1 / 93

DAL CASO AL CAOS

DAL CASO AL CAOS. UN P0’ DI STORIA. Laplace (1749-1827): “Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente…”.

neve-hoover
Download Presentation

DAL CASO AL CAOS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. DAL CASO AL CAOS

  2. UN P0’ DI STORIA Laplace (1749-1827): “Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente…” Laplace sapeva che la conoscenza delle varie entità (variabili di stato), essendo frutto di processi di misura, non può essere ottenuta con infinita precisione. Considerava ovvio che una piccola incertezza nei valori delle condizioni iniziali avesse altrettanto piccole conseguenze nell’evoluzione del sistema, cioè che condizioni “quasi-identiche” portassero a evoluzioni del sistema “quasi-identiche”

  3. UN P0’ DI STORIA La possibilità di simulare con un modello matematico deterministico l’evoluzione di un sistema reale era considerata equivalente a dire che la sua evoluzione fosse necessariamente prevedibile e priva di incertezza

  4. UN P0’ DI STORIA • Ma nello studio dei sistemi reali (ad esempio nella dinamica dei fluidi) si possono osservare andamenti sia regolari che complessi: il flusso dell’acqua può essere semplice o disordinato, pur essendo le leggi del moto sempre le stesse (equazioni di Navier-Stokes) • La previsione di Laplace è corretta per i sistemi lineari, per quelli non lineari vale solo se si è lontani dai regimi di comportamento caotico.

  5. UN P0’ DI STORIA • Henri Poincaré(1854-1912) “Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che ciò è dovuto al caso. […] può accadere che delle piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diventa impossibile…”(1903) Ma i risultati di Poincaré non suscitarono molto interesse

  6. UN P0’ DI STORIA • La teoria qualitativa dei sistemi dinamici fu studiata in seguito da: • Birkhoff(1884-1944) negli USA • Lyapunov(1857-1918), Kolmogorov(1903-1987), Andronov(1901-1952) in Russia • Pontriaguine(1908-1988)

  7. UN P0’ DI STORIA Ma l’argomento divenne popolare con l’articolo di Edward Lorentz, matematico e meteorologo del MIT (scomparso nel 2008 a 90 anni). Mentre stava sviluppando modelli matematici per descrivere i movimenti delle masse d’aria nell’atmosfera, nel 1961 scoprì accidentalmente il comportamento caotico delle soluzioni delle equazioni che stava studiando. In un articolo del 1963 descrisse il fenomeno del CAOS DETERMINISTICO usando come esempio un sistema di tre equazioni differenziali, calcolato numericamente.

  8. UN P0’ DI STORIA La figura rappresenta (in nero) l’andamento della soluzione a partire dalle condizioni iniziali x0=10, y0=10, z0=10 La figura rappresenta (in rosso) l’andamento della soluzione a partire dalle condizioni iniziali x0=10, y0=10, z0=9.99999

  9. Butterfly effect Da un articolo di Lorentz del 1972: “Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas? L’attrattore strano di Lorentz

  10. UN P0’ DI STORIA • L’attuale popolarità dell’argomento è sicuramente legata al fatto che il fenomeno sia stato osservato nel contesto delle previsioni meteorologiche, ma esso appare anche nei più svariati contesti: • Fisica • Biologia • Sociologia • Economia • Finanza • …

  11. CAOS DETERMINISTICO

  12. CAOS DETERMINISTICO

  13. CAOS DETERMINISTICO Talvolta, modelli matematici deterministici generano andamenti così complessi da risultare quasi indistinguibili da eventi generati da processi aleatori.

  14. f Iterare funzioni X f(X) Preso un numero x da un certo dominio, l’applicazione di una funzione produce come risultato l’immagine di x mediante f, che si scrive f(x)

  15. f f f Iterare funzioni x0 x1 X2 ……. Xn-1 Xn …… Se al risultato così ottenuto (se sta nel dominio) si applica di nuovo la stessa funzione f si ottiene un terzo numero (funzione composta). Se il risultato sta ancora nel dominio si può ancora applicare f e così via. Si ottiene così in modo deterministico una successione di valori.

  16. Matematica nel tempo Lo studio dei possibili comportamenti delle successioni generate mediante l’applicazione ripetuta di una funzione può essere utile nella descrizione matematica di FENOMENI REALI CHE EVOLVONO NEL TEMPO. Infatti basta pensare xn come misura dello stato di un sistema al tempo n, allora la funzione f assumerà il significato di operatore di avanzamento nel tempo (legge di evoluzione) Lo schema xn =f(x n-1) diventa un MODELLO DINAMICO

  17. Matematica nel tempo ovvero:Teoria qualitativa dei sistemi dinamici Esempio 1(modello lineare affine) In un piccolo paese del Varesotto, di 1000 abitanti, il tasso di mortalità annuo è del 20%; fortunatamente ogni anno nascono 100 bambini. Qual è nel tempo l’evoluzione della popolazione? Si estingue, aumenta a dismisura, si stabilizza? soluzione

  18. Matematica nel tempo ovvero:Teoria qualitativa dei sistemi dinamici • Esempio 2 Un pigro quarantenne di nome Oblomov decide di vivere di rendita. Dispone di un capitale di 100.000€ che produce ogni mese interessi pari all’1% ; per vivere stima di aver bisogno di 1000€ al mese. Ce la farà?

  19. Matematica nel tempo ovvero:Teoria qualitativa dei sistemi dinamici • Esempio 3 (modello quadratico) Supponiamo che una banca proponga un nuovo modo di pagare gli interessi: ogni anno viene assegnato il quadrato della cifra posseduta l’anno precedente diminuita di una tassa fissa b. Se un cliente versa oggi un capitale x, quanto avrà tra 10 anni?

  20. SDD: Sistemi dinamici discreti Bisogna individuare delle grandezze (un sistema) che evolvono (un sistema dinamico) a passi costanti della variabile tempo (un sistema dinamico discreto)

  21. SDD: Sistemi dinamici discreti • TEORIA Un sistema dinamico discreto (SDD) è caratterizzato da una legge del tipo: che si dice: EQUAZIONE ALLE DIFFERENZE dove: • t=0,1,2,… • x è una successione definita in modo ricorsivo mediante f. • Si dice soluzione di un’equazione alle differenze una successione che soddisfa l’equazione data per ogni t. • In generale le soluzioni sono infinite, ciascuna è caratterizzata dalle condizioni iniziali, che di norma sono tante quante l’ordine dell’equazione. xt+1= f(t,xt)

  22. SDD LINEARI Sono caratterizzati da un’equazione del tipo: xt+1= axt ,con a≠0

  23. SDD LINEARI • In generale si ricava facilmente, dalla legge ricorsiva, la legge : • x1 = ax0 • x2 = ax1 = a2x0 • x3 = ax2 = a3x0 • …. • xt =atx0 • Ad esempio, se a=2,dopo sole 10 iterazioni il numero iniziale x0 sarà moltiplicato per 210=1024. • Se fosse a=1/2, ad ogni iterazione il valore iniziale verrebbe dimezzato, come se una fotocopiatrice ad ogni passaggio riducesse l’immagine del 50% • Si tratta di una progressione geometrica di ragione a.

  24. SDD LINEARI 1° caso: −1 < a < 1 In questo caso attende a 0; più a è vicino a 0 tanto più rapidamente la successione xt 0 per qualunque condizione iniziale Caso 1a: 0 < a < 1 In questo caso ad ogni passo x diminuisce di una percentuale pari a 1−a. Per esempio se a=0.8 allora ad ogni passo x diminuisce del 20%. E’ la tipica decrescita esponenziale di valore iniziale x0 e base a. Caso 1b: −1 < a < 0 In tal caso la convergenza a 0 non è monotona, i valori di x oscillano con segni alternati (infatti at >0 se t è pari, at <0 se t è dipari)

  25. SDD LINEARI Caso a>1. Xt è una successione esponenziale crescente : ad ogni passo aumenta di una percentuale pari ad a-1. Grafico di xt+1 =1.1xt con x0=1000 Caso a<1 Xt è una successione irregolare, a segni alterni, che diverge in modulo con x0=1000 Grafico di xt+1 =-1.1xt con x0=1000 I casi a=1 e a=-1 sono poco interessanti.

  26. SDD LINEARI Se si applica la legge ricorsiva xt+1 =axt alle dinamiche delle popolazioni (uomini, animali, vegetali, batteri…) si ottiene il cosiddetto Modello di Malthus: Una popolazione inizialmente di entità x0 è soggetta a: -un tasso di natalità n (es. Percentuale di nati ogni anno sul totale della popolazione) e ad -un tasso di mortalità m (es. Percentuale di morti ogni anno sul totale della popolazione). Se non ci sono nè immigrazioni nè emigrazioni l’evoluzione nel tempo del numero di individui sarà del tipo: xt+1 =xt +nxt -mxt Cioè xt+1 =axt

  27. SDD LINEARI xt+1 =axt Secondo questo modello: Se 0<a<1, cioè se n<m, allora la popolazione è destinata ad estinguersiesponenzialmente Se a>1 allora la popolazione aumenta esponenzialmente Il modello di Malthus è ragionevole nella misura in cui la popolazione non è soggetta a limitazioni esterne.

  28. SDD lineari affini • Le cose vanno diversamente se l’equazione contiene un termine noto: xt+1 =axt +b

  29. SDD lineari affini

  30. SDD lineari affini Esplorando la successione Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=1000 (ad esempio con excel)si osserva che il sistema converge a 500: la popolazione di quel paese tenderà nel tempo a stabilizzarsi a 500 abitanti. Cosa ci si può aspettare se si parte da 2000 abitanti invece di 1000? Sarà valido il modello proporzionale?

  31. SDD lineari affini Basta esplorare la nuova successione: Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=2000 Il risultato è il seguente: E se ci fossero solo 200 abitanti?

  32. SDD lineari affini Basta esplorare la nuova successione Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=200 Il risultato è il seguente:

  33. SDD lineari affini Sorprendentemente nel lungo periodo non cambia nulla: La successione converge a 500 (per eccesso se x0>500, per difetto se x0<500, non si muove da 500 se x0=500) La successione costante di valore 500 sembra attrarretutte le altre.

  34. SDD lineari affini Abbiamo esplorato il problema con diversi valori iniziali. Tutte le successioni convergono a 500. Vogliamo capire perché. A quanto pare 500 dipende solo dai valori 0.8 e 100 dei parametri e non dal valore iniziale.

  35. SDD lineari affini Vogliamo trovare una funzione che,presi in ingresso i valori 0.8 e 100, dia in uscita il 500 500

  36. SDD lineari affini Ci chiediamo: Esiste un valore iniziale x0 per il quale la popolazione rimane costante nel tempo?

  37. SDD lineari affini.L’equilibrio di un SDD Deve risultare, per ogni t: Cioè xt =0.8xt +100 Questo accade solo se esiste un numero x per il quale risulti: x=0.8x+100 Da cui 0.2x=100 Da cui x=500 xt =xt+1

  38. SDD lineari affini.L’equilibrio di un SDD • Il valore 500 viene chiamato : • punto di equilibriodel sistema • Se il sistema parte da 500 rimane inchiodato a quel valore per sempre. • In generale (se a ≠1) l’equazione xt =xt+1 diventa • x=ax+b la cui soluzione è: • (Nel nostro caso era: a=0.8 e b=100) • Se invece a=1 allora il sistema diventa xt+1 =xt +b. • In questo caso non ci sono equilibri: il sistema evolve linearmente verso +∞ se b>0, verso - ∞ se b<0. • Il caso a=1e b=0 è ovviamente privo di interesse.

  39. SDD lineari affiniLa stabilità dell’equilibrio Per il SDD che abbiamo studiato la successione converge sempre all’equilibrio, anche partendo da valori diversi dall’equilibrio. Sarà vero per ogni valore iniziale? Sarà una caratteristica di tutti gli equilibri in qualunque SDD?

  40. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio • I risultati sono i seguenti: • Se x0=E allora la soluzione è la successione costante di valore E • Se a è compreso tra -1 e 1 allora at tende a 0 quindi il sistema converge ad E per ogni valore iniziale x0. In tal caso E si dice equilibrio stabile o attrattore • Se a>1 allora il sistema diverge esponenzialmente (equilibrio instabile); se si parte da E il sistema rimane fermo, ma la più piccola perturbazione sulla condizione iniziale produce una catastrofe:il sistema si allontana definitivamente dall’equilibrio

  41. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio PROBLEMA Un pigro quarantenne di nome Oblomov decide di vivere di rendita. Dispone di un capitale di 100.000€ che produce ogni mese interessi pari all’1% ; per vivere stima di aver bisogno di 1000€ al mese. Ce la farà?

  42. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Indicando con xt il deposito bancario di Oblomov al tempo T (misurato in mesi), il modello del problema sarà: Xt+1 = xt +0.01xt-1000 Cioè Xt+1 = 1.01xt-1000 Con la condizione iniziale x0=1000. E’ sempre un SDD della forma Xt+1 = axt+b, questa volta con a>1.

  43. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio L’equilibrio del sistema è Cioè esattamente la condizione iniziale! Infatti l’interesse mensile dell’1% su 100.000 € è uguale alla quota mensile di 1000€ necessaria per vivere .

  44. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio In queste condizioni il nostro quarantenne può VIVERE PER L’ETERNITÀ. Ma…si tratta di un equilibrio molto precario!

  45. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Ma cosa succede se il capitale iniziale è (seppur di poco) diverso da 100.000 €? Se x0<100.000, anche solo di un centesimo, il caro Oblomov è destinato (prima o poi) alla rovina. Il grafico rappresenta l’andamento del deposito per x0=90.000 Dopo circa 20 anni (240 mesi) il capitale si estingue

  46. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Se invece x0>100.000, anche solo di un centesimo, allora il capitale aumenta indefinitamente. Il grafico rappresenta l’andamento del deposito per x0=110.000 Dopo circa 20 anni (240 mesi) il capitale raddoppia

  47. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Si tratta di un equilibrio instabile Nella figura sono rappresentate varie soluzioni con diverse condizioni iniziali. Dal grafico è chiaro perché un equilibrio di questo tipo viene chiamato REPULSORE

  48. SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio Riassumendo: Per un SDD lineare affine xt+1 =axt +b si ha: se |a|>1 l’equilibrio è instabile: qualunque valore iniziale diverso da b/(1-a) genera una successione divergente.

  49. SDD: modello quadratico • Supponiamo che una banca proponga un nuovo modo di pagare gli interessi: • Ogni anno viene assegnato il quadrato della cifra posseduta l’anno precedente diminuita di una tassa fissa b.

More Related