A kvantifikáció igazságfeltételei

1. A kvantifikáció igazságfeltételei “xA(x)” akkor és csak akkor igaz, ha van olyan objektum, amely kielégíti az A(x) nyitott mondatot. “xA(x)” akkor és csak akkor igaz, ha minden objektum kielégíti az A(x) nyitott mondatot. Mi az, hogy objektum? Honnan vegyük? Ez nyilvánvalóan világfüggő. ‘Mindenki ott volt, aki számít’ – a kontextusból világos, hogy ki az a mindenki. eleme a tárgyalási univerzumnak, eleme a tárgyalási univerzumnak vagy nem ‘x(Páros(x2) Páros(x))’ igaz, ha x lehetséges értékei a természetes számok, de hamis, ha a valós számok.

2. A változók lehetséges értékeinek összessége: tárgyalási univerzum. Formális kikötések a tárgyalási univerzumra: Individuumok összessége, amely nem túl kicsiazaz nem üres, és nem túl nagy, azaz halmaz. A kvantifikált állítások igazsága mindig univerzumfüggő.

3. A kvantifikáció törvényei Nem mindenki kékszemű. Azaz van, aki nem kékszemű. xA(x)  xA(x) A kvantifikáció igazságszabályaiból nyilvánvalóan következik. (Ekvivalencia: bármi is legyen az A(x) mondat, egyszerre igazak.) Nincs, aki érti. Azaz mindenkire igaz, hogy nem érti. xA(x)  xA(x) Ezek a kvantifikáció De Morgan-szabályai. Helyettesítsünk mindkét szabályban A(x)-et A(x) helyére és töröljük a kettős negációkat: xA(x)  xA(x)  xA(x) xA(x) Azaz a két kvantor kölcsönösen kifejezhető egymással (a negáció segítségével). Az egzisztenciális kvantor a diszjunkcióra, az univerzális a konjunkcióra „hasonlít”.

4. A logikai négyzetArisztotelészi kategorikus kijelentések e a kontrárius Egyetemes állító Minden, ami A, az B x(A(x)  B(x)) x(A(x)  B(x)) Egyetemes tagadó Egy A sem B x(A(x)  B(x)) x(A(x)  B(x)) kontra-diktórius szubaltern szubaltern o i Részleges tagadó Van olyan A, ami nem B x(A(x)  B(x)) x(A(x)  B(x)) Részleges állító Van olyan A, amely B x(A(x)  B(x)) x(A(x)  B(x)) szubkontrárius

5. Kontradiktórius párok: az egyik igaz, a másik hamis. Kontrárius párok: lehetnek egyszerre hamisak, de nem lehetnek egyszerre igazak. Szubkontrárius párok: lehetnek egyszerre igazak, de nem lehetnek egyszerre hamisak. Szubaltern kijelentés következik a fölötte levőből. Az i és e típusú kijelentések megfordíthatók, azaz ekvivalensek az A és B felcserélésével keletkező kijelentéssel. Az a típusú kijelentés gyengén megfordítható, azaz következik belőle megcserélt alannyal és állítmánnyal az i típusú kijelentés. Kivéve, ha … Kivéve, ha … Kivéve, ha … Kivéve, ha …

6. Arisztotelész és követői szerint az a típusú kijelentések egzisztenciális súllyal (avagy nyomatékkal; existential import) rendelkeznek, azaz maguk után vonják, hogy az alanyterminus (A) terjedelme nem üres. Ez vagy azt jelenti, hogy “Minden, ami A, az B”-t így kell értenünk:x(A(x)  B(x))  xA(x), vagy azt, hogy a kategorikus kijelentésekben nem is szabad üres terjedelmű terminusokat haszálni. Az első esetben baj lesz a kontradiktórius viszonyokkal. A másodikban az elmélet érvényességi köre nagyon leszűkül, s főképp sok esetben nem tudjuk előre, teljesül-e a feltétel.

7. Házi feladatokról általában: Mindig a SaveAs funkciót használják! A fájlnévből derüljön ki a szerző neve és a gyakorlat száma! Ezt tegyék hozzá a program által felajánlott fájlnévhez, a vezetéknevet _-lal elválasztva. Pl. Sentences9.3_Mate Ha nem a programokból származó, hanem szövegfájlt küldenek: Szám_vezeteknev.(doc, docx, odt, rtf, txt) HF.:9.5 Cél: egy Sentence-fájl, amely a Peirce’s Sentences.sen módositásával fog kijönni : Sentences 9.5_vezeteknev.sen.

8. Henkin-Hintikka játék (részben ismétlés) • Alapfelállás: • Két játékos van, Én és a Természet (TW képviseli). • A játék tárgya egy zárt mondat: P. • Választanom kell egy elkötelezettséget: P igaz, avagy hamis. • Az ellenfél automatikusan a másikat választja. • Azt, hogy ki jön a következő lépésben, mindig P alakja és az elkötelezettségem együtt dönti el. • Ha pl. azt állítom, hogy “Q  R” igaz, akkor a Természet választhat Q és R között, hogy szerinte melyik hamis. A továbbiakban ennek az igazságát kell megvédenem. • Ha azt állítom, hogy hamis, akkor neki kell azt állítania, hogy igaz, tehát én választok (hogy szerintem melyik hamis). • Ha “Q  R” igazságát állítom, akkor én választhatok, hogy melyiknek az igazságát akarom negvédeni, ha pedig a hamisságát, akkor a Természet választja ki, hogy szerinte melyik hamis. • Tehát mindegyik lépés eredménye egy új (egyszerűbb) mondat és egy új elkötelezettség.

9. Az igazság természetesen mindig egy adott világban értendő. • Végül eljutunk egy atomi mondatig és van vele kapcsolatban egy elkötelezettségem. Ha ez teljesül a világban, én nyertem, ha nem, a Természet. • Ha igazam van, akkor mindig van nyerő stratégiám (de veszíthetek is, ha rosszul játszom). • Ha nincs igazam, akkor a Természet fog nyerni (mert van nyerő stratégiája, és nem fog hibázni).

10. Játékszabályok kvantoros formulákra Ha azt állítom, hogy “xP(x)” igaz, akkor kell tudnom mutatni egy olyan objektumot a világban, amelyre P(x) igaz. Nem biztos, hogy van neve, de adunk neki (egy új nevet akkor is, ha már van neki); legyen ez b. Tehát az eredmény: P(b) igazságát kell állítanom. Ha azt állítom, hogy “xP(x)” hamis, akkor a Természet választ tetszése szerint egy b-t és nekem meg kell védenem P(b) hamisságát. Hasonlóképpen: ha “xP(x)” igazságát állítom, akkor a természet választ b-t és nekem P(b) igazságát kell állítanom; ha pedig a hamisságát, akkor én választom meg az ellenpéldát, azaz azt a b-t, amelyre szerintem P(b) hamis. Példa: 9.5 feladat