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QUANDO È NATA LA TERRA? UN’APPLICAZIONE “INTERESSANTE” DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE.

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Presentation Transcript
quando nata la terra un applicazione interessante delle equazioni esponenziali e logaritmiche
QUANDO È NATA LA TERRA?UN’APPLICAZIONE “INTERESSANTE” DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE
  • Il metodo di datazione qui proposto ci permette di vedere quando è stata “fatta” la materia che compone la terra e viene proposto agli studenti della quarta Liceo Socio-Psico-Pedagogico come applicazione “interessante” delle equazioni esponenziali e logaritmiche
  • Non verrà determinata della della terra “solida” e rocciosa, ma il tempo passato dalla formazione di sole e sistema solare (che sono fatti a partire dalla stessa “nebulosa”)
  • È chiaro che la terra “solida” e rocciosa sarà un po’ più giovane dell’età che ricaveremo: l’età che troveremo è più propriamente quella del sole, che infatti si è “acceso” prima che la terra fosse solida
  • È come ricavare l’età della farina di cui è fatto il pane e non l’età del pane.
qualche nota metodologica
QUALCHE NOTA METODOLOGICA
  • È un esempio tipico di datazione mediante elementi radioattivi (simile al metodo del C-14)
  • Se abbiamo oggi un chilo di 238U radioattivo, in futuro ne avremo sempre meno, perché tende a trasformarsi in 234Th:

avremo sempre meno uranio e sempre più torio

(in realtà anche il torio “decade”…. alla fine avremo Pb stabile)

il decadimento radioattivo
IL DECADIMENTO RADIOATTIVO
  • Il tempo necessario ad un certo numero di atomi di materiale radioattivo per dimezzarsi è detto tempo di dimezzamento ed indicato con t1/2
  • Per 238U il tempo di dimezzamento vale 4,468 miliardi di anni
  • Per 235U il tempo di dimezzamento vale 704 milioni di anni, ovvero 0,704 miliardi di anni
  • È evidente che un elemento impiega meno tempo per “dimezzarsi” se fa molti “decadimenti”
  • Ad ogni decadimento corrisponde l’emissione di “radioattività”

“un chilo” di 235U sarà più radioattivo di “un chilo” di 238U

l et della terra
L’ETÀ DELLA TERRA
  • Quando è stato fatto il materiale di cui è composto il sistema solare (esplosione di supernova) i due isotopi di uranio erano in quantità uguale: è plausibile pensare che il processo di formazione dell’uranio sia stato “simmetrico”, senza “preferenze” per un isotopo in particolare
  • Per via dei diversi tempi di dimezzamento, col passare del tempo 235U si è consumato più velocemente di 238U, tanto che oggi (su 100 nuclei d’uranio) 99,28 sono 238U e solamente 0,72 sono 235U:

diciamo infatti che l’abbondanza isotopica di 238U è 99,28%, mentre quella di 235U è 0,72% (come riportato nelle tavole periodiche degli elementi più dettagliate)

l et della terra5
L’ETÀ DELLA TERRA
  • La legge del decadimento radioattivo dice che

ove U(0) è la quantità di uranio presente al tempo zero (235 o 238, dato che alla “creazione” erano uguali), 235U(t) è la quantità di 235U presente al tempo t (oggi) e t1/2 il tempo di dimezzamento, ovvero il tempo necessario a far dimezzare la quantità iniziale di uranio

  • E’ una legge di tipo esponenziale perché la variabile indipendente (il tempo t) compare ad esponente del 2.
l et della terra6
L’ETÀ DELLA TERRA
  • Il numero 0,72% rappresenta il rapporto odierno (al tempo t, dunque) tra la quantità di 235U e la quantità di uranio totale (235U + 238U):
  • Ponendo in questa equazione la legge del decadimento abbiamo
l et della terra7

N.B.: abbiamo una sola equazione ed una sola incognita, quindi sappiamo risolvere

L’ETÀ DELLA TERRA

Semplificando U(0) che compare a numeratore e a denominatore si ha

Raccogliendo e semplificando 1/2t/t235 si ha

l et della terra8
L’ETÀ DELLA TERRA
  • Facendo il reciproco di entrambi i membri abbiamo
  • Ovvero:
  • Ovvero:
  • In questa equazione sono stati inseriti i valori dei tempi di dimezzamento già visti
l et della terra9
L’ETÀ DELLA TERRA
  • Per liberarci della base 2 facciamo il logaritmo in base 2 di entrambi i membri ottenendo
  • L’età della “terra” risulta dunque circa 6 miliardi di anni
l et della terra10
L’ETÀ DELLA TERRA
  • Il risultato è pienamente plausibile, se ricordiamo che il sole vive stabilmente da 5 miliardi di anni e che – a questa età – va aggiunto il tempo che ha passato in fase di protostella.
  • Se le difficoltà matematiche vi avessero fatto perdere la bellezza del calcolo ricordate questo:

si può “leggere” l’età della terra da una tavola periodica degli elementi