Relasi dan fungsi
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 28

Relasi dan Fungsi PowerPoint PPT Presentation


  • 205 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Relasi dan Fungsi. Matematika Diskrit. Relasi. Relasi antara Ayah dan anak , Ibu dengan anak , dll Dalam aritmatika : Relasi “ Lebih besar ” atau “ Lebih kecil ” digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan yang berbeda Binary Relation/Relation = relasi antara 2 objek.

Download Presentation

Relasi dan Fungsi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Relasi dan fungsi

RelasidanFungsi

MatematikaDiskrit


Relasi

Relasi

  • Relasiantara Ayah dananak, Ibudengananak, dll

  • Dalamaritmatika: Relasi “Lebihbesar” atau “Lebihkecil” digunakanuntukmembandingkanduabuahbilangan yang berbeda

  • Binary Relation/Relation = relasiantara 2 objek


Relasi dalam himpuanan

Relasidalamhimpuanan

  • Relasidarihimpunan A kehimpunan B, artinya

  • Memetakansetiapanggotapadahimpunan A (x ∈ A) dengananggotapadahimpunan B

    (y ∈ B)

  • RelasiantarahimpunanA danhimpunanB jugamerupakanhimpunan, yaituhimpunan yang berisipasanganberurutan yang mengikutiaturantertentu, contoh (x,y) ∈ R

  • RelasibinerR antarahimpunanA danB merupakanhimpunanbagiandaricartesian product A × B atauR ⊆ (A × B)


Notasi

Notasi

  • Relasiantaraduabuahobjekdinyatakandenganhimpunanpasanganberurutan

    (x,y) ∈ R

  • contoh: relasi F adalahrelasi ayah dengananaknya, maka:

    F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}

  • xRydapatdibaca: x memilikihubungan R dengan y


Contoh

Contoh

  • Humpunan A : himpunannamaorang

  • A={Via, Andre, Ita}

  • Himpunan B : himpunannamamakanan

  • B={eskrim, coklat, permen}

  • Relasimakanankesukaan (R) darihimpunan A dan B adalah:


Contoh1

Contoh

B

A

R

R : Relasidengannama “ MakananKesukaan “

Relasi R dalam A artinya domain dankodomainnyaadalah A


Cara menyatakan relasi

Cara menyatakanrelasi

  • Diagarampanah

  • Himpunanpasanganberurutan

  • Diagram Cartesius

  • Tabel

  • Matriks

  • Graph Berarah


Cara menyatakan relasi1

Cara menyatakanrelasi

  • Diagram Panah

R

B

A

permen

coklat

Es krim

  • R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}


Cara menyatakan relasi2

Cara menyatakanrelasi

  • Himpunanpasanganberurutan

    • R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,eskrim) , (Ita,eskrim)}

  • Diagram Kartesius


Cara menyatakan relasi3

Cara menyatakanrelasi

  • Tabel


Cara menyatakan relasi4

Cara menyatakanrelasi

  • Matriks

    • Baris = domain

    • Kolom = kodomain

Es krim

Coklat

Permen


Cara menyatakan relasi5

Cara menyatakanrelasi

  • Graph berarah

    • hanyauntukmerepresentasikanrelasipadasatuhimpunan (bukanantaraduahimpuanan).

    • Tiapunsurhimpunandinyatakandengansebuahtitik (disebutjugasimpulatauvertex)

    • Tiappasanganterurutdinyatakandenganbusur (arc).

      • Jika (a, b) ∈ R, makasebuahbusurdibuatdarisimpula kesimpulb.

      • Simpula disebutsimpulasal (initial vertex)

      • simpulb disebutsimpultujuan (terminal vertex)

      • Pasanganterurut (a, a) dinyatakandenganbusurdarisimpula kesimpula sendiri. Busursemacamitudisebutloop


Cara menyatakan relasi6

Cara menyatakanrelasi

  • Contoh graph berarah

    • MisalkanR = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalahrelasipadahimpunan {a, b, c, d}.


Latihan 1

Latihan 1

  • Z = {1,2,3,4};

  • R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z}

  • Nyatakanrelasitersbutdalambentuk

    • Himpunanpasanganberurutan

    • Matrix

    • Graf


Sifat sifat relasi

Sifat- sifatrelasi

Refleksif (reflexive)

Transitif (transitive)

SIMETRIK (SYMMETRIC)

ASIMETRIK (ASYMMETRIC)

EQUVALENT

POSET


Refleksif

Refleksif

  • Sebuahrelasidikatakanrefleksifjikasedikitnya:

    x ∈ A, xRx

  • Minimal


Transitif

Transitif

  • Sebuahrelasidikatakanbersifattransitifjika:

  • xRy , yRz => xRz ; (x,y, z) ∈ A

  • Contoh:

    R = {(a,d),(d,e),(a,e)}


Simetrik

Simetrik

  • Sebuahrelasidikatakanbersifatsimetrisjika:

  • xRy, berlaku pula yRxuntuk (x dan y) ∈ A

  • Cotoh:

    A={a,b,c,d}

    R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}


Asimetrik

Asimetrik

  • Relasiasimetrikadalahkebalikandarirelasisimetrik

  • Artinya

    (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R

  • Contohnya

  • R = {(a,b), (a,c), (c,d)}


Equivalen

Equivalen

  • Sebuahrelasi R dikatakanequivalenjikamemenuhisyarat:

    • Refelksif

    • Simeteris

    • Transitif


Partially order set poset

Partially Order Set (Poset)

  • Sebuahrelasi R dikatakanterurutsebagian (POSET) jikamemenuhisyarat:

    • Refleksif

    • Antisimetri

    • Transitif


Latihan 2

Latihan 2

  • A={1,2,3,4} Sebutkansifatuntukrelasi < padahimpunan A !

  • Apakahrelasiberikutasimetris, transitif?

    R = {(1,2),(3,4),(2,3),(3,3)}

  • Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?


Operasi dalam relasi

Operasidalamrelasi

  • Operasihimpunansepertiirisan, gabungan, selisih, danpenjumlahan (bedasetangkup) jugaberlakupadarelasi

  • JikaR1 danR2 masing-masingmerupakanrelasidarihimpunaA kehimpunanB, makaR1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, danR1 ⊕ R2 jugaadalahrelasidariA keB.


Contoh operasi relasi

Contohoperasirelasi

  • MisalkanA = {a, b, c} danB = {a, b, c, d}.

    RelasiR1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}

    RelasiR2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

    Maka :

    • R1 ∩ R2 = {(a, a)}

    • R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

    • R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}

    • R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}

    • R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}


Operasi dalam bentuk matriks

Operasidalambentukmatriks

  • MisalkanbahwarelasiR1 danR2 padahimpunanA dinyatakanolehmatriks

    Maka:


Komposisi relasi

Komposisirelasi

  • Misalkan

    • R adalahrelasidarihimpunanA kehimpunanB

    • T adalahrelasidarihimpunanB kehimpunanC.

  • KomposisiR danT, dinotasikandenganT ο R, adalahrelasidariA keC yang didefinisikanoleh :

    T ο R = {(a, c) a ∈ A, c ∈ C, danuntuksuatub ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ T }


Komposisi relasi1

Komposisirelasi

  • Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} danC = {s, t, u}

  • RelasidariA keB didefinisikanoleh :

    R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

  • RelasidariB keC didefisikanoleh :

    T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

  • MakakomposisirelasiR danT adalah

    T o R= {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}


Komposisi relasi2

Komposisirelasi

  • T o R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}


  • Login