Caos determinista
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Caos determinista. [email protected] Conceptos. Criticalidad auto-organizada (Per Bak) Filo del caos Distribución de Ley de potencia Ley de Zipf, ley de Pareto Constante universal de Feigenbaum 4.6692016090 Mapa logístico Ecuación logística, ecuación de May/Lorenz

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Presentation Transcript


Caos determinista

Caos determinista

[email protected]


Conceptos

Conceptos

  • Criticalidad auto-organizada (Per Bak)

  • Filo del caos

  • Distribución de Ley de potencia

    • Ley de Zipf, ley de Pareto

  • Constante universal de Feigenbaum

    • 4.6692016090

  • Mapa logístico

    • Ecuación logística, ecuación de May/Lorenz

    • Efecto de ala de mariposa: sensitividad a las condiciones iniciales

    • Determinismo - Impredictibilidad

  • Dimensión fractal

  • Atractores extraños

  • Teoría ergódica


Criticalidad auto organizada

Criticalidad auto-organizada

  • Pila de arena: avalanchas (Per Bak)

  • Distribución de ley de potencia

    • Rasgo fractal (cuenca de rios, palabras en texto, terremotos, ciudades/tamaño, riqueza, extinción de especies en eras geológicas)

    • No: estaturas, lotería: frecuencia estadística normal

    • Espectro de potencia 1/f

  • Auto-organización

  • Comunicación y vecindad entre agentes

  • No proporcionalidad de causa y efecto: un grano  reacción en cadena

  • Independencia de objeto y escala (grano/tamaño)

  • Fractales naturales – Instantáneas de procesos críticos (Tamás Vicsek)


Filo del caos

Filo del caos

  • Chris Langton (Vida artificial)

  • Encuentro del caos y el orden

  • Bohm: el orden implicado

  • Creatividad, versatilidad

  • Coincidencias con clase IV de Wolfram

  • Coincidencia de K=2 de Kauffman

  • Orden a partir del caos (Prigogine), orden gratis (Kauffman)


Ecuaci n log stica

Ecuación logística

  • Modelo poblacional

    • Alternativa a ecuación de Malthus

    • Ecuación de Verhulst

    • Otras aplicaciones: gotas a chorros, comportamiento de gases, motines, catástrofes

  • Atractor de punto fijo

  • Atractor periódico

  • Aperiodicidad (caos determinista)

    • Atractor de Lorenz

  • Período 3 implica caos

  • Conociendo una serie tan larga como se quiera, no se puede predecir el valor siguiente (Bateson)


Otros mapas y modelos

Otros mapas y modelos

  • Ecuación de Lotka-Volterra

    • Modelo de predador-presa

    • Dos ecuaciones diferenciales, una para cada especie


Otros mapas y modelos1

Otros mapas y modelos

  • Modelo de Arneodo, Coullet y Tresser

    • N especies en interacción

    • Parámetro 

      • 0.75 estado estable

      • 1.2 periódico

      • 1.5 caótico

    • Número de Coullet-Tresser =Feigenbaum


Sistemas ca ticos

Sistemas caóticos

  • Rueda de agua de Lorenz

    • Flujo 4, fricción 0.1

    • Ploteando ciertas variables, se obtiene la mariposa

    • Cambiando parámetros: caos intermitente, periodicidad ruidosa, atractores extraños

    • Cuando hay caos y luego periodicidad indefinida: caos metaestable (Kaplan y Yorke) – Es impredecible (arrojar dados)


Constante universal de feigenbaum

Constante universal de Feigenbaum

  • Bifurcación

  • Duplicación de períodos

  • 4.6692016090…

  • Experiencia de Hoggard


N mero de feigenbaum nick hoggard

Número de Feigenbaum(Nick Hoggard)


Bifurcaci n de feigenbaum

Bifurcación de Feigenbaum


Atractores

Atractores

  • Atractor de punto fijo

  • Atractor periódico

  • Atractor de torus o semi-periódico

  • Atractor extraño (Ruelle) o de mariposa

    • Atractor de Lorenz (*Fractint)

      • Dimensión 2.05 (en 3D): 0 volumen, superficie infinita

    • Ergodicidad: cubre la región, pero no pasa por el mismo estado más de una vez


Fractales conceptos

Fractales - Conceptos

  • Dimensión fractal

  • Auto-repetición (homotecia)

  • Recursividad

  • Distribución de ley de potencia – Ruido 1/f


Dimensi n fractal

Dimensión fractal

  • Benoît Mandelbrot

    • Geometría fractal de la naturaleza

    • Los objetos fractales

  • Dimensiones geométricas no enteras

  • ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?

    • Lewis Fry Richardson, 1928

  • Log/log = Ley de potencia

  • “Las montañas no son conos, las nubes no son esferas, las islas no son círculos, los rayos no son líneas rectas”

  • Dimensión efectiva: depende de escala de observación

  • No es subjetivo según el observador, sino función determinista de la escala


Geometr as y modelos

Geometrías y modelos

  • Modelos mecánicos = geometría euclideana, dimensiones enteras, axiomas, deducción, linealidad, equilibrio (punto fijo)

  • Modelos estadísticos = Gráficos de tortas y barras, probabilismo, inducción, correspondencias, azar

  • Modelos sistémicos = No linealidad, atractores extraños, objetos fractales, recursividad, complejidad, aperiodicidad, homotecia


Dimensi n fractal1

Dimensión fractal

  • Método de la cuenta de cajas

  • Logaritmo natural

    • Tamaño de la caja

    • Número de cajas en que aparece la curva

Dimensión = 1,24958


Tipos

Tipos

  • Curvas monstruosas

  • Agregación de Difusión Limitada

    • Movimiento browniano

    • Plasmas: Algoritmo de desplazamiento del punto medio

  • Sistemas de funciones iteradas (IFS)

    • Barnsley: Teorema del collage, juego del caos

  • Sistemas-L

    • Lindenmayer, gramáticas del crecimiento

  • Teselaciones  Teoría de grupos

  • Fractales complejos

  • Fractales hipercomplejos, atractores extraños


Agregaci n de difusi n limitada

Agregación de difusión limitada

  • Camino estocástico (random walk)

  • Fractales de difusión

  • Plasmas: Algoritmo de desplazamiento de punto medio (Arquímedes: método de construcción de parábolas)

  • Usos antropológicos:

    • Modelización de procesos de difusión y trayectoria

    • Modelización de texturas y pátinas

    • Música aleatoria y estocástica (Cage)

    • Pintura idem (Pollock)

    • Crecimiento de plantas urbanas (Batty & Longley: Fractal Cities) [Planta cartesiana, propagación fractal]


Sistemas de funciones iteradas ifs 1 2

Sistemas de funciones iteradas (IFS) – 1/2

  • Michael Barnsley

  • Teorema del collage (juego del caos)

  • Algebra de matrices

    • Encontrar conjunto de transformaciones (mapa de contracción) tal que la unión (collage) se asemeje al conjunto que se quiere construir

  • Fractales deterministas: en formas biológicas no hay azar en absoluto (Hubbard)


Sistemas de funciones iteradas ifs 2 2

Sistemas de funciones iteradas (IFS) – 2/2

  • Algebra: transformaciones afines lineales o máquinas de copia de reducción múltiple (MCRM)

  • Copiar (+), trasladar (+), escalar (*), espejar (*\), rotar (*)

  • Métodos de síntesis (Brazil, IFSDesign, Fractint, VisionsOfChaos)


Sistemas l

Sistemas-L

  • Aristide Lindenmayer

  • Gramáticas recursivas de crecimiento

  • Smith, Prusinkiewicz: gráficos de tortuga


Sistemas l1

Sistemas-L

  • Forma más simple de recursión

    • Genera serie de Fibonacci

  • Gramáticas sensibles al contexto (Chomsky)


Mosaicos peri dicos y aut matas teselares

Mosaicos periódicos y autómatas teselares

  • Figuras iteradas que cubren un plano

  • Mosaicos de Penrose

  • Mosaicos aperiódicos de Escher

    • Teselaciones autoinversas y embaldosados de Poincaré

  • Curvas de Cesàro


Preguntas

Preguntas?

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