Slide1 l.jpg
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 184

ВВЕДЕНИЕ В БАЙЕСОВСКИЕ СЕТИ PowerPoint PPT Presentation


  • 202 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

ВВЕДЕНИЕ В БАЙЕСОВСКИЕ СЕТИ. Алгоритмы для Интернета, ИТМО & СПбГУ С.-Петербург, 26 октября 2006 Рук. семинара Ю.М. Лифшиц. Логико-вероятностная модель баз фрагментов знаний с неопределенностью. Александр Львович Тулупьев

Download Presentation

ВВЕДЕНИЕ В БАЙЕСОВСКИЕ СЕТИ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Slide1 l.jpg

ВВЕДЕНИЕ В БАЙЕСОВСКИЕ СЕТИ

Алгоритмы для Интернета, ИТМО & СПбГУС.-Петербург, 26 октября 2006Рук. семинара Ю.М. Лифшиц

Логико-вероятностная модель баз фрагментов знаний с неопределенностью

Александр Львович Тулупьев

ведущий научный сотрудниклаборатория прикладной информатикиСанкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

вице-президент Российской ассоциации нечетких систем и мягких вычислений

[email protected]

Александр Владимирович Сироткин

аспирантлаборатория прикладной информатикиСанкт-Петербургский институт информатики и автоматизации [email protected]


Slide2 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide3 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide4 l.jpg

Идеологическое определение

  • Байесовские сети --- это графические структуры для представления вероятностных отношений между большим количеством переменных и для осуществления вероятностного вывода на основе этих переменных.

Learning Bayesian NetworksNeapolitan R.E., 2004


Slide5 l.jpg

Уточнение-1

  • Предположение, лежащее в основе любой вероятностной сети, заключается в том, что, в то время как общая проблема чересчур сложна для применения наивных методов вычисления и обновления вероятностей…, отдельные клики… имеют приемлемый, разумный размер…

Probabilistic Networks and Expert SystemsCowell R.G. et al., 2004


Slide6 l.jpg

Уточнение-2

  • …В частности, мы предполагаем, что можем производить (пользуясь, например, «грубой силой», т.е. подходом по определению) любые желаемые операции, такие, как маргинализацию или нормировку, внутри любой клики, но необязательно непосредственно для всей сети сразу…

Probabilistic Networks and Expert SystemsCowell R.G. et al., 2004


Slide7 l.jpg

Уточнение-3

  • Наша цель --- использовать структуру сети для того, чтобы распространить такие вычисления на полный набор переменных.

Probabilistic Networks and Expert SystemsCowell R.G. et al., 2004


Slide8 l.jpg

Цель ---

  • представить распределение вероятностей (или их семейство) над (большим числом) переменных, в общем виде выглядящее как


Slide9 l.jpg

И допускающее декомпозицию


Slide10 l.jpg

Байесовские сети доверия


Slide11 l.jpg

Алгебраические байесовские сети


Slide12 l.jpg

АБС (графы и деревья смежности)


Slide13 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide14 l.jpg

Почему БС востребованы

  • ИИ (МВ): знания с неопределенностью, фрагменты знаний, базы фрагментов знаний

  • Статистика: много переменных, связи всех со всеми неописуемые и неоцениваемые, зато отдельные скопления можно неплохо охарактеризовать

  • Техника: декомпозируемость систем, знание свойств элементов и связей между ними


Slide15 l.jpg

Что предшествовало

  • Анализ родословных для поиска источника и путей передачи генетических аномалий.

  • Представление результатов статистических наблюдений, когда наблюдаемых переменных очень много, но их удается разбить на условно независимые наборы.


Slide16 l.jpg

БС применяются в медицине

  • Для быстрой постановки диагноза, чтобы выбрать правильное учреждение для госпитализации

  • Для дифференциальной диагностики заболеваний, симптоматические проявления которых сходны [но не совпадают полностью]


Slide17 l.jpg

БС применяются в технологических процессах

  • Для диагностики отказов и дефектов

  • В драйверах принтеров

  • Для анализа результатов тестирования ПО

  • Для оптимизации запросов в БД

  • Для представления результатов data mining


Slide18 l.jpg

БС применяются в научных исследованиях

  • Диагностика концентрации уровня кислорода в озере (PhD Thesis!)

  • Геномика и биоинформатика

  • Все то же представление результатов статистической обработки


Slide19 l.jpg

Потенциальная применимость БС

  • Теория надежности структурно сложных систем (ЛВМ --- адм. И.А. Рябинин)


Slide20 l.jpg

БС в учебном процессе

  • Подробнее --- немного позже.

  • Основное

    • Комбинирование и актуализация знаний из нескольких дисциплин;

    • Все объекты и предметы исследования «под рукой»;

    • Полигон для применения программных технологий.


Slide21 l.jpg

Немного об истории

  • Логика (от Аристотеля и раньше);

  • Вероятностная логика (от Дж. Буля и позже); в ИИ удачно ввел Н. Нильссон в 1986; различные формализации, мы пользуемся Хальперном, Фагином и Меггиддо;

  • Байесовские сети (БСД – Дж. Пиэрл, АБС – В.И. Городецкий), еще и марковские сети (???);

  • история этим не исчерпывается; смежные дисциплины...


Slide22 l.jpg

Немного об особенностях

  • Очень большой упор на графическое представление отношений независимости и условной независимости.

  • Стремление избежать обсуждения тех проблем, решения которых они не знают (подмена циклов последовательностью фрагментов знаний, …)

  • А нам бы о представлении данных хотелось бы поговорить побольше, непротиворечивость посмотреть, алгоритмы вывода выписать и сделать понятными, на доступные программные технологии опереться.


Slide23 l.jpg

БСД: литература

  • Статьи

  • Pearl J. (1985). How to Do with Probabilities what People Say You Can't. Artificial Intelligence Applications. Ed. Weisbin C.R., IEEE, North Holland, pp. 6--12.

  • Pearl J. (1986). Fusion, Propagation, and Structuring in Belief Networks. Artificial Intelligence, vol. 29. Elsevier Science Publishers B.V., North Holland, pp. 241--288.

  • Pearl J. (1986a). Constraint-Propagation Approach to Probabilistic Reasoning. Machine Intelligence & Pattern Recognition (Uncertainty in Artificial Intelligence). Eds. Kanal L.N., Lemmer J.F. Vol. 4, Elsevier Science Publishers B.V., North Holland, pp. 357--369.

  • Pearl J. (1986b). On Evidentional Reasoning in Hierarchy of Hypotheses. Artificial Intelligence, vol. 28. Elsevier Science Publishers B.V., North Holland, pp. 9--15.

  • Pearl J. (1986c). Distributed Revision of Composite Beliefs. Artificial Intelligence, vol. 33. Elsevier Science Publishers B.V., North Holland, pp. 173--215.

  • Монографии

  • Pearl J. (1988). Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems. Morgan Kaufmann Publishers, 552 pp.

  • Pearl J. (2000). Causality: Models, Reasoning, and Inference. Cambridge University Press, 386 pp.

  • Jensen F.V.(2001). Bayesian Networks and Decision Graphs. Springer-Verlag, NY. 268 pp.

  • Korb K.B., Nicholson A.E. (2004). Bayesian Artificial Intelligence. Chapman and Hall/CRC, 364 pp.

  • Kyburg H.E. Jr. (2001). Uncertain Inference. Cambridge University Press, 298 pp.

  • Lauritzen, S. L. (1996). Graphical Models, Oxford University Press, Oxford, 1996.

  • Neapolitan R.E. (2004). Learning Bayesian Networks. Pearson Prentice Hall, 674 pp.

  • Nilsson N.J. (1998). Artificial Intelligence: A New Synthesis. Morgan Kaufmann Publishers, 514 pp.


Slide24 l.jpg

АБС: литература

  • Gorodetsky V.I., Drozdgin V.V., Jusupov R.M. Application of Attributed Grammar and Algorithmic Sensitivity Model for Knowledge Representation and Estimation // Artificial Intelligence and Information, Control Systems of ROBOTSA. North Holland, Elsevier Science Publ., 1984. pp. 232--237.

  • Городецкий В.И. Байесовский вывод. АН СССР, ЛИИАН, Препринт № 149. Л., 1991.

  • Городецкий В.И. Алгебраические байесовские сети --- новая парадигма экспертных систем // Юбилейный сборник трудов институтов Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации Российской Академии наук, т. 2. М., РАН, 1993. с. 120--141.

  • Городецкий В.И., Тулупьев А.Л. Формирование непротиворечивых баз знаний с неопределенностью // Известия РАН. Серия "Теория и системы управления». 1997. №5.

  • Тулупьев А.Л. Алгебраические байесовские сети. Теоретические основы и непротиворечивость. СПб.: СПИИРАН, 1995. 76 с.

  • Тулупьев А.Л. Алгебраические байесовские сети. Логико-вероятностный подход к моделированию баз знаний с неопределенностью. СПб.: СПИИРАН, 2000. 292 с.

  • Тулупьев А.Л., Николенко С.И., Сироткин А.В. Байесовские сети: логико-вероятностный подход. СПб.: Наука, 2006. 607 с.


Slide25 l.jpg

Веб-сайты

  • БСД: стоит начинать с www.auai.org

  • АБС: сайт в разработке, можно периодически проверять www.spiiras.nw.ru(а пока пользоваться Зеленой книгой)


Slide26 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide27 l.jpg

БА пропозициональных формул

Универсум, множество атомов, множество булевских переменных,

Множество атомарных пропозиций…

Алгебра пропозициональных формул, построенных над

заданным универсумом.

Фактор-алгебра классов тождественных пропозициональных формул. Как правило, далее эквивалентные формулы не различаются. В частности, вероятности истинности эквивалентных формул будут совпадать.

trueили 1 --- тождественная истина, константа

falseили 0 --- тождественная ложь, константа,

(f) --- истинностное означивание пропозициональной формулы f.


Slide28 l.jpg

Аргументное место (литерал)

Аргументное место или литерал.

Используется как обозначение означивания атомарной формулы x или как скользящий индекс.

Внутри одной и той же формулы означивания одного и того же аргументного места совпадают. Возможные несовпадения оговариваются отдельно.


Slide29 l.jpg

Логические операции

Знак конъюнкции, как правило, опускают: вместо xyпишут xy.


Slide30 l.jpg

Кванты

Пусть нам задан набор атомов

.

Квантом называется конъюнкция, в которую входят все атомы из набора.

Каждый атом входит с одним из означиваний: либо положительным либо

отрицательным.

Пример записи кванта, краткой и полной.

Обозначение множества квантов:

Пример:


Slide31 l.jpg

Конъюнкты

Пусть нам задан набор атомов

.

Конъюнктом называется конъюнкция положительно означенных атомов из набора. В эту конъюнкцию атом либо входит, либо вообще не входит.

Один положительно означенный атом тоже является конъюнктом. Пустая конъюнкция (пустой конъюнкт) эквивалентен тождественной истине.

--- примеры конъюнктов.

--- краткая запись конъюнкта.


Slide32 l.jpg

Теорема о СДНФ


Slide33 l.jpg

Идеал конъюнктов

Также можно рассматривать идеал с пустым конъюнктом.


Slide34 l.jpg

Особенности идеала

  • Множество всех непустых конъюнктов над заданным набором атомов --- идеал;

  • Множество всех (все непустые и один пустой) конъюнктов над заданным набором атомов --- идеал;

  • Непустое пересечение идеалов --- идеал.


Slide35 l.jpg

Идеал конъюнктов 4-го порядка


Slide36 l.jpg

ПРИМЕР (1)

.

,

,

,

.


Slide37 l.jpg

ПРИМЕР (2)

.

,

,

,


Slide38 l.jpg

Вероятность истинности

  • Подход по Н. Нильссону (1986 г.)

  • Более глубокая формализация дана в работах коллектива Фагина, Хальперна, Миггидо (пригодна для рассуждений об оценках сложности)

  • Другие глубокие формализации

  • Спор о приоритетах (de Finetti…)

  • Дж. Буль --- тоже писал о вероятности пропозиции


Slide39 l.jpg

НАБОР ПРОПОЗИЦИЙ


Slide40 l.jpg

Возможные миры


Slide41 l.jpg

Допустимые миры


Slide42 l.jpg

Вероятность пропозиции

  • В рамках подхода Н. Нильссона мы рассуждаем о вероятности истинности пропозиции;

  • Для краткости говорят вероятность пропозиции


Slide43 l.jpg

Теорема о СДНФ


Slide44 l.jpg

КВАНТЫ: Множество элементарных событий


Slide45 l.jpg

ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОПОЗИЦИИ


Slide46 l.jpg

Индексация конъюнктов (дизъюнктов) и квантов


Slide47 l.jpg

Случайные бинарные последовательности


Slide48 l.jpg

Базовые понятия ТВ на языке СБП


Slide49 l.jpg

Кванты и вероятность истинности


Slide50 l.jpg

Конъюнкты и вероятность истинности


Slide51 l.jpg

Вероятности квантов и конъюнктов

Связи между наборами квантов и конъюнктов будет обсуждаться ещё неоднократно, поскольку кванты формируют множество элементарных событий, а конъюнкты --- идеал, образующий одну из моделей фрагмента знаний.


Slide52 l.jpg

Интервальная вероятность конъюнкции

--- дано.

Оценки вероятностей не могут быть произвольно назначены. Вероятности истинности пропозициональных формул находятся в определенных отношениях.

Вместе с тем, по точечным оценкам вероятностей одних формул даже в простейших случаях не всегда удается восстановить точечные оценки вероятностей других формул (без привлечения дополнительных предположений).


Modus ponens l.jpg

Modus ponens

И в этом случае даже из точечных оценок вероятностей в антецеденте будут получаться, как правило, интервальные оценки вероятностей в консеквенте. Кроме того, некоторые сочетания оценок в антецеденте будут противоречить аксиоматике вероятностной логики.


Slide54 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide55 l.jpg

Фрагмент знаний (определение)

  • Математическая модель

  • Идеал конъюнктов

  • Оценки вероятностей элементов идеала (точечные и интервальные)


Brute force calculations l.jpg

ФЗ: Brute Force Calculations

  • Поддержание непротиворечивости

  • Априорный вывод

  • Апостериорный вывод

  • Вывод оценок чувствительности

  • Объемлющая непротиворечивость

  • Линейные комбинации ФЗ

  • ...


Slide57 l.jpg

p(x)=0.4

p(x)=0.6

непротиворечиво

(согласовано, совместно)

p(x)=0.7

p(x)=0.6

противоречиво

(несовместно)

«Точечная» непротиворечивость


Slide58 l.jpg

p(x)=[0.4;0.5]

p(x)=[0.5;0.6]

непротиворечиво

(согласовано, совместно)

p(x)=[0.7;0.8]

p(x)=[0.5;0.6]

противоречиво

(несовместно)

p(x)=[0.3;0.5]

p(x)=[0.4;0.6]

непротиворечиво

(не согласовано, совместно)

«Интервальная» непротиворечивость


Slide59 l.jpg

Непротиворечивость ФЗ (.)

  • Преобразовать вероятности на конъюнктах в вероятности на квантах;

  • Проверить соответствие вероятностной аксиоматике получившихся оценок на квантах


I n j n l.jpg

Матрицы Inи Jn

  • Матрицы преобразования вектора вероятностей конъюнктов в вектор вероятностей квантов и наоборот строятся как прямое произведение матриц Кронекера.


I 2 3 4 5 l.jpg

Матрицы I (2, 3, 4, 5)


Slide62 l.jpg

Множество ограничений E(n)

  • Обозначим множество ограничений, вытекающих из вероятностной аксиоматики, как E(n).

  • В матрично-векторном виде они записываются как


Slide63 l.jpg

ФЗ с [,]-ми оценками

  • Задан набор интервальных оценок, который мы обозначим как D(n).


Slide64 l.jpg

Непротиворечивость ФЗ ([])

  • Пусть задан набор интервальных оценок.

  • Этот набор непротиворечив (согласован), если для произвольного элемента при выборе произвольной точки из интервальной оценки в остальных интервалах можно выбрать точки так, что получившийся набор точечных оценок непротиворечив.


Slide65 l.jpg

Поддержание непротиворечивости ФЗ в [,]-ом случае


Slide66 l.jpg

Априорный вывод

Можно как выводить оценку истинности пропозиции, не вошедшей в ФЗ, так и учитывать эту оценку в процессе поддержания непротиворечивости или априорного вывода оценок вероятности истинности других формул.


Slide67 l.jpg

Апостериорный вывод в ФЗ АБС

  • Мы что-то узнали: поступило свидетельство;

  • Как оно повлияет на наши оценки вероятностей утверждений из нашей базы знаний;

  • [Как распространить влияние свидетельства]

  • Несколько вычислительно разных ситуаций...


Slide68 l.jpg

Детерминированное свидетельство

  • Атомарные <x> или <x> и кортежи <x1x8>, <x1x2>, <x1x2x3>... Кратко


Slide69 l.jpg

Недетерминированное свидетельство

  • Атомарные <p[a](x)> и < p[a]( x)>

  • Кортежи < p[a](x1x8), p[a](x1x8), p[a](x1x8), p[a](x1x8)>

  • В краткой записи:

Апостериорное распределение вероятностей (задающее свидетельство) подчиняется аксиомам вероятностной логики. В нашей теории кортеж недетерминированных свидетельств также представляется в виде фрагмента знаний.


Slide70 l.jpg

Свидетельство с неопределенностью

Кортеж недетерминированных свидетельств с неопределенностью представляется в виде фрагмента знаний с интервальными оценками истинности.


Slide71 l.jpg

Апостериорный вывод: (.) и [,]

  • Вид оценок в ФЗ, куда поступает свидетельство, также создают особый вычислительный аспект:

  • точечные оценки --- «прямые» вычисления по определению условной вероятности;

  • интервальные оценки --- задачи гиперболического программирования.


Slide72 l.jpg

Апостериорный вывод «по определению» условной вероятности («+»)


Slide73 l.jpg

Апостериорный вывод «по определению» условной вероятности («-»)

За счет процедуры переозначивания атомов и пересчета вероятностей, можно считать, что поступают лишь свидетельства, означенные положительно


Slide74 l.jpg

Апостериорный вывод, ФЗ с [,]

  • Сведение:


Slide75 l.jpg

Апостериорный вывод, ФЗ с [,]

  • Сведение:


Slide76 l.jpg

Апостериорный вывод, ФЗ с [,]

  • Сведение:


Slide77 l.jpg

Апостериорный вывод, ФЗ с [,]

  • Сведение:


Slide78 l.jpg

Апостериорный вывод, ФЗ с [,]

  • Сведение:


Slide79 l.jpg

Несовместимость со свидетельством


Slide80 l.jpg

Апостериорный вывод при недетерм-ом свидетельстве


Slide81 l.jpg

Примеры формул для рассчетов


Slide82 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide83 l.jpg

Алгебраическая байесовская сеть

  • Это множество фрагментов знаний, как правило, связанных между собой (имеющих общие конъюнкты), которые рассматриваются как единое целое.


Slide84 l.jpg

Граф и дерево смежности - веса

  • Узлу графа смежности ставится в соответствие фрагмент знаний; весом же узла является идеал конъюнктов, лежащий в основе этого ФЗ.


Slide85 l.jpg

Граф смежности --- определение

  • Графом смежности называется ненаправленный граф, в котором

    • между каждой парой узлов, веса которых содержат общие элементы, существует путь;

    • в веса каждого из узлов любого пути (в графе) входят все элементы, общие для начального и конечного узлов этого пути;

    • вес одного узла не входит полностью в вес никакого другого узла.


Slide86 l.jpg

Сепараторы

  • Каждому ребру в графе смежности также удобно приписать вес – пересечение весов, приписанных тем двум узлам, которые соединяются рассматриваемым ребром.

  • Вес на ребре --- сепаратор (или разделитель).

  • Непустое пересечение идеалов конъюнктов --- идеал конъюнктов.


Slide87 l.jpg

Дерево смежности

  • Деревом смежности называется ациклический граф смежности --– такой граф, что в нем нет ни одного цикла, то есть пути (без повторяющихся узлов), начало и конец которого бы совпали.


Slide88 l.jpg

АБС --- определение

  • Алгебраическая байесовская сеть (АБС) определяется как граф смежности с фрагментами знаний в узлах.

  • АБС, представимая в виде дерева смежности, называется ациклической (ААБС).

  • АБС является одной из логико-вероятностных моделей БФЗ с неопределенностью.


Slide89 l.jpg

АБС --- графическое представление


Slide90 l.jpg

Ациклические АБС


Slide91 l.jpg

Степени непротиворечивости АБС

  • Локальная,

  • Экстернальная,

  • Интернальная,

  • Глобальная


Slide92 l.jpg

Степени непротиворечивости АБС

  • Локальная: непротиворечив каждый фрагмент знаний по отдельности.


Slide93 l.jpg

Степени непротиворечивости АБС

  • Экстернальная: совпадают оценки пересекающихся фрагментов.


Slide94 l.jpg

Степени непротиворечивости АБС

  • Интернальная: распределения вероятностей совпадают на конъюнктах, общих для двух или более ФЗ.


Slide95 l.jpg

Степени непротиворечивости АБС

  • Глобальная: непротиворечив объемлющий фрагмент знаний.


Slide96 l.jpg

АБС: интернальная и глобальная непротиворечивость


Slide97 l.jpg

ААБС: интернальная и глобальная непротиворечивость

  • Ациклическая АБС, непротиворечивая интернально, глобально непротиворечива.


Slide98 l.jpg

ААБС: интернальная и экстернальная непротиворечивость

  • Экстернально непротиворечивая ациклическая АБС может быть интернально противоречивой.

  • Есть класс ациклических сетей, у которых из экстернальной непротиворечивости следует интернальная.


Slide99 l.jpg

Апостериорный вывод: свидетельства

  • Детерминированное свидетельство (и кортеж ДС);

  • Недетерминированное свидетельство (и кортеж НДС);

  • Недетерминированное свидетельство (и кортеж НДСН).


Slide100 l.jpg

Апостериорный вывод: два ФЗ


Slide101 l.jpg

Передача виртуального свидетельства между ФЗ


Slide102 l.jpg

Апостериорный вывод в ААБС


Slide103 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide104 l.jpg

Байесовские сети доверия

Основная цель байесовских сетей доверия, как и в случае АБС,— представление распределения вероятностей над переменными (возможно многозначными) в удобном для обработки и компактном виде.

В качестве такого представления выбран ациклический направленный граф с тензорами условных вероятностей.


Slide105 l.jpg

Простейшие БСД


Slide106 l.jpg

БСД односвязная


Slide107 l.jpg

БСД с допустимыми циклами


Slide108 l.jpg

БСД с недопустимым циклом


Slide109 l.jpg

Пример БСД


Slide110 l.jpg

Типы связей в БСД

а – последовательная связь;

б – расходящаяся связь; в – сходящаяся связь.


Slide111 l.jpg

Понятие d-разделимости

  • Два узла называются d-разделимыми, если любой путь между ними содержит последовательную или сходящуюся связь, в центральный узел которой поступило свидетельство, или расходящуюся связь, в центральный узел (и его потомки) которой не поступило свидетельство.


Slide112 l.jpg

Основное предположение

  • d-разделенные узлы независимы.

  • Это предположение позволяет однозначно восстановить распределение вероятностей над всеми переменными.


Slide113 l.jpg

Несколько условий формально на примере нашей сети

  • p(u|t) × p(v|t) = p(uv|t)

  • p(t|uv) × p(w|uv) = p(tw|uv)

  • В такой форме эти предположения уже не кажутся столь очевидными


Slide114 l.jpg

Что нам дают такие предположения

  • Независимость d-разделимых [переменных в узлах] позволяет выделить единственное распределение из всех, для которых подходят заданные условные вероятности.

  • Это единственное распределение -- произведение всех вероятностей, заданных в БСД (chain rule).


Chain rule l.jpg

Chain rule для нашего примера


Slide116 l.jpg

Но все же…

  • Несмотря на указанную выше формализацию, методы работы с БСД позволяют использовать chain rule неявно.


Slide117 l.jpg

Первичная пропагация

  • Вычисление вероятностей всех переменных (по отдельности), входящих в нашу сеть.


Slide118 l.jpg

Простейший (в лоб) алгоритм первичной пропагации

  • По определению условной вероятности:

  • Аналогично хочется поступить с остальными вероятностями.


Slide119 l.jpg

Алгоритм первичной пропагации для ациклических направленных графов

  • Очевидно, что в описанном выше примере нам в ходе вычисления p(w) потребуются вероятности именно в такой ситуации и требуется chain rule и понятие d-разделимости. В частности получаем, что p(uv|t) = p(u|t) ×p(v|t), аналогично для отрицания t и суммируем.


Slide120 l.jpg

Первичная пропагация, обобщенный алгоритм «на пальцах»

  • Если мы хотим вычислить вероятность какого либо узла, то мы должны просуммировать совместное распределение по означиванию всех остальных переменных (маргинализовать).

  • Но, так как все наше распределение разбивается на произведение достаточно простых, можно проводить суммирование по очереди по одной (иногда по нескольким) переменным за раз, при этом большая часть сомножителей не будет от них зависеть.


Slide121 l.jpg

Первичная пропагация связь простого и обобщенного алгоритмов

  • Простой алгоритм — это всего лишь удачный порядок суммирования для обобщенного алгоритма.

  • Обобщенный алгоритм понадобится при появлении свидетельств.

  • Для обобщенного алгоритма удобно определить на БСД структуру дерева смежности.


Slide122 l.jpg

Моральный граф

  • Моральным графом для БСД называется ненаправленный граф, в котором вершины те же, и две вершины соединены ребром, если они либо соседствуют, либо имеют общего сына в исходной БСД.


Slide123 l.jpg

Пример морального графа


Slide124 l.jpg

Если моральный граф триангулярен

  • То его можно разбить на клики, которые затем можно объединить в дерево смежностей (разными вариантами).

  • Каждая максимальная клика попадает в отдельный [соответствующий ей] узел дерева смежности.


Slide125 l.jpg

Если не триангулярен

  • То придется его триангулировать.

  • Это требуется сделать, добавив, по возможности, «минимум» ребер.


Slide126 l.jpg

Дерево сочленений


Slide127 l.jpg

Пропагация свидетельств

  • Но главная задача БСД — это все-таки пропагация свидетельств (апостериорный вывод).

  • Иными словами, мы знаем апостериорные означивания нескольких узлов и хотим получить условную вероятность остальных.


Slide128 l.jpg

Переход к пропагации свидетельств

  • Мы умеем вычислять маргинальные вероятности.

  • Давайте в процессе вычисления в нужном месте «заменим» «настоящую» вероятность единицей или нулем в зависимости от свидетельства.

  • Это гарантирует, что мы получим правильные вероятности в тех узлах, что ниже.

  • Как же учесть влияние на предшествующие узлы?


Slide129 l.jpg

Алгоритм пропагации свидетельств, «на пальцах»

  • Мы поступим как в обобщенном алгоритме первичной пропагации

  • Для переменной, условную вероятность которой мы хотим получить, нам придется придумать хороший порядок маргинализации из совместного распределения.


Slide130 l.jpg

Дерево сочленений обеспечивает хороший порядок обхода (суммирования)


Slide131 l.jpg

Для нашего примера


Slide132 l.jpg

Выгода считать все сразу

  • Двукратный проход по дереву смежности дает нам все искомые вероятности.

  • Для вычисления одной вероятности можно пройти один раз (искомая помещается в вершину).


Slide133 l.jpg

Проблема направленного цикла

  • Наличие направленного цикла в байесовской сети доверия приводит к тому, что chain rule не работает.

  • Но часто можно построить распределение, удовлетворяющее заданным условным вероятностям.

  • Такое распределение может быть не единственным: исходным данным может отвечать семейство распределений.


Slide134 l.jpg

Изолированный цикл с бинарными переременными

  • Условные вероятности задают ограничения на маргинальные вероятности.

  • Эти ограничения можно представить в виде системы линейных уравнений.


Slide135 l.jpg

Линейные уравнения, задаваемые изолированным циклом

,


Slide136 l.jpg

Линейные уравнения, задаваемые изолированным циклом,в матричном представлении

.


Slide137 l.jpg

Погружение во фрагмент знаний алгебраической байесовской сети


Slide138 l.jpg

Результат погружения

  • Мы можем получить оценки (возможно интервальные) на всевозможные конъюнкции положительно означенных элементов.

  • Мы можем выяснить, что имеющиеся оценки не соответствуют аксиоматике вероятностной логики.


Slide139 l.jpg

Направленный цикл с потомками

  • Потомок имеет одного родителя из цикла;

  • Потомок является сыном двух соседних узлов;

  • Потомок является сыном двух не соседних узлов;

  • Потомок является сыном трех и более узлов.


Slide140 l.jpg

Потомок имеет одного родителя из цикла

  • Мы уже получили точечные значения маргинальных вероятностей всех элементов цикла.

  • Маргинальная вероятность родителя, может быть рассмотрена как заданная изначально и обрабатываться традиционным для БСД способом.


Slide141 l.jpg

Потомок является сыном двух соседних узлов

  • Для двух соседних узлов нам полностью известно совместное распределение.

  • Данное распределение можно использовать для дальнейшей пропагации традиционным образом.


Slide142 l.jpg

Потомок является сыном двух несоседних узлов

  • Распределение над родительскими узлами можно найти с точностью до одного параметра.

  • Если зафиксировать этот параметр, то можно проводить обычную пропагацию.


Slide143 l.jpg

Потомок является сыном трех и более узлов

  • Сложности связаны с большим количеством параметров.

  • Параметры связаны друг с другом и не все их сочетания возможны.

  • Пропагация проводится с учетом этих параметров.

  • Может требовать решения ЗЛП.


Slide144 l.jpg

Учет влияния предков

  • Главная проблема – нельзя выписать систему линейных уравнений.

  • Причина – нельзя зная условную вероятность относительно двух узлов, редуцировать ее до условной вероятности одного из них.


Slide145 l.jpg

Путь решения

  • Можно зафиксировать все возможные означивания родителей.

  • Для каждого означивания мы получаем изолированный цикл.

  • Проводим обработку цикла и производим суммирование с учетом вероятности каждого конкретного означивания родителей.


Slide146 l.jpg

Проблема

  • Возможна ситуация, когда при одних означиваниях цикл непротиворечив, а при других противоречив.


Slide147 l.jpg

Возможное решение

  • Исключить «плохие» означивания родителей.

  • Пересчитать байесовскую сеть доверия с учетом «невозможных» состояний.


Slide148 l.jpg

Погружение БСД в АБС


Slide149 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide150 l.jpg

Базовые дисциплины

  • Математические

    • Математическая логика

    • Теория вероятностей

    • Экстремальные задачи

  • Информатика

    • Теория графов

    • Представление данных

    • Базы данных

  • Искусственный интеллект

    • Представление неопределенности

    • Логико-вероятностный вывод

    • Мягкие вычисления


Slide151 l.jpg

Особенности материала

  • Части материала «масштабируются» под нужды конкретного курса и конкретной аудитории;

  • В возникающих экстремальных задачах используются объекты, знакомые математикам (а не насильно заимствованные из экономики);

  • Много задач для программирования, удобно для организации семинаров и практикумов;

  • «Неисчерпаемая тематика» для курсовых и дипломных работ


Slide152 l.jpg

Полезные навыки

  • Для изучения математической статистики (и способов ее применения на практике);

  • Для дальнейшего овладения теорией надежности (структурно сложных систем в рамках ЛВМ и родственных ему)

  • Для освоения аппаратов небайесовских мер истинности


Slide153 l.jpg

ПЛАН

  • БС — что это

  • БС — праксис и генезис

  • Вероятностная логика

  • Фрагменты знаний (ФЗ)

  • Алгебраические байесовские сети

  • Байесовские сети доверия

  • БС — дидактическое применение

  • БС — монография


Slide154 l.jpg

Монография

  • Тулупьев А.Л., Николенко С.И., Сироткин А.В.

  • Байесовские сети: логико-вероятностный подход

  • СПб.: Наука, 2006

  • 607 стр.

  • ISBN 5-02-025107-0

  • Изд. грант РФФИ 06-01-14108


Slide155 l.jpg

Обложка


Slide156 l.jpg

Разворот обложки


Slide157 l.jpg

Дополнительный материал


Slide158 l.jpg

Мягкие вычисления (SC)

  • Консорциум вычислительных методологий, которые коллективно обеспечивают основы для понимания, конструирования и развития интеллектуальных систем

Заде Л.А. Роль мягких вычислений в понимании, конструировании и развитии информационных/интеллектуальных систем // Новости искусственного интеллекта. 2001. 2—3 (44—45).


Slide159 l.jpg

Мягкие вычисления: отрасли

  • Нечеткая логика (FL)

  • Нейровычисления (NC)

  • Генетические вычисления (GC)

  • Вероятностные вычисления (PC)

  • Рассуждения на базе свидетельств (ER)

  • [Байесовские сети](BN)

  • Хаотические системы (ChS)

  • Машинное обучение (ML)

Заде Л.А. Роль мягких вычислений в понимании, конструировании и развитии информационных/интеллектуальных систем // Новости искусственного интеллекта. 2001. 2—3 (44—45).


Slide160 l.jpg

Цель и задачи исследования


Slide161 l.jpg

Декомпозируемость знаний

  • Эксперт не мыслит о закономерностях предметной области как о «связи всего со всеми»

  • Выделяются фрагменты знаний (Knowledge patterns), которые содержат достаточно подробные сведения о небольшом числе объектов (или утверждений) о предметной области, а также о связях между ними


Slide162 l.jpg

Модель утверждения

  • Атомарная пропозициональная формула (булевская переменная, пропозициональная переменная, атомарная пропозиция) --- модель «атомарного» утверждения о предметной области

  • Пропозициональные формулы --- модели утверждений, возможно сложных, о предметной области


Slide163 l.jpg

Неопределенность

  • Почему возникает

    • Пропущенные наблюдения

    • Неточность средств измерения

    • Экспертные высказывания

    • Неудачные регистрационные формы

    • Частично незаполненное поле (только год в дате рождения)

  • Как проявляется

  • Нужно ли обрабатывать


Slide164 l.jpg

Виды неопределенности

  • Существует много видов, например

    • неоднозначность и многозначность слов;

    • возможность двух или более интерпретаций записи даже на формальном языке;

    • недетерминированность;

    • нечёткость (в т.ч. лингвистическая);

    • неточность (интервальные оценки);

    • недоопределённость...


Slide165 l.jpg

Неопределенность утверждения

  • Истинностное означивание и мера истинности

  • Мера истинности как степень доверия к утверждению

  • Мера истинности как степень тесноты связи между частями составной пропозициональной формулы

  • Возможные значения и оценки меры истинности


Slide166 l.jpg

Объект исследования

  • Высказывания, суждения, утверждения, представимые пропозициональными формулами над булевскими переменными;

  • Мера истинности которых характеризуется количественно с помощью вероятностных и/или небайесовских оценок;

  • Которые могут быть как точечные, так и интервальные [а в перспективе – твинные].


Slide167 l.jpg

Предмет исследования

  • Базы фрагментов знаний с неопределённостью;

  • Фрагмент знаний – некоторая [математическая] структура, состоящая из небольшого набора «тесно связанных» пропозициональных формул;

  • Мера истинности которых и теснота связи охарактеризована:

    • тензором условных вероятностей – БСД;

    • представлением тензора совместных вероятностей, допускающим точечные и интервальные оценки --- АБС;

    • [обобщение последнего на небайесовские меры истинности: нечёткую, доверия-правдоподобия, необходимости-возможности...]


Slide168 l.jpg

Логико-вероятностный подход (ЛВП)

  • Вероятностная мера как мера истинности

  • Точечные оценки значений вероятностной меры

  • Интервальные оценки значений вероятностной меры (как следствие неопределенности)

  • «Интервальная вероятность» и интервальная оценка вероятности

  • Единственность распределения и семейство распределений вероятности


Slide169 l.jpg

ЛВП --- богатая история

  • G. Boole, “An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities” (1854)

  • N. Nilsson, Probabilistic Logic (AI, 1986)

  • N. Nilsson, Probabilistic Logic Revisited (AI, 1993)

  • De Finetti, Whaley, Ramsay, …

  • Школа логико-вероятностных методов в теории надежности (рук. адм. И. А. Рябинин) --- важнейшие приложения ЛВП.


Slide170 l.jpg

Непротиворечивость

Согласованность, согласуемость, программный код


Slide171 l.jpg

Пример ограничений:


Slide172 l.jpg

Программный код на C++

for (i = 0; i < pow2(N); i++)

{

c.add(IloRange(env, 0.0, IloInfinity ));

for(j = 0; j < pow2(N); j++)

if (i & j = i)

{

//Проверка на четность количества 1 в i xor j.

if (parity(i ^ j)) {c[i].setCoef(x[j], 1)};

else {c[i].setCoef(x[j], -1)};

}

}


Slide173 l.jpg

Непротиворечивое распределение

Мы будем говорить, что набор оценок

непротиворечив,

(является распределением вероятностей)

если он удовлетворяет условиям типа

.


Slide174 l.jpg

Фрагмент знаний

Идеал конъюнктов:

Ограничения на вероятность истинности:

Эти ограничения будем обозначать .


Slide175 l.jpg

Графическое представление ФЗ


Slide176 l.jpg

Непротиворечивость (согласованность) ФЗ

Фрагмент знаний непротиворечив, если

существует непротиворечивое распределение :


Slide177 l.jpg

Согласуемость ФЗ

ФЗ называется согласуемым, если существует

хотя бы одно непротиворечивое распределение

такое, что


Slide178 l.jpg

Поддержание непротиворечивости

Для того чтобы получить из согласуемого

ФЗ согласованный, требуется решить ряд задач

линейного программирования.

Для каждого по две:


Slide179 l.jpg

Байесовские сети доверия

Дополнительные сведения


Slide180 l.jpg

Фрагменты знаний первого порядка


Slide181 l.jpg

Фрагменты знанийвторого порядка


Slide182 l.jpg

Фрагменты знанийтретьего порядка


Slide183 l.jpg

Линейная цепь ФЗ (1)


Slide184 l.jpg

Линейная цепь ФЗ (2)


  • Login