  • Dodecaedro (12): Formado por doce pentágonos regulares.
  • Icosaedro (20): Formado por veinte triángulos equiláteros.
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PRISMAS. DEFINICIÓN

Un prisma es un poliedro limitado por:

  • Dos caras iguales y paralelas que son polígonos, llamados bases.
  • Varios paralelogramos, llamados caras laterales.

BASES

CARAS

LATERALES

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PRISMAS. ELEMENTOS.

Otros elementos importantes de un prisma son:

ARISTA BÁSICA

ARISTA LATERAL

ALTURA

APOTEMA BASE

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PARALELEPÍPEDOS

Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas bases son paralelogramos, iguales y paralelos dos a dos.

Un paralelepípedo en el que la totalidad de sus caras son rectángulos se llama ortoedro.

Un ortoedro queda determinado conociendo las longitudes de las tres aristas que concurren en un vértice. Se llaman las dimensiones del ortoedro: longitud, profundidad y altura.

Un cubo es un ortoedro en el que las tres dimensiones son iguales. Es decir, las seis caras son cuadrados iguales.

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a

PIRÁMIDES

Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, que se llama vértice o cúspide de la pirámide.

Los elementos de una pirámide son los siguientes:

APOTEMA LATERAL O ALTURA DE LA CARA

ARISTA LATERAL

ALTURA DE LA PIRÁMIDE

APOTEMA BASE

ARISTA BÁSICA

BASE

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CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.

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altura

generatriz

radio

CILINDRO

  • El cilindro se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

EJE GIRO

RADIO

GENERATRIZ

BASE

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altura

generatriz

eje giro

radio

CONO

  • El cono se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

EJE GIRO

GENERATRIZ

RADIO

BASE

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eje giro

diámetro

ESFERA

La esfera se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro .

GENERATRIZ

CENTRO

RADIO

EJE DE GIRO

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HASTA PRONTO, CHAVALES.

ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO.

COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA PÁGINA WEB.

¡¡¡¡ ADIOS !!!!