1 / 10

Afinost između kružnice i elipse

C. A. B. D. D 1. A 1. . B 1. P ar okomitih promjera kružnice preslika va se u par konjugiranih promjera elipse. C 1. Afinost između kružnice i elipse. Konstruirati elipsu e 1 kao afinu sliku kružnice k u afinitetu (o, S, S 1 ). Pri tome vrijedi. S.

zayit
Download Presentation

Afinost između kružnice i elipse

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. C A B D D1 A1  B1 Par okomitih promjera kružnice preslikava se u par konjugiranih promjeraelipse. C1 Afinost između kružnice i elipse Konstruirati elipsu e1 kao afinu sliku kružnice k u afinitetu (o, S, S1). Pri tome vrijedi S Definicija 1. Dva su promjera elipse konjugirana, ako su pri afinom preslikavanju kružnice u elipsu nastali kao afina slika međusobno okomitih promjera kružnice. os S1

  2. simetrala dužine SS1 G C Konstruirati veliku i malu os elipse zadane parom konjugiranih promjera koja je afino pridružena danoj kružnici S A B os D D1 Velika i mala os elipse konstruiraju se pomoćuTalesovog teorema. S1 B1 A1 C1

  3. S1 S2 Preslikavanje kružnice ortogonalnim afinitetom T1 o T2

  4. os smjer zrake C1 =C2 C smjer zrake k1 os B2 A2 =S2 A1= =B1 D k2 =D2 D1 Afinost kružnice i elipseu kojem je jedan promjer zajednički, a zraka afinosti je okomita na taj promjer. Elipsa je zadana velikom i malom osi. a) b) C S B A S =S1 A B D AB=A1B1-svaka točka na tom pravcu pridružena je sama sebi, pa je on os afinosti CD=C2D2– zajednički promjer kružnice i elipse, pa je taj pravac os afinosti Promjeru AB elipse pridružen onaj promjer A2B2 kružnice koji je okomit na C2D2 - def.1. Promjeru CD elipse pridružen onaj promjer C1D1 kružnice koji je okomit na A1B1 def.1. Afinost je ovdje određena osi i parom pridruženih točaka A – A2 (ili B – B2). Afinost je ovdje određena osi i parom pridruženih točaka C – C1 (ili D – D1).

  5. p1= p2 p k2 k1 T1 T2 T Konstrukcija točaka elipse pomoću afinosti Elipsa je zadana velikom i malom osi AB i CD. • U afinitetu između zadane elipse i kružnice k1, os je incidentna s AB, a zrake su paralelne s CD. • U afinitetu između elipse i kružnice k2, os je incidentna s CD, a zrake su paralelne s AB. C S A B Može se dokazati da je nekom pravcu p kroz S u području elipse pridružen u oba afiniteta isti pravac p1 p2. D Istodobnomkombinacijom obaju afiniteta dobivamo točke afino pridružene elipse. Točka T, koja je afinopridružena točkama T1 i T2,sjecište je dviju zraka dvaju afiniteta. Temeljem navedenih zaključaka izvodi se sljedeća konstrukcija elipse.

  6. t2 t1 t T1 T2 T k2 k1 Konstrukcija elipse iz velike i male osi pomoću afiniteta Napomena. Konstrukcija točaka elipse pomoću afinosti izvodi se na onim dijelovima krivulje, na kojim krivulja nije aproksimirana hiperoskulacijskim kružnicama. C Tangenta t u točki T elipse afino je pridružena tangenti t1 u afinitetu s kružnicom k1, odnosno tangenti t2 u afinitetu s kružnicom k2. A B S D

  7. o  P2 u v u2 v2 U V2 V U2 A2 B2 k2 Zadaci 1. Konstruirati tangente iz točke P na elipsu, koja je zadana velikom i malom osi. a) odabran je afinitet nad kružnicom k2, jer se u tom afinitetu točka P nalazi na osi afinosti, pa je sama sebi pridružena. P b) A-A2 (odnosno B-B2) su u tom afinitetu par pridruženih točaka. C c) konstruiraju se tangente u2 i v2 iz točke P na kružnicu k2. d) dirališta U2 i V2 preslikavaju se u točke U i V elipse pomoću para pridrtuženih točaka ili prethodnom konstrukcijom. A B D

  8. p1 X1 C1 X N1 o N k1 M M1 Zadaci 2. Konstruirati sjecišta pravca p i elipse, koja je zadana velikom i malom osi. a) odabran je afinitet između elipse i kružnice k1 b) pravac p iz područja elipse preslikava se u pravac p1 iz područja kružnice pomoću neke točke X. c) odrede se sjecišta M1 i N1pravca p1 i kružnice k1. p C d) na zrakama afinosti odrede se afino pridružene točke M i N, koje su tražena sjecišta pravca i elipse. A B Napomena. Ta su sjecišta geometrijski točno određena bez iscrtavanja elipse. D

  9. P1 R1 R o k1 T t t1 T1 Q1 Afinost između elipse zadane parom konjugiranih promjera i kružnice opisane većem promjeru Temeljem def. 1 slijedi: • MN je zajednički promjer elipse i kružnice MN je os afinosti, • promjer PQ elipse preslikava se u promjer P1Q1 kružnice P – P1 jezraka afinosti. P M Konstrukcija točke T (odnosno R) elipse, ako je zadana njezina afina slika T1 k1 (R1  k1 ): a) pomoću para pridruženih točaka P – P1, N S b) koristeći svojstvo da se paralelni pravci preslikavaju u paralelne pravce (R – R1). Q Tangenta t elipse u točki T afina je slika tangente t1 kružnice s diralištem u točki T1. Velika i mala os elipse može se dobiti Rytzovom konstrukcijom.

  10.  P2 M2 . t2 T2 N2 t k2 T Q2 o Afinost između elipse zadane parom konjugiranih promjera i kružnice nad manjim promjerom PQ – zajednički promjer elipse i kružnice PQ je os afinosti. P Par konjugiranih promjera elipse je afina slika para konjugiranih promjera kružnice, a oni su uvijek međusobno okomiti. M N S MN je afina slika promjera M2N2kružnice, pa su M i M2 (odnosno N i N2) par pridruženih točaka, a njihova spojnica zraka afinosti. Q Tangenta u točki elipse je afina slika tangente afino pridružene kružnice u pridruženoj točki.

More Related