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Deux méthodes incrémentales pour le maintien d’un arbre de connexion

Deux méthodes incrémentales pour le maintien d’un arbre de connexion Nicolas Thibault Christian Laforest nthibaul@lami.univ-evry.fr laforest@lami.univ-evry.fr LaMI, équipe OPAL, Université d’Evry. ALGOTEL 2004. INTRODUCTION. Données : Un réseau sous-jacent.

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  1. Deux méthodes incrémentales pour le maintien d’un arbre de connexion Nicolas Thibault Christian Laforest nthibaul@lami.univ-evry.frlaforest@lami.univ-evry.fr LaMI, équipe OPAL, Université d’Evry ALGOTEL 2004

  2. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). ALGOTEL 2004

  3. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  4. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  5. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  6. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  7. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  8. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  9. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  10. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  11. INTRODUCTION • Données : • Un réseau sous-jacent. • Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). • Objectif : Incrémenter une structure couvrante • (construction dynamique). ALGOTEL 2004

  12. INTRODUCTION : Les contraintes structurelles • Contrainte Arbre : • La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape. • Facilité du routage. ALGOTEL 2004

  13. INTRODUCTION : Les contraintes structurelles • Contrainte Arbre : • La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape. • Facilité du routage. • Contrainte Emboîtement : • Les arbres successifs doivent être imbriqués les uns dans • les autres. • Ne pas perturber les communications en cours. • Ne pas reconstruire l’arbre. ALGOTEL 2004

  14. INTRODUCTION : Qualité de services • Contraintes de qualité de services : • Minimiser le temps de transmission moyen entre • membres dans l’arbre. • Minimiser le temps de transmission maximum entre • membres dans l’arbre. ALGOTEL 2004

  15. INTRODUCTION : Qualité de services • Contraintes de qualité de services : • Minimiser le temps de transmission moyen entre • membres dans l’arbre. • Minimiser le temps de transmission maximum entre • membres dans l’arbre. • Contraintes d’encombrement du réseau : • Minimiser le poids de l’arbre. ALGOTEL 2004

  16. PLAN • Définitions et notations • Limites de toute approche online • Deux algorithmes : sommet-ajout et plus-proche-ajout. • Synthèse et perspectives ALGOTEL 2004

  17. DEFINITIONS ET NOTATIONS : Modélisation • G = (V, E,w) un graphe tel que : • Vreprésente les machines du réseau. • E représente les liens entres machines. • w (e) représente le coût associé à l’arête e appartenant à E • dG (u,v) : La distance entre u et v dans G. v 4 1 1 7 5 2 2 u 6 ALGOTEL 2004

  18. DEFINITIONS ET NOTATIONS : Incrémentalité • Notations : • i le nombre de sommets ajoutés. • M0 M1 … Mi … les i groupes successifs ( i = | Mi | ). • Til’arbre couvrant Mi construit à la ième étape. ALGOTEL 2004

  19. DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser • La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : CG (M) = ΣdG(u,v) u,vM ALGOTEL 2004

  20. DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser • La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : CG (M) = ΣdG(u,v) u,vM • Le diamètre de M dans G : DG (M) = max {dG (u,v) :u,v M } ALGOTEL 2004

  21. DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser • La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : CG (M) = ΣdG(u,v) u,vM • Le diamètre de M dans G : DG (M) = max {dG (u,v) :u,v M } • Le poids de l’arbre T = ( VT , ET ,w) couvrant M : W(T) = Σw (e) eET ALGOTEL 2004

  22. DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser • Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi : i, CTi(Mi)cs .CG (Mi) ALGOTEL 2004

  23. DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser • Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi : • Un algorithme a un rapport de compétitivité cd pour le diamètre ssi : i, CTi(Mi)cs .CG (Mi) i, DTi(Mi)cd .DG (Mi) ALGOTEL 2004

  24. DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser • Un algorithme a un rapport de compétitivité cs pour la somme des distances ssi : • Un algorithme a un rapport de compétitivité cd pour le diamètre ssi : • Soit T*( Mi ) un arbre couvrant Mi de poids minimum. Un algorithme a un • rapport de compétitivité cw pour le poids ssi : i, CTi(Mi)cs .CG (Mi) i, DTi(Mi)cd .DG (Mi) i, W(Ti)cw .W(T*(Mi)) ALGOTEL 2004

  25. BORNES INFERIEURES ALGOTEL 2004

  26. BORNES INFERIEURES • Pour le poids, tout algorithme est au moins : • Ω(log i)-compétitif • [M. Imase et B. Waxman, 1991] ALGOTEL 2004

  27. BORNES INFERIEURES • Pour le poids, tout algorithme est au moins : • Ω(log i)-compétitif • [M. Imase et B. Waxman, 1991] • Pour le diamètre, tout algorithme est au moins : • 2-compétitif ALGOTEL 2004

  28. BORNES INFERIEURES • Pour le poids, tout algorithme est au moins : • Ω(log i)-compétitif • [M. Imase et B. Waxman, 1991] • Pour le diamètre, tout algorithme est au moins : • 2-compétitif • Pour la somme des distances, tout algorithme est au moins : • Ω(i)-compétitif La preuve utilise un adversaire adaptatif, qui choisit le nouveau membre à insérer en fonction de la réponse de l’algorithme à l’étape précédente. ALGOTEL 2004

  29. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances n n ALGOTEL 2004

  30. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  31. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  32. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  33. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  34. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  35. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  36. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  37. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  38. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  39. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  40. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  41. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  42. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  43. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  44. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  45. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

  46. BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances |M| = 2n + log2(n) CT(M) : n3 CG(M) : n2 n n ALGOTEL 2004

  47. DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout ALGOTEL 2004

  48. DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans l’arbre. ALGOTEL 2004

  49. DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans l’arbre. 8 8 9 9 1 4 1 4 r r 2 2 3 3 4 4 4 4 2 2 1 1 ALGOTEL 2004

  50. DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans l’arbre. 8 8 9 9 1 4 1 4 r r 2 2 3 3 4 4 4 4 2 2 1 1 ALGOTEL 2004

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