1 / 25

1.2. Logika Predikat

1.2. Logika Predikat. Pada pembahasan pasal sebelumnya kita telah membahas logika proposisional yang terdiri dari proposisi tunggal ( disebut juga atom atau primif ) dan proposisi majemuk . Kelemahan utama dari logika proposisional adalah tidak boleh mengandung peubah .

yosefu
Download Presentation

1.2. Logika Predikat

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. 1.2. LogikaPredikat Padapembahasanpasalsebelumnyakitatelah membahaslogikaproposisional yang terdiridari proposisitunggal (disebutjuga atom atauprimif) danproposisimajemuk. Kelemahanutamadarilogikaproposisional adalahtidakbolehmengandungpeubah. Hal iniberkaitandengandefinisidariproposisi, yaituhanyamempunyainilaibenaratausalah; • tidakkeduanya. • Berartipadalogikaproposisionaltidakboleh • mengandungpeubah.

  2. Misalnyapernyataan 2x + 1 = 3 dengandaerahasal bilanganril. Padahaldalambanyakhalpernyataan- pernyataandalammatematikadan/atauilmu komputerdinyatakandalambentukrumus-rumus. Kelemahan lain darilogikaproposisionaladalahdari segieffisiensi, karenatidakmenjelaskantentang banyaknyakuantitas yang terlibatdalampembahasan. Jikakitainginmenyatakankeseluruhandari 1000 orangmahasiswa STMIK “”, makakitaharus menulissatupersatuproposisidarimasing-masing mahasiswatersebut, misal :

  3. Adiadalahmahasiswa STMIK “” Benny adalahmahasiswa STMIK “” Chairuladalahmahasiswa STMIK “” ⋮ Zainaladalahmahasiswa STMIK “” Kelemahan lain darilogikaproposisionaladalah padasaatkitaharusmenarikkesimpulan (inferensi) suatuargumen, makakesimpulannyaharusterkait denganhipotesisataupremis.

  4. Perhatikan pq qr ∴ pr Modus Ponens pq q ∴ p pq p ∴ q Modus Tollens SilogismeHipotesis

  5. Perhatikanargumenberikut. Semuamakhlukhiduppastimati Kucingadalahmakhlukhidup ∴Kucingpastimati • Adalahhal yang masukakaljikakitamenarik • kesimpulan, Kucingpastimati. • Akantetapimenurutaturaninferensipadalogika • proposisional, • Kesimpulanharusmempunyai • kaitandenganpremis/premis-premisnya.

  6. Untuklebihjelaskitaakanmenggunakansimbol proposisipadaargumendiatas. p : Semuamakhlukhiduppastimati q : Kucingadalahmakhlukhidup r : Kucingpastimati Jadi, p q r Karenaproposisi r tidakadahubungannyadengan proposisi p dan q, maka r bukankesimpulan dariargumen. Karenabeberapakelemahanlogikaproposisi, maka kitaperluuntukmempelajarilogikapredikat.

  7. 1.2.1. PredikatdanFungsiProposisional Jika P(x) adalahpernyataan yang mengandung x dan D sebuahhimpunan, maka P disebutsebagaipredikat dan P(x) adalahfungsiproposisionaldalam D jika untuksetiap x dalam D, P(x) merupakanproposisi. Contoh 1.38 Berikutadalahcontoh-contohfungsiproposisional: • x2 + x – 6 = 0, daerahasaladalahhimpunan • bilanganasli. Ditulis: Untuksetiap x > 0, P(x) : f(x) = 0 • b) x + y = 4, daerahasaladalahhimpunan • bilanganril. Ditulis : Untuksetiap x dan y (ril) Q(x, y) : f(x) = 4

  8. 1.2.2. Kuantor Telahdijelaskanpadapasalsebelumnya, bahwalogika prosisionaltidakmenjelaskantentangbanyaknya kuantitas yang terlibatdalampembahasan. Untukmenyatakankuantitas yang terlibatdalam pembahasanmakakitagunakansimbolkuantor, yaitudan. Simboldisebutkuantor universal dansimboladalahkuantoreksistensial. Kuantor universal () menunjukkanbahwasetiap objekdalamsemestanyamempunyaisifatdari kalimat yang menyatakannya. • Sedangkankuantoreksistensial () menunjukkanbahwasebagian (setidak-tidaknyasatuobjek)dalamsemestanya • memenuhisifatkalimat yang menyatakannya.

  9. Misalterdapatkalimatberkuantor(xD), p(x). Nilaikebenarankalimattersebutadalahbenarjikadan hanyajikanilai p(x) benaruntuksetiap x dalamsemesta Ddanbernilaisalahapabilasetidak-tidaknyaadasatu x dalamsemesta D yang menyebabkan p(x) salah. Nilai x yang menyebabkan p(x) bernilaisalahdisebut contohpenyangkal (counter example). Umumnyapeubah x pada p(x) disebutpeubahbebas. Sedangkanpeubah x pada (xD), p(x) disebut peubahtakbebas.

  10. Kalimatberkuantor(xD), p(x) mempunyainilai benarjikadanhanyajikasetidak-tidaknyaadasatu x dalamsemestanya yang menyebabkan p(x) benardan bernilaisalahapabilasemua x dalamsemestanya bernilaisalah. Denganadanyakuantormaka p(x) dapatbernilai benarsajaatausalahsaja; tidakkeduanya. Untuk p(x) yang memenuhisifatproposisidisebut fungsiproposional.

  11. Contoh 1.39 Misalterdapatproposisi p: Makhlukhidupakanmati. Jikamakhlukhidupkitagantidengan x, maka pernyataanasaldapatditulismenjadi p(x), x akanmati. Karenakitamengetahuibahwasemuamakhlukhidupakanmati, makapernyataandiatasdapatditulismenjadi, xD, p(x), dengan D adalahmakhlukhidup.

  12. Contoh 1.40 Misalterdapatproposisi p : Manusiadisiplin. Jikamanusiakitagantidengan x, makapernyataan asaldapatditulismenjadi p(x) : x disiplin. Kita telahmengetahuibahwahanyasebagian manusia yang disiplin, makapernyataandiatas dapatkitatulismenjadi : xD, p(x), dengan D adalahmanusia.

  13. Contoh 1.41 Nyatakankalimatberkuantorberikutdalambahasa sehari-hari ! • xbilanganril, x2  0 • xbilanganril, x2  0 • mbilanganbulat, m2 = m Penyelesaian : • Semuabilanganril x mempunyaikuadrattak • negatif • b) Semuabilanganril x mempunyaikuadrattidak • samadengan nol. c) Adabilanganbulat yang kuadratnyasama denganbilanganitusendiri

  14. Contoh 1.42 • Misal D adalahhimpunanbilanganbulat. • BuktikanbahwapernyataanmD, m2 = m • bernilaibenar. • Misal E adalahhimpunanbilanganbulatantara • 6 dan 10. • Buktikanbahwakalimat mE, m2 = m bernilaisalah.

  15. Bukti : • a) Untuk m= 1, maka m2 = 1 dan m = 1. • Sehinggauntuk m=1, m2 = m. (terbukti) • b) Untuk m = 7 , m2 = 49 m = 8 , m2 = 64 m = 9 , m2 = 81 Tidakadabilanganbulatantara 6 dan 10 yang memenuhi m2 = m. Sehinggapernyataan m, m2 = m bernilaisalah (terbukti).

  16. 1.2.3 IngkaranKalimatBerkuantor Misalterdapatpernyataan “Semuamahasiswa lulus ujianMatematikaDiskrit”. Pernyataan tersebutmempunyainilaikebenaran yang salah jikasetidak-tidaknyaterdapatsatumahasiswa yang tidak lulus ujianMatematikaDiskrit. Perludiingatbahwanilaikebenaran yang salah merupakaningkarandarinilaikebenaran yang benar. Jadiingkarandari “Semuamahasiswa lulus ujianMatematikaDiskrit” adalah “Adamahasiswa yang tidak lulus ujian MatematikaDiskrit”.

  17. Jika p : Semuamahasiswa lulus ujianMatematikaDiskrit dan p(x) : “x lulus ujianMatematikaDiskrit”, makadalam bentuksimbolikpernyataantersebutdapat kitatulismenjadixmahasiswa, p(x). Sedangkan “Adamahasiswa yang tidak lulus ujian MatematikaDiskrit” dapatditulisdalambentuksimbol menjadi xmahasiswa, p(x). Jikasemestapembicaraansudahjelas, bisanyatidak dicantumkanlagipadapenulisannya. Jadixmahasiswa, p(x) seringditulisdalambentuk yang lebihsederhanaseperti : x, p(x).

  18. Secaraumumingkarandarikalimatberkuantor adalahsebagaiberikut: x, p(x)  x, p(x) x, p(x)  x, p(x) Contoh 1.47 Tulisingkarandarikalimat-kalimatberikut : • a) Semuaorangsuksesrajinbekerja • b) Sebagianahlimatematikaadalahorangmalas • c) Adabilanganrilmerupakanbilanganrasional. Penyelesaian:

  19. Misal p(x) : “x rajinbekerja”. • Makakalimat a) dapatkitatulisdalambentuk • simbol : xorangsukses, p(x) ataux, p(x). • Ingkaran x, p(x) adalah x, p(x)  x, p(x) x, q(x)  x, q(x) • b) Misal q(x) : “x adalahorangmalas”. • Makakalimat b) dapatditulisdalambentuksimbol • menjadi : xahlimatematika, q(x) ataux, q(x). • Ingkaranx, q(x) adalah . • c) Misal r(x) : “x merupakanbilanganrasional”. • Kalimattersebutdapatditulisdalambentuksimbol • menjadi : xbilanganril, r(x) ataux, r(x). • Ingkaranx, q(x)  x, r(x)

  20. Contoh 1.48 Tuliskalimat-kalimatberikutdenganmenggunakan simbol-simbol, kemudiantulisingkarannya (semestanyaadalahhimpunanbilanganbulat). • Untuksetiap x, jika x bilanganganjilmaka x2 + 1 • bilanganganjiljuga. • b) Adabeberapa x sedemikiansehingga x merupakan • bilangangenapdan x merupakanbilanganganjil.

  21. Penyelesaian • a) Misal p(x) : x bilanganganjil q(x) : x2 + 1 bilanganganjil x, (p(x)  q(x)) • Ingkarannya : x, (p(x)  q(x)) Adabeberapabilanganbulat x yang merupakan bilanganganjil, tetapi (x2 + 1) bukanmerupakan bilanganganjil.

  22. b) Misal r(x) : x bilanganganjil s(x) : x2 + 1 bilanganganjil Kalimatsemulax, (r(x)  s(x)) • Ingkarannyax, (r(x)  s(x)) adalah • x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x))  x, (r(x)  s(x)) • Semuabilangan x bukanmerupakanbilangangenap • ataubukanmerupakanmerupakanbilanganganjil

  23. 1.2.4 KalimatBerkuantorGanda • Kalimatberkuantorgandaadalahkalimat • yang menggunakanlebihdarisatukuantor. • Secaraumumekiovalensidarikalimat • berkuantorgandaadalahsebagaiberikut: • x y p(x,y)  y x p(x,y) • x y p(x,y)  y x p(x,y) • x y p(x,y)  y x p(x,y) • Sedangkanekivalensidariingkarannyaadalah: • x y p(x,y)  x y p(x,y) • x y p(x,y)  x y p(x,y)

  24. Contoh 1.49 Nyatakankalimatberikutkedalamsimbollogika. • Setiapbilangangenapsamadengan 2 kali bilangan • bukat. • Jikasetiapdosenbermutumakasemuamahasiswa • antusiabelajar. • Penyelesaian: • Misal p(x,y) : x samadengan 2 kali y • x  bilangangenap y bilanganbulat p(x,y) • ataudisingkat x y p(x,y) • b) Misal p(x,y) : Jika x maka y • xdosenbermutu ymahasiswaantusiasbelajar • p(x,y), ataudapatdisingkat x y p(x,y)

More Related