QUANDO È NATA LA TERRA? UN’APPLICAZIONE “INTERESSANTE” DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

1. QUANDO È NATA LA TERRA?UN’APPLICAZIONE “INTERESSANTE” DELLE EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE • Il metodo di datazione qui proposto ci permette di vedere quando è stata “fatta” la materia che compone la terra e viene proposto agli studenti della quarta Liceo Socio-Psico-Pedagogico come applicazione “interessante” delle equazioni esponenziali e logaritmiche • Non verrà determinata della della terra “solida” e rocciosa, ma il tempo passato dalla formazione di sole e sistema solare (che sono fatti a partire dalla stessa “nebulosa”) • È chiaro che la terra “solida” e rocciosa sarà un po’ più giovane dell’età che ricaveremo: l’età che troveremo è più propriamente quella del sole, che infatti si è “acceso” prima che la terra fosse solida • È come ricavare l’età della farina di cui è fatto il pane e non l’età del pane.

2. QUALCHE NOTA METODOLOGICA • È un esempio tipico di datazione mediante elementi radioattivi (simile al metodo del C-14) • Se abbiamo oggi un chilo di 238U radioattivo, in futuro ne avremo sempre meno, perché tende a trasformarsi in 234Th: avremo sempre meno uranio e sempre più torio (in realtà anche il torio “decade”…. alla fine avremo Pb stabile)

3. IL DECADIMENTO RADIOATTIVO • Il tempo necessario ad un certo numero di atomi di materiale radioattivo per dimezzarsi è detto tempo di dimezzamento ed indicato con t1/2 • Per 238U il tempo di dimezzamento vale 4,468 miliardi di anni • Per 235U il tempo di dimezzamento vale 704 milioni di anni, ovvero 0,704 miliardi di anni • È evidente che un elemento impiega meno tempo per “dimezzarsi” se fa molti “decadimenti” • Ad ogni decadimento corrisponde l’emissione di “radioattività” “un chilo” di 235U sarà più radioattivo di “un chilo” di 238U

4. L’ETÀ DELLA TERRA • Quando è stato fatto il materiale di cui è composto il sistema solare (esplosione di supernova) i due isotopi di uranio erano in quantità uguale: è plausibile pensare che il processo di formazione dell’uranio sia stato “simmetrico”, senza “preferenze” per un isotopo in particolare • Per via dei diversi tempi di dimezzamento, col passare del tempo 235U si è consumato più velocemente di 238U, tanto che oggi (su 100 nuclei d’uranio) 99,28 sono 238U e solamente 0,72 sono 235U: diciamo infatti che l’abbondanza isotopica di 238U è 99,28%, mentre quella di 235U è 0,72% (come riportato nelle tavole periodiche degli elementi più dettagliate)

5. L’ETÀ DELLA TERRA • La legge del decadimento radioattivo dice che ove U(0) è la quantità di uranio presente al tempo zero (235 o 238, dato che alla “creazione” erano uguali), 235U(t) è la quantità di 235U presente al tempo t (oggi) e t1/2 il tempo di dimezzamento, ovvero il tempo necessario a far dimezzare la quantità iniziale di uranio • E’ una legge di tipo esponenziale perché la variabile indipendente (il tempo t) compare ad esponente del 2.

6. L’ETÀ DELLA TERRA • Il numero 0,72% rappresenta il rapporto odierno (al tempo t, dunque) tra la quantità di 235U e la quantità di uranio totale (235U + 238U): • Ponendo in questa equazione la legge del decadimento abbiamo

7. N.B.: abbiamo una sola equazione ed una sola incognita, quindi sappiamo risolvere L’ETÀ DELLA TERRA Semplificando U(0) che compare a numeratore e a denominatore si ha Raccogliendo e semplificando 1/2t/t235 si ha

8. L’ETÀ DELLA TERRA • Facendo il reciproco di entrambi i membri abbiamo • Ovvero: • Ovvero: • In questa equazione sono stati inseriti i valori dei tempi di dimezzamento già visti

9. L’ETÀ DELLA TERRA • Per liberarci della base 2 facciamo il logaritmo in base 2 di entrambi i membri ottenendo • L’età della “terra” risulta dunque circa 6 miliardi di anni

10. L’ETÀ DELLA TERRA • Il risultato è pienamente plausibile, se ricordiamo che il sole vive stabilmente da 5 miliardi di anni e che – a questa età – va aggiunto il tempo che ha passato in fase di protostella. • Se le difficoltà matematiche vi avessero fatto perdere la bellezza del calcolo ricordate questo: si può “leggere” l’età della terra da una tavola periodica degli elementi