Probabilidades
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PROBABILIDADES. CALCULO COMBINATORIO. Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.-

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Presentation Transcript


Probabilidades

PROBABILIDADES


Calculo combinatorio

CALCULO COMBINATORIO

  • Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto.


Principios b sicos del proceso de contar

PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR

  • PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.-

  • TEOREMA.-

  • Una 1ª decisión se puede tomar de m manera

  • Una 2ª decisión es tomada de n maneras

  • Entonces el número de maneras de tomar ambas decisiones es igual a m x n


Principio de multiplicaci n

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

  • Ejemplo.- Supongamos que cuatro universidades de La Paz desean contratar un empleado para cada de las 3 áreas.

    • Biblioteca

    • Mantenimiento

    • Personal

  • Solución: Tenemos 2 conjuntos

    • Universidades (cuatro)

    • Empleado (tres)

  • Hay 3 empleos para cada una de las cuatro universidades.

  • m * n = 4  3 = 12

  • posibles pares de universidad y empleo. Luego hay 12 oportunidades disponibles de empleo


  • Principios de adici n

    PRINCIPIOS DE ADICIÓN.-

    • TEOREMA.-Si dos decisiones son mutuamente excluyentes y la primera se puede tomar de m maneras y las segunda de n maneras, entonces una o la otra se puede tomar de n + m maneras.


    Principios de adici n1

    PRINCIPIOS DE ADICIÓN

    • Ejemplo.-Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer el viaje?

    • n1 + n2 = 5 + 6 = 11 formas posibles


    Permutaciones simples

    PERMUTACIONES SIMPLES.-

    • TEOREMA.-El número de permutaciones distintas que pueden formarse con n objetos se obtiene mediante la fórmula:

    Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) ...............3 * 2 * 1


    Permutaciones simples1

    PERMUTACIONES SIMPLES.-

    • Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio. ¿El moderador del programa desea saber de cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario las 6 conferencias en fila?

    • Solución:

    • P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720


    Permutaciones con repetici n

    PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

    TEOREMA.-Sean k1, k2, ........km números enteros positivos tal que k1 + k2 + ...... + km = n

    • El número de maneras en que un conjunto de n elementos puede ser dividido en m partes ordenados (particionado en m subconjuntos) de las cuales el primero contiene k1 elementos, el segundo k2 elementos, etc., se obtiene mediante la siguiente fórmula:


    Permutaciones con repetici n1

    PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

    • k1, k2, ........km

    • Pn = n

      k1! * k2! * ........ * km!


    Permutaciones con repetici n2

    PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

    • Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER?

    • Solución:

    • n = 6 letras

    • k1 =n1 =3 letras M

    • k2 =n2 =2 letras E

    • k3 =n3=1 letra R

    • 3 * 2 * 1

    • P6 =6!=60 3! 2! 1!

    • 60 permutaciones distintas de las Letras


    Combinaciones

    COMBINACIONES.-

    • TEOREMA.-El número de combinaciones de n objetos tomando de k veces se obtiene mediante la fórmula siguiente.

    n

    C = n!

    k k! (n – k!)


    Combinaciones1

    COMBINACIONES

    • Ejemplo:El numero de combinaciones de las letras a,b,c tomadas de dos en dos es:

    • 3

    • C = 3! = 1*2*3 = 3

    • 2 2! 1! 2*1


    Conceptos

    conceptos

    • EXPERIMENTO.- Es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado de una observación. Un experimento puede ser determinístico y no determinístico.

    • EXPERIMENTO DETERMINISTICO.-Un experimento es determinístico cuando el resultado de la observación es determinada en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dicho experimento.


    Conceptos1

    conceptos

    • EXPERIMENTO ALEATORIO O NO DETERMINÍSTICO.-Un experimento es aleatorio cuando los resultados de la observación no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento.

    • Ejemplo:

    • El número de estudiantes en la carrera de Ingeniería de Sistemas (Determinístico)

    • Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior (Aleatorio).


    Conceptos2

    conceptos

    • ESPACIO MUESTRAL.-Es el conjunto de todos los resultados de un experimento; en términos de conjuntos, es un conjunto del espacio muestral (S).

    • En particular S y  (conjunto vacío) son eventos. Al espacio muestral S se le llama evento seguro y a  evento imposible.


    Conceptos3

    Conceptos

    • Ejemplo:Sea el experimento: lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. El espacio muestral asociado a este experimento es:

    • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

    • Para este experimento podemos definir los siguientes eventos:

    • A : Observar un número impar. Entonces A =  1, 3, 5

    • B : Observar un número múltiplo de 2 B =  2, 4, 6

    • C : Observar un número menor que 4 C =  1, 2, 3


    Operaciones con eventos

    OPERACIONES CON EVENTOS

    • Usando las operaciones con conjuntos, podemos formar nuevos eventos.

    • Estos eventos serán nuevamente subconjuntos del mismo espacio muestral de los eventos dados.


    Union de eventos

    A B

    UNION DE EVENTOS.-

    A U B


    Union de eventos1

    UNION DE EVENTOS

    • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:

    • A : Observar un número impar

    • B : Observar un número mayor o igual a 4

    • Listar los elementos del evento A U B

    • Solución:

    • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

    • A = 1, 3, 5

    • B = 4, 5, 6

    • A U B = 1, 3, 4, 5, 6


    Intersecci n de eventos

    A B

    INTERSECCIÓN DE EVENTOS

    • A ∩ B


    Intersecci n de eventos1

    INTERSECCIÓN DE EVENTOS

    • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:

    • A : Observar un número mayor que 3

    • B : Observar un número par

    • Listar los elementos del evento A ∩ B

    • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

    • A = 4, 5, 6

    • B = 2, 4, 6

    • A ∩ B =  4, 6


    Diferencia de eventos

    A B

    DIFERENCIA DE EVENTOS

    • A – B


    Diferencia de eventos1

    DIFERENCIA DE EVENTOS

    • Un experimento consiste en lanzar tres monedas y observar el resultado. Sean los eventos:

    • A : Observar por lo menos una vez cara

    • B : Observar por lo menos dos veces cara

    • Listar los elementos del evento A – B

    • S = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss

    • A = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc

    • B = ccc, ccs, csc, scc

    • A – B = css, scs, ssc


    Complemento de un evento

    COMPLEMENTO DE UN EVENTO

    • A1

    • A


    Complemento de un evento1

    COMPLEMENTO DE UN EVENTO

    • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:

    • A : Observar los números pares

    • Listar los elementos del evento

    • A1 = S – A

    • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

    • A = 2, 4, 6

    • A1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 2, 4, 6 = 1, 3, 5


    Antecedentes

    Antecedentes

    • En el siglo XVIII apareció junto con los juegos de azar:

      • Arrojar dados

      • Girar ruletas

      • Barajar cartas

  • Definición.

    • Es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación.

  • Existen:

    • Probabilidad a Priori (clásica)

    • Probabilidad a Posteriori (de frecuencia)


  • Probabilidad a priori

    Probabilidad a “priori”

    Si un experimento aleatorio puede dar lugar a h resultados mutuamente excluyentes e igualmente posibles de un total de n posibilidades. La probabilidad de que ocurra el experimento (E) viene dada por el cociente de los h resultados entre el total de las posibilidades.

    p(E) = h/n


    Probabilidad a priori1

    Probabilidad a “priori”

    • Ejemplo: Se arroja un dado, cual es la probabilidad de que muestre un cuatro.

    • n=6 y h=1

    • P(E)= h/n  P(E)= 1/6

    *

    **

    ***

    **

    **

    ***

    **

    ***

    ***


    Probabilidad a posteriori

    Probabilidad a “posteriori”

    • Cuando el experiemento de repite varias veces (n veces), el experimento tiene una frecuencia.

    • Ejemplo:

    • Si en 1000 tiradas de una moneda salen 529 caras, la frecuencia es 529/1000. Si en otros 1000 salen 493, entonces la frecuencia total es (529+493)/2000 = 0.5


    Probabilidad condicional

    PROBABILIDAD CONDICIONAL

    • Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:

    • Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:


    Probabilidad condicional1

    PROBABILIDAD CONDICIONAL

    • Donde:

    • P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.

    • P (B ^ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B

    • P (A) es la probabilidad a priori del suceso A


    Probabilidad condicional2

    PROBABILIDAD CONDICIONAL

    • Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.


    Ejemplo

    Ejemplo

    • P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).

    • P (B ^ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.

    • P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.

    • Por lo tanto:

    • P (B ^A) = 1/6

    • P (A) = 1/2

    • P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3


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