1 / 30

Studia Podyplomowe „Informatyka” dla Nauczycieli

Politechnika Warszawska. Studia Podyplomowe „Informatyka” dla Nauczycieli. Instytut Informatyki. x. X. Pojęcie pochodnej. Gdy ciało porusza się po linii prostej, współrzędna jego położenia x zmienia się wraz z upływem czasu t.

vera
Download Presentation

Studia Podyplomowe „Informatyka” dla Nauczycieli

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Politechnika Warszawska Studia Podyplomowe „Informatyka” dla Nauczycieli Instytut Informatyki

  2. x X Pojęcie pochodnej Gdy ciało porusza się po linii prostej, współrzędna jego położenia x zmienia się wraz z upływem czasu t. Przypuśćmy, że w pewnym przedziale czasu t położenie zmieniło się o x. Powiemy, że w przedziale czasut ciało miało prędkość średnią:

  3. x x x Interesuje nas więc granica zwana pochodną położenia x względem czasu t. Pojęcie pochodnej Jednak w czasie t ciało mogło zwalniać i przyspieszać. Można zatem zadać pytanie: jaka była prędkość chwilowa na początku omawianego przedziału czasu? Aby uzyskać odpowiedź na tak postawione pytanie, należałoby zmierzyć zmianę położenia ciała w krótszym przedziale czasu.

  4. X Y Definicja pochodnej Przypuśćmy, że określona jest funkcja y(x), która przyporządkowuje wielkości x (zmiennej niezależnej) pewną inną wielkość y (zmienną zależną). Pochodną funkcji y(x) w punkcie xo nazywamy granicę „ilorazu różnicowego”:

  5. y y(x+x) Dy y(x) Dx x x+x x Interpretacja geometryczna Wartość ilorazu różnicowego y/x jest tangensem kąta, określającego nachylenie siecznej, czyli linii, która przecina krzywą w punktach (x, y(x)) i (x+x, y(x+x)). Kiedy x0, sieczna dąży do stycznej do krzywej w punkcie (x,y(x)). Pochodna równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi OX.

  6. Funkcje potęgowe Funkcje potęgowe mają postać y(x) = xn. x2 x3 x1 x0

  7. y y x x Pochodne funkcji potęgowych Funkcja stała y(x) = c Funkcja liniowa y(x)=a·x Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = y(x+ x) - y(x) = c-c = 0 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna funkcji stałej jest równa zero. Pochodna funkcji liniowej jest stała i wynosi a.

  8. y(x)=x2 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja kwadratowa y=a·x2 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x0 i wynosi y’(x)=2ax Kąt nachylenia stycznej dowykresu funkcji rośnie wraz ze wzrostem x.

  9. y y’(x)=x2 x y(x)=x3 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja trzeciego stopnia y(x) = a·x3 Iloraz różnicowy jest równy: Pochodna , czyli granica tego ilorazu dla x dążącego do zera, wynosi y’(x)=3ax2

  10. y y(x)=1/x x y’(x)=-1/x2 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja stopnia -1 y(x) = x-1 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x dążącego do zera i wynosi y’(x) = (-1)·x-2 Funkcja jest malejąca, więc jej pochodna jest ujemna.

  11. Pochodne funkcji potęgowych

  12. y(x)=sin(x) y 2 0  x y y’(x)=cos(x) 1 x  0 2 Pochodna funkcji sinus Funkcja y(x) = sin(x) Iloraz różnicowy wynosi: Czyli sin’(x) = cos(x)

  13. y y(x)=cos(x) 0  2 x y y’(x)=-sin(x) 0  2 x Pochodna funkcji cosinus Funkcja y(x) = cos(x) Iloraz różnicowy wynosi: Pochodną funkcji cosinus jest -sinus

  14. 4x ex y 2x 1 x ex y 4xln4 1 2xln2 x Pochodna funkcji wykładniczej Funkcja y(x) = ax Iloraz różnicowy wynosi: Po obliczeniu granicy tego ilorazu dla x dążącego do zera, otrzymamy wzór pochodnej: (ax)’= ax lna

  15. y 4xln4 ex 4x 2x 1 2xln2 x Pochodna funkcji wykładniczej Pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalnado samej funkcji.

  16. Pochodna funkcji y(x)=a·f(x) y 2sin(x) 2 1  2 x 0 y 2cos(x) 2 1 0  2 x Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą y(x) = af(x) Iloraz różnicowy ma postać: Jeśli obliczymy granicę tego ilorazu, otrzymamy wzór: y’(x) = a  f’ (x)

  17. Pochodna sumy funkcji Pochodna sumy funkcji y(x) = f(x) + g(x) Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = y (x+x) - y(x) = = (f(x+x) + g(x+x)) - (f(x) + g(x)) = = (f(x+x)-f(x)) + (g(x+x)–g(x)) Cały iloraz różnicowy ma więc postać sumy dwóchilorazów różnicowych: Pochodna sumy funkcji jest równa sumie ich pochodnych: y’(x) = f’(x) + g’(x)

  18. y y(x) = x+sin(x) 10 5 2 -5 -4 -3 -2 - 0  2 3 4 5 x -5 -10 Pochodna sumy funkcji Funkcja y(x) = x + sin(x) i jej pochodna y’(x) = 1+cos(x)

  19. y = f(x+x)g (x+x) -f(x)g (x) = = (f(x+x) – f(x))g(x+x) – f(x)(g(x+x)–g(x)) Pochodna iloczynu funkcji Pochodna iloczynu funkcji y(x) = f(x)•g(x) Licznik ilorazu różnicowego jest równy: Iloraz różnicowy ma postać: Dla x0 otrzymujemy: y’(x) = f’(x)•g(x)+f(x) •g’(x)

  20. y -4 -4 - - -2 -2 -5 -5 -3 -3 -6 -6 2 2   4 4 3 3 5 5 6 6 x y x Pochodna iloczynu funkcji y=x·sin(x) y’=sin(x)+x·cos(x)

  21. f’(x)· g(x) - f(x)· g’(x) y’(x) = g(x)2 Pochodna ilorazu funkcji Pochodna ilorazu funkcji y(x) = f(x)/g(x) Iloraz różnicowy można zapisać następująco: Dla x0 mamy: Pochodna ilorazu funkcji f(x) przez g(x) jest równa różnicy iloczynu pochodnej pierwszej funkcji przez drugą i iloczynu pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji, podzielonej przez kwadrat drugiej funkcji.

  22. -  -3 3 -5 5 x -  -3 3 -5 5 x Pochodna ilorazu funkcji

  23. Pochodną funkcji y(x) = cos(x) jest funkcja: -sin(x) -tg(x)·cos(x) Obie odpowiedzi są poprawne

  24. Pochodną funkcji y(x) = tg(x) jest funkcja: ctg(x) 1/cos2(x) 1/x2

  25. Pochodną funkcji y(x) = 2x3+ 4 jest funkcja: 3x2+4 6x2+4 6x2

  26. Pochodną funkcji y(x) = 1/x jest funkcja: -1/x/x -1/x2 Obie odpowiedzi są poprawne

  27. Pochodną funkcji y(x) = ex jest funkcja: x·ex ex ex/x

  28. 1. Wielka internetowa encyklopedia multimedialnahttp://www.encyklopedia.pl 2. Dydaktyka w Interneciehttp://www.szkoly.edu.pl/dydaktyka.html 3. K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników. Klasa III. 4. H. Łubowicz, B. Wieprzkowicz: Matematyka. Podstawowe wiadomości teoretyczne i ćwiczenia dla studentów studiów inżynierskich. 5. K. Litewska, J. Muszyński: Analiza matematyczna, cz.1. 6. W. Żakowski: Matematyka, cz. 1. Neto- i bibliografia

More Related