UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAOLO”
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UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAOLO” CURSO: FISICA I ANALISIS VECTORIAL AUTOR: Mag . Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010. I. INTRODUCCIÓN. Es una parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.

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UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAOLO” CURSO: FISICA I ANALISIS VECTORIAL

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Universidad nacional santiago ant nez de maolo curso fisica i analisis vectorial

UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAOLO”

CURSO: FISICA I

ANALISIS VECTORIAL

AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ

2010


I introducci n

I. INTRODUCCIÓN

  • Es una parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.

  • Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas

  • Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los conceptos físicos.


Ii vectores y escalares

II. VECTORES Y ESCALARES

  • ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura.

  • VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.

  • TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión


Iii vector

III. VECTOR

  • Ente matemático cuya determinación exige el conocimiento de un módulo una dirección y un sentido.

  • Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado

  • Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima.


Elementos de un vector

Elementos de un vector

  • Dirección:

    Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos


Iii elementos de un vector

III.Elementos de un vector

2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector . Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha.

3.Magnitud : Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta


Iv clase de vectores

IV.Clase de vectores

1.Vectores libres : Aquellos que no tienen un aposición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

  • Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta.

  • Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un punto de aplicación


V algebra vectorial

V.Algebra vectorial

Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicación de vectores es necesario definir:

  • Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos

  • Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto


Algebra vectorial suma vectorial

Algebra vectorial: Suma vectorial

  • Considere dos vectores A y B como se muestra.

  • El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

  • La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley de cosenos-

  • La dirección mediante la ley de cosenos


Algebra vectorial resta vectorial

Algebra vectorial: Resta vectorial

  • Considere dos vectores A y B como se muestra.

  • El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

  • La magnitud del vector diferencia D es

  • La dirección mediante la ley de cosenos


Leyes del algebra vectorial

Leyes del algebra vectorial

  • Conmutatividad.

    2.Asociatividad


Multiplicaci n de un escalar por un vector

Multiplicación de un escalar por un vector

Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a


Propiedades de la multiplicaci n de un escalar por un vector

Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector

  • Les asociativa para la multiplicación.

    Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

    2.Ley distributiva para la adición vectorial.

    si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene


Propiedades de la multiplicaci n de un escalar por un vector1

Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector

3. Ley distributiva para la suma escalar.

Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene


Suma de varios vectores

Suma de varios vectores

Para sumar varios vectores se utiliza la ley del polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo o del triángulo. Es decir


Vi vector unitario

VI.VECTOR UNITARIO

  • Es un vector colineal con el vector original

  • Tiene un módulo igual a la unidad

  • Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir


Vector unitarios rectangulares

VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES

  • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios

  • Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.


Vii descomposici n vectorial

VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO


Descomposici n vectorial

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO


Descomposici n vectorial1

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

  • EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO.

    Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes


Descomposici n vectorial2

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

3.En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes


Descomposici n vectorial3

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

3.En el espacio.


Vector posici n

VECTOR POSICIÓN


Vector posici n relativo

VECTOR POSICIÓN RELATIVO


Viii producto escalar

VIII. PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar o producto punto de dos vectores denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.


Propiedades del producto escalar

Propiedades del producto escalar

  • El producto escalar es conmutativo

  • El producto escalar es distributivo

  • Producto de un escalar por el producto escalar

  • Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector


Propiedades del producto escalar1

Propiedades del producto escalar

  • Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

  • Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

  • Producto escalar de dos vectores


Propiedades del producto escalar2

Propiedades del producto escalar

  • Producto escalar de dos vectores en forma de componentes .

    Entonces tenemos

    8.Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares


Interpretaci n del producto esca ler

INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALER

Geométricamente esta situación se muestra en la figura


Vector proyecci n ortogonal

VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL


Ix producto vectorial

IX. PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es


Regla de la mano derecha

REGLA DE LA MANO DERECHA

a. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.

b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.


Propiedades del producto vectoria l

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

  • El producto vectorial no es conmutativo

  • El producto vectorial es distributivo


Propiedades del producto vectoria l1

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

  • Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

    4.Multiplicación vectorial de vectores unitarios


Propiedades del producto vectoria l2

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

  • El producto vectorial de dos vectores en componentes es

  • La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

    7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.


Ejemplo 01

Ejemplo 01

  • La figura muestra un cubo en donde se han trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posición 1,2,3 y 1.¿Cuanto vale cada uno de los desplazamientos?. ¿Cual es el desplazamiento total?.


Ejemplo 02

Ejemplo 02

En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante?.


Ejemplo 03

Ejemplo 03

  • Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave

    SOLUCION


Ejemplo o2

EJEMPLO O2

La resultante FRde las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?


Ejemplo

Ejemplo

  • La camioneta es remolcada usando dos cables como se muestra en la figura. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúa sobre cada uno de los cables, sabiendo que la superposición de ambas dan una resultante de 90N de módulo dirigida a lo largo de el eje x. Considere que  =50°


Ejemplo 04

Ejemplo 04

La figura muestra un triángulo cuyos lados son

Demuestre el teorema de los cosenos

SOLUCION


Ejemplo 05

Ejemplo 05

Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10 y unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector


Ejemplo 06

Ejemplo 06

En la figura mostrada, determine el vector x, en función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo


Ejemplo 07

Ejemplo 07

Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella


Ejemplo o1

EJEMPLO O1

Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante


Ejemplo o11

EJEMPLO O1

Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente yy su módulo


Ejemplo1

Ejemplo

  • Utilizar el método de las componentes rectangulares para determinar el módulo R de a resultante y los ángulos que forma su recta soporte con los semiejes x, y, z de coordenadas.


Ejemplo 08

Ejemplo 08

La resultante de la tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema


Ejemplo2

Ejemplo

  • Exprese la fuerza en componentes i, j y k y determine la proyección de F = 800 N sobre BC


Ejemplo3

Ejemplo

(a) Exprese la fuerza de 250 N de módulo en componentes i, j y k .

(b) halle la proyección ortogonal del vector fuerza sobre la línea CA


Ejemplo o21

EJEMPLO O2

(a) Expresar el vector fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. (b) Hallar la proyección sobre la recta OA.


Ejemplo4

Ejemplo

  • A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las fuerzas F1 y F2.


Ejemplo 09

Ejemplo 09

Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura


Ejemplo o22

EJEMPLO O2

Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea.


Ejemplo5

Ejemplo

  • La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine: (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD.


Ejemplo 10

Ejemplo 10

Hallar la distancia del punto P(4, -1, 5) a la línea recta que pasa por los puntos P1(-1, 2, 0) y P2(1, 1, 4)


Ejemplo 101

Ejemplo 10

Calcular la distancia desde el punto P de coordenadas (4, 5, -6) cm, a la recta que pasa por Q(-3, 5, 7) cm y es paralela al vector


Ejemplo 102

Ejemplo 10

Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial.


Ejemplo 11

Ejemplo 11

Halle la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el extremo del vector


Ejemplo 111

Ejemplo 11

Demostrar que los vectores

pueden ser los lados de un triángulo y hallar las longitudes de las medianas de dichos triangulo


Ejemplo 112

Ejemplo 11

Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores


Ejemplo 12

Ejemplo 12

(a) Halle los vectores de posición r1 r2de los puntos P(2,4,3) Q(1,-5,2) en un sistema de coordenadas trirectangulares en función de los vectores unitarios i, j, k. (b) Determine grafica y analíticamente la resultante de dichos vectores.


Ejemplo 13

Ejemplo 13

Halle un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores


Ejemplo 14

Ejemplo 14

  • Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B es igual al módulo del producto vectorial


Ejemplo 141

Ejemplo 14

  • Determine el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A = 2i - 6j - 3k y B = 4i + 3j - k


Ejemplo6

Ejemplo

Halle el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector


Ejemplo7

Ejemplo

Descomponga la fuerza de 1000 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas l1y l2 mostrada en la figura.


Ejemplo8

Ejemplo

Descomponga la fuerza de 250 N en dos direcciones no perpendiculares a lo largo de las rectas PRyQRmostrada en la figura.


Problemas de aplicaci n

Problemas de aplicación

  • Si F1 = 5i + 6j y F2 = 2i – 3j -4k. Determine F3 tal que la suma de las tres fuerzas sea nula.

  • ¿Cuál es el vector unitario en la dirección de la fuerza F = (2000i - 3000j +600k)lb?.

  • Halle una fuerza a lo largo de y otra fuerza normal a que sumadas resulten en la fuerza

  • Dados los vectores y : Determine:

  • Halle los cosenos directores de la fuerza

    y úselos para determinar los ángulos que forma la fuerza con los ejes coordenados.


Problemas de aplicaci n1

Problemas de aplicación

6.


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