Caos determinista

1. Caos determinista Billyr@microsoft.com.ar

2. Conceptos • Criticalidad auto-organizada (Per Bak) • Filo del caos • Distribución de Ley de potencia • Ley de Zipf, ley de Pareto • Constante universal de Feigenbaum • 4.6692016090 • Mapa logístico • Ecuación logística, ecuación de May/Lorenz • Efecto de ala de mariposa: sensitividad a las condiciones iniciales • Determinismo - Impredictibilidad • Dimensión fractal • Atractores extraños • Teoría ergódica

3. Criticalidad auto-organizada • Pila de arena: avalanchas (Per Bak) • Distribución de ley de potencia • Rasgo fractal (cuenca de rios, palabras en texto, terremotos, ciudades/tamaño, riqueza, extinción de especies en eras geológicas) • No: estaturas, lotería: frecuencia estadística normal • Espectro de potencia 1/f • Auto-organización • Comunicación y vecindad entre agentes • No proporcionalidad de causa y efecto: un grano  reacción en cadena • Independencia de objeto y escala (grano/tamaño) • Fractales naturales – Instantáneas de procesos críticos (Tamás Vicsek)

4. Filo del caos • Chris Langton (Vida artificial) • Encuentro del caos y el orden • Bohm: el orden implicado • Creatividad, versatilidad • Coincidencias con clase IV de Wolfram • Coincidencia de K=2 de Kauffman • Orden a partir del caos (Prigogine), orden gratis (Kauffman)

5. Ecuación logística • Modelo poblacional • Alternativa a ecuación de Malthus • Ecuación de Verhulst • Otras aplicaciones: gotas a chorros, comportamiento de gases, motines, catástrofes • Atractor de punto fijo • Atractor periódico • Aperiodicidad (caos determinista) • Atractor de Lorenz • Período 3 implica caos • Conociendo una serie tan larga como se quiera, no se puede predecir el valor siguiente (Bateson)

6. Otros mapas y modelos • Ecuación de Lotka-Volterra • Modelo de predador-presa • Dos ecuaciones diferenciales, una para cada especie • …

7. Otros mapas y modelos • Modelo de Arneodo, Coullet y Tresser • N especies en interacción • Parámetro  • 0.75 estado estable • 1.2 periódico • 1.5 caótico • Número de Coullet-Tresser =Feigenbaum

8. Sistemas caóticos • Rueda de agua de Lorenz • Flujo 4, fricción 0.1 • Ploteando ciertas variables, se obtiene la mariposa • Cambiando parámetros: caos intermitente, periodicidad ruidosa, atractores extraños • Cuando hay caos y luego periodicidad indefinida: caos metaestable (Kaplan y Yorke) – Es impredecible (arrojar dados)

9. Constante universal de Feigenbaum • Bifurcación • Duplicación de períodos • 4.6692016090… • Experiencia de Hoggard

10. Número de Feigenbaum(Nick Hoggard)

11. Bifurcación de Feigenbaum

12. Atractores • Atractor de punto fijo • Atractor periódico • Atractor de torus o semi-periódico • Atractor extraño (Ruelle) o de mariposa • Atractor de Lorenz (*Fractint) • Dimensión 2.05 (en 3D): 0 volumen, superficie infinita • Ergodicidad: cubre la región, pero no pasa por el mismo estado más de una vez

13. Fractales - Conceptos • Dimensión fractal • Auto-repetición (homotecia) • Recursividad • Distribución de ley de potencia – Ruido 1/f

14. Dimensión fractal • Benoît Mandelbrot • Geometría fractal de la naturaleza • Los objetos fractales • Dimensiones geométricas no enteras • ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? • Lewis Fry Richardson, 1928 • Log/log = Ley de potencia • “Las montañas no son conos, las nubes no son esferas, las islas no son círculos, los rayos no son líneas rectas” • Dimensión efectiva: depende de escala de observación • No es subjetivo según el observador, sino función determinista de la escala

15. Geometrías y modelos • Modelos mecánicos = geometría euclideana, dimensiones enteras, axiomas, deducción, linealidad, equilibrio (punto fijo) • Modelos estadísticos = Gráficos de tortas y barras, probabilismo, inducción, correspondencias, azar • Modelos sistémicos = No linealidad, atractores extraños, objetos fractales, recursividad, complejidad, aperiodicidad, homotecia

16. Dimensión fractal • Método de la cuenta de cajas • Logaritmo natural • Tamaño de la caja • Número de cajas en que aparece la curva Dimensión = 1,24958

17. Tipos • Curvas monstruosas • Agregación de Difusión Limitada • Movimiento browniano • Plasmas: Algoritmo de desplazamiento del punto medio • Sistemas de funciones iteradas (IFS) • Barnsley: Teorema del collage, juego del caos • Sistemas-L • Lindenmayer, gramáticas del crecimiento • Teselaciones  Teoría de grupos • Fractales complejos • Fractales hipercomplejos, atractores extraños

18. Agregación de difusión limitada • Camino estocástico (random walk) • Fractales de difusión • Plasmas: Algoritmo de desplazamiento de punto medio (Arquímedes: método de construcción de parábolas) • Usos antropológicos: • Modelización de procesos de difusión y trayectoria • Modelización de texturas y pátinas • Música aleatoria y estocástica (Cage) • Pintura idem (Pollock) • Crecimiento de plantas urbanas (Batty & Longley: Fractal Cities) [Planta cartesiana, propagación fractal]

19. Sistemas de funciones iteradas (IFS) – 1/2 • Michael Barnsley • Teorema del collage (juego del caos) • Algebra de matrices • Encontrar conjunto de transformaciones (mapa de contracción) tal que la unión (collage) se asemeje al conjunto que se quiere construir • Fractales deterministas: en formas biológicas no hay azar en absoluto (Hubbard)

20. Sistemas de funciones iteradas (IFS) – 2/2 • Algebra: transformaciones afines lineales o máquinas de copia de reducción múltiple (MCRM) • Copiar (+), trasladar (+), escalar (*), espejar (*\), rotar (*) • Métodos de síntesis (Brazil, IFSDesign, Fractint, VisionsOfChaos)

21. Sistemas-L • Aristide Lindenmayer • Gramáticas recursivas de crecimiento • Smith, Prusinkiewicz: gráficos de tortuga

23. Sistemas-L • Forma más simple de recursión • Genera serie de Fibonacci • Gramáticas sensibles al contexto (Chomsky)

24. Mosaicos periódicos y autómatas teselares • Figuras iteradas que cubren un plano • Mosaicos de Penrose • Mosaicos aperiódicos de Escher • Teselaciones autoinversas y embaldosados de Poincaré • Curvas de Cesàro

25. Preguntas? Billyr@microsoft.com.ar