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Estimation paramétrique pour la modélisation et la génération de résidus

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Estimation paramétrique pour la modélisation et la génération de résidus. Méthode des moindres carrés (1). Modèle linéaire – Modèle de régression Ecriture vectorielle. Méthode des moindres carrés (2). Données expérimentales :

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Presentation Transcript
m thode des moindres carr s 1
Méthode des moindres carrés (1)
  • Modèle linéaire – Modèle de régression
  • Ecriture vectorielle
m thode des moindres carr s 2
Méthode des moindres carrés (2)
  • Données expérimentales :
  • Déterminer les paramètres de sorte que les sorties du modèle correspondent au mieux aux mesures au sens des moindres carrés :
  • Notations:
m thode des moindres carr s 3
Méthode des moindres carrés (3)
  • Erreur :
  • Fonction de coût:
  • Solution: Fonction de coût minimale pour tel que
m thode des moindres carr s 5
Méthode des moindres carrés (5)
  • Interprétation géométrique dans
m thode des moindres carr s interpr tation statistique 1
Méthode des moindres carrés – Interprétation statistique(1)
  • Données supposées engendrées par
  • Propriétés statistiques
m thode des moindres carr s interpr tation statistique 2
Méthode des moindres carrés – Interprétation statistique(2 )
  • Estimateur correct de
  • Consistance de l’estimée de

Convergence au sens de l’écart quadratique moyen

Dépend de l’évolution de

m thode des moindres carr s interpr tation statistique 3
Méthode des moindres carrés – Interprétation statistique(3)
  • Exemple : modèle à un paramètre
m thode des moindres carr s interpr tation statistique 4
Méthode des moindres carrés – Interprétation statistique (4)
  • Plusieurs paramètres: vitesse de convergence peut être différente pour des paramètres différents
  • Implications du choix du modèle
    • Paramètres constants
m thode des moindres carr s interpr tation statistique 5
Méthode des moindres carrés – Interprétation statistique (5)

N (

  • Observations de distribution non gaussienne

distribution de asymptotiquement gaussienne par théorème central-limite (ou théorème de la limite centrée)

m thode des moindres carr s interpr tation statistique 6
Méthode des moindres carrés – Interprétation statistique (6)
  • Intervalle de confiance

N (

Pour variable normale quelconque, v, de moyenne nulle et de variance 1, tables donnent seuil h tel que:

Prob(v > h)=a

m thode des moindres carr s interpr tation statistique 7
Méthode des moindres carrés – Interprétation statistique (7)
  • Information sur la corrélation entre les différentes composantes de par éléments non diagonaux de P(N):

Table de

Ellipsoïde dans

m thode des moindres carr s interpr tation statistique 8
Méthode des moindres carrés – Interprétation statistique (8)
  • Résultat plus exact:
  • De même pour chaque paramètre séparé:
proc dure d identification d un syst me
Procédure d’identification d’un système

Conception d’expérience(s)

Connaissances a priori

Objectif du modèle

Réalisation des expériences

Prise de mesures

Choix de la structure de modèle

Choix de la méthode d’estimation

des paramètres

Validation du modèle

Nouvel ensemble

de mesures

non

Modèle accepté?

oui

identification d un mod le dynamique lp choix de l entr e excitation
Identification d’un modèle dynamique LPChoix de l’entrée (excitation)
  • Exciter le système dans la bande des fréquences d’intérêt (souvent basses fréquences)
  • Entrée multi sinoïdale ou suite binaire pseudo aléatoire (filtrage passe bas par ajustement de la période d’horloge)
  • Persistance d’excitation d’ordre 2n requise pour l’obtention d’une estimée consistante (excitation persistante d’ordre n si densité spectrale de la variance non nulle en n points)
identification d un mod le dynamique lin aire permanent 2
Identification d’un modèle dynamique linéaire permanent (2)
  • Exemples
    • A) Modèle avec erreur de fermeture d’équation (equation error)
identification d un mod le dynamique lin aire permanent 3
Identification d’un modèle dynamique linéaire permanent (3)
  • B) Modèle auto récurrent à moyenne glissante et entrée exogène (ARMAX)
identification d un mod le dynamique lin aire permanent 4
Identification d’un modèle dynamique linéaire permanent (4)
  • C) Modèle avec erreur de sortie (output error)
identification d un mod le dynamique lin aire permanent moindres carr s 2
Identification d’un modèle dynamique linéaire permanent - Moindres carrés (2)

Analyse

Supposons que les données vérifient

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 1
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction(1)

Méthode moindres carrés = cas particulier de

méthode d’erreur de prédiction

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 2
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (2)

3 étapes

  • Choix du modèle
  • Détermination d’un prédicteur
  • Minimisation d’une fonction de coût contenant l’erreur de prédiction
identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 3

Procédé

Prédicteur avec paramètres

ajustables

Algorithme de minimisation

d’une fonction de l’erreur de prédiction

Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (3)

Principe de la méthode de l’erreur de prédiction

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 4
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (4)

Classe de modèles

Prédicteur optimal (variance de l’erreur de prédiction

minimale)

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 5
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (5)

Démonstration

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 7
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction(7)

Fonction de coût à minimiser

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 8
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction(8)

- Minimisation réalisée de manière analytique si

  • Optimisation numérique

Méthode du gradient

Méthode de Newton Raphson

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 12
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (12)

Propriétés de la méthode d’erreur de prédiction

Hypothèses

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 13
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (13)

Valeur asymptotique de la fonction de coût et de l’estimée

Consistance

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 15
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (15)

Cas où la classe de modèles ne contient pas

une description exacte du «vrai » système

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 16
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (16)

Distribution asymptotique de l’’estimée (Hypothèses 1-5)

identification d un mod le dynamique lp m thode de l erreur de pr diction 17
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode de l’erreur de prédiction (17)

Exemple: cas d’une régression linéaire

identification d un mod le dynamique lp m thode du maximum de vraisemblance 1
Identification d’un modèle dynamique LP Méthode du maximum de vraisemblance (1)

Maximiser la fonction de vraisemblance c-à-d densité de

probabilité des observations conditionnée par le vecteur

de paramètres

Transformation biunivoque entre {y(k)} et {e(k)}, si

conditions initiales négligées (u(k) déterministe)

utiliser densité de probabilité de e(k)

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Identification d’un modèle dynamique LPValidation d’un modèle obtenu par la méthode d’erreur de prédiction (1)
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Identification d’un modèle dynamique LPValidation d’un modèle obtenu par la méthode d’erreur de prédiction (2)
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Identification d’un modèle dynamique LPValidation d’un modèle obtenu par la méthode d’erreur de prédiction(3)
bibliographie
Bibliographie
  • T. Soderstrom et P. Stoica (1989)

System identification, Prentice Hall

  • K.J. Astrom et B. Wittenmark (1989)

Adaptive Control, chapitre 3, Addison Wesley

  • L. Ljung (1987)

System identification: theory for the user

Prentice Hall