ANALISIS VECTORIAL

1. ANALISIS VECTORIAL Las magnitudes físicas se pueden clasificar, de una forma general, en magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Las magnitudes escalares son aquellas que necesitan un número real para quedar completamente determinadas. Por ejemplo, la masa, la densidad, la temperatura, etc. Las magnitudes vectoriales son aquellas que necesitan para su determinación un número real o módulo, una dirección y un sentido sobre la dirección. Por ejemplo, la fuerza, la velocidad, campo eléctrico, campo magnético, etc. En estas últimas es en donde fijaremos la atención.

2. La representación gráfica de una magnitud vectorial es un segmento de recta, orientado, que recibe el nombre de vector El módulo indica, en la unidad elegida, el valor numérico de la cantidad de la magnitud representada. Al origen A se le denomina punto de aplicación. La dirección es la de la recta en que está contenido y el sentido se representa por una punta de flecha en su extremo.

3. Sistema de coordenadas Es un sistema que permite definir unívocamente la posición de cualquier punto Sistema de coordenadas cartesianas

5. Sistema de coordenadas cilíndricas Por lo que podemos definir: la coordenada z al estar asociada con la altura del cilindro no cambia.

6. Cambio de coordenadas cilíndricas a rectangulares EJEMPLO: Expresar en coordenadas rectangulares el punto Cambio de coordenadas rectangulares a cilíndricas EJEMPLO: Expresar el punto (x, y, z)= (1, √3 ,2) en coordenadas cilíndricas

7. Sistema de coordenadas esféricas ρ EJEMPLO: Expresar en coordenadas rectangulares el punto

8. EJEMPLO: Expresar en coordenadas esféricas el punto (x,y,z) =(2,2,3)

9. COMPONENTES Y COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR Para referir los desarrollos teóricos y las aplicaciones vectoriales elegimos como sistema de referencia el cartesiano trirrectangular a derechas, es decir, el formado por tres ejes (X, Y, Z), perpendiculares dos a dos y orientados de forma que al girar la cabeza de un sacacorchos en el sentido que de X a Y por el camino mas corto, la punta avanza en el sentido del eje Z. Este sistema así definido, también se denomina directo o dextrógiro. Sobre cada uno de los ejes tomaremos un vector unitario que denominaremos respectivamente i, j, ky que constituyen los vectores fundamentales o base del sistema de referencia

10. reciben el nombre de componentes escalares de a el vector a queda expresado en función de los vectores unitarios, mediante El módulo de a es la diagonal del paralelepípedo recto, es decir

11. El vector unitario en la dirección de a viene dado por

12. Para determinar la dirección del vector hay que conocer los ángulos ,  y , que forma con cada uno de los ejes del sistema de referencia Observando se aprecia que a dichos cosenos se les denomina cosenos directores de a. Los cosenos directores están relacionados entre sí, mediante

13. El vector unitario se podrá expresar también como es decir, las componentes del vector unitario son, precisamente, los correspondientes cosenos directores. Hallar el vector unitario en la dirección de a

14. ¿Cuál debe ser el valor de m para que el vector A(1,m,2) forme un ángulo de 60º con el eje Z?.

15. Halla el vector unitario de C=3i+4j+5k. Determina el ángulo que forma con el eje OX

16. Si de un vector se conocen las coordenadas de su extremo y de su origen las componentes del vector se obtienen restando a las coordenadas de N las de M, es decir

17. En este sistema un desplazamiento elemental dr (elemento diferencial) se puede representar así: dr = dx i + dy j + dz k dr dr r 1 r 2

18. La expresión analítica de la suma de n vectores es: .................................. ..................................

19. a2 a1

20. La expresión analítica del producto de un escalar por un vector es

21. PRODUCTO ESCALAR. El producto escalar de dos vectores a y b es un escalar de valor igual al producto de los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman

23. Si los vectores a y b están expresados en forma analítica, es decir

26. El producto escalar de dos vectores es positivo o negativo según que el ángulo de las direcciones de los vectores sea agudo u obtuso. Y será nulo cuando los vectores sean perpendiculares y máximo cuando los vectores sean paralelos. Los productos escalares de los vectores unitarios de la base, teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente, valdrán: i i = j j = k k = 1 i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0 El producto escalar de un vector por si mismo es igual al cuadrado de su módulo

27. Demostración de la expresión analítica del producto escalar

29. Calcula el producto escalar de los vectores V=3i+5j-k y W(-2,0,4). Determina el ángulo que forman.

30. PRODUCTO VECTORIAL. El producto vectorial de dos vectores a y b, representado por ab, es otro vector que coincide con el valor del determinante obteniéndose la expresión analítica

32. Su dirección es perpendicular al plano definido por los vectores a y b. El producto vectorial posee la propiedad “anticonmutativa”

33. Su módulo es igual al producto de los módulos, de ambos vectores, por el seno del ángulo que forman a  b = a b sen

34. Su sentido es el del avance de un sacacorchos, cuyo sentido de giro coincidiera con el que lleve el primer vector a a coincidir con el segundo vector por el camino mas corto.

35. Geométricamente, el módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores como lados b sen = altura a = base = basealtura = = área del paralelogramo.

36. El producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo y de dos vectores perpendiculares es máximo. Los productos vectoriales de los vectores unitarios de la base que son perpendiculares entre sí, valdrán

37. Halla el vector unitario perpendicular a los vectores V(1,2,3) y W(-1,0,2).

38. Dados los vectores A=3i-3j+2k y B(3,4,0), calcular: a) AxB y BxA. b) Un vector de módulo 3 perpendicular al plano formado por A y B. c) (A+B)x(A-B).

39. Sean los vectores A = 2 i + 3k y B = 3i - j - k . Calcular: • El vector que tiene la misma dirección y sentido que A pero su módulo es 4. • El vector que tiene la misma dirección y sentido contrario que B y su módulo es 3. • El ángulo que forman A y B.

40. Sean los vectores A = - 3j + k y B = i +2 j + k . Representarlos y determinar su módulo. Calcular además: A + B. Representar. A - B. Representar. El vector que tiene la misma dirección y sentido que A pero su módulo es 3. El vector que tiene la misma dirección y sentido contrario que B y su módulo es 4. El ángulo que forman A y B.

41. Sean los vectores A = 3i -2 j +2 k y B = -i +4 j + 2k . Representarlos y determinar su módulo. Calcular además: El ángulo θ que forman A y B. El vector C = A x B. Representar. Comprobar que efectivamente C es perpendicular a A y B. Comprobar que efectivamente C = ABsen θ. El vector que está contenido en el plano XZ, es perpendicular a A y tiene de módulo 6. El vector que es perpendicular a A y B y tiene de módulo 5.

42. Sean los vectores A =2 k y B =i - j - k . Representarlos y determinar su módulo. Calcular además: El ángulo θ que forman A y B. El vector C = A x B. Representar. Comprobar que efectivamente C es perpendicular a A y B. Comprobar que efectivamente C = ABsen θ. El vector que está contenido en el plano XZ, es perpendicular a A y tiene de módulo 6. El vector que es perpendicular a A y B y tiene de módulo 2.

43. PRODUCTO MIXTO. Se define el producto mixto de tres vectores como un escalar de valor El producto mixto será nulo si los vectores a, b y c son coplanarios y también si dos cualquiera de los vectores son paralelos. representa , en valor absoluto, el volumen de un prisma de lados los propios vectores

44. Si los vectores a, b y c son la expresión analítica del producto mixto coincide con el resultado del determinante:

45. Halla el producto mixto de los tres vectores

46. Halla el producto mixto de los tres vectores

47. MOMENTO DE UNA MAGNITUD. El momento de un vector a aplicado en A respecto de un punto cualquiera del espacio P MPse define como el producto vectorial de la distancia que separa a P de A por el vector siendo su módulo

48. El momento de un vector deslizante respecto de un punto es único y no depende de la posición del punto de aplicación del vector, siempre que se mantenga sobre su recta soporte. d

49. FUNCION VECTORIAL. En muchos procesos físicos, las magnitudes vectoriales no permanecen constantes, sino que van variando. Esto quiere decir, que sí por ejemplo, la expresión analítica de un vector a es las componentes del vector no van a ser fijas, sino que pueden tomar diferentes valores en función de una cierta variable, de tal modo que, para un valor de la variable corresponda un valor del vector a, se tiene así una función vectorial, expresándose su dependencia funcional mediante a = a(u) siendo, en este caso, la variable u de carácter escalar, siendo la más típica el tiempo.

50. Como la función vectorial a va tomando distintos valores según varíe u observaremos que sus extremos describen una curva que se denomina hodógrafa (trayectoria si es el dibujo que hace el extremo del vector de posición). Para un incremento de la variable ∆u, le corresponde un incremento del vector ∆a dado por