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PROBABILIDADES

PROBABILIDADES. CALCULO COMBINATORIO. Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.-

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  1. PROBABILIDADES

  2. CALCULO COMBINATORIO • Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto.

  3. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR • PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.- • TEOREMA.- • Una 1ª decisión se puede tomar de m manera • Una 2ª decisión es tomada de n maneras • Entonces el número de maneras de tomar ambas decisiones es igual a m x n

  4. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN • Ejemplo.- Supongamos que cuatro universidades de La Paz desean contratar un empleado para cada de las 3 áreas. • Biblioteca • Mantenimiento • Personal • Solución: Tenemos 2 conjuntos • Universidades (cuatro) • Empleado (tres) • Hay 3 empleos para cada una de las cuatro universidades. • m * n = 4  3 = 12 • posibles pares de universidad y empleo. Luego hay 12 oportunidades disponibles de empleo

  5. PRINCIPIOS DE ADICIÓN.- • TEOREMA.-Si dos decisiones son mutuamente excluyentes y la primera se puede tomar de m maneras y las segunda de n maneras, entonces una o la otra se puede tomar de n + m maneras.

  6. PRINCIPIOS DE ADICIÓN • Ejemplo.-Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer el viaje? • n1 + n2 = 5 + 6 = 11 formas posibles

  7. PERMUTACIONES SIMPLES.- • TEOREMA.-El número de permutaciones distintas que pueden formarse con n objetos se obtiene mediante la fórmula: Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) ...............3 * 2 * 1

  8. PERMUTACIONES SIMPLES.- • Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio. ¿El moderador del programa desea saber de cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario las 6 conferencias en fila? • Solución: • P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

  9. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN TEOREMA.-Sean k1, k2, ........km números enteros positivos tal que k1 + k2 + ...... + km = n • El número de maneras en que un conjunto de n elementos puede ser dividido en m partes ordenados (particionado en m subconjuntos) de las cuales el primero contiene k1 elementos, el segundo k2 elementos, etc., se obtiene mediante la siguiente fórmula:

  10. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN • k1, k2, ........km • Pn = n k1! * k2! * ........ * km!

  11. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN • Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER? • Solución: • n = 6 letras • k1 = n1 = 3 letras M • k2 = n2 = 2 letras E • k3 = n3 = 1 letra R • 3 * 2 * 1 • P6 = 6! = 60 3! 2! 1! • 60 permutaciones distintas de las Letras

  12. COMBINACIONES.- • TEOREMA.-El número de combinaciones de n objetos tomando de k veces se obtiene mediante la fórmula siguiente. n C = n! k k! (n – k!)

  13. COMBINACIONES • Ejemplo:El numero de combinaciones de las letras a,b,c tomadas de dos en dos es: • 3 • C = 3! = 1*2*3 = 3 • 2 2! 1! 2*1

  14. conceptos • EXPERIMENTO.- Es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado de una observación. Un experimento puede ser determinístico y no determinístico. • EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Un experimento es determinístico cuando el resultado de la observación es determinada en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dicho experimento.

  15. conceptos • EXPERIMENTO ALEATORIO O NO DETERMINÍSTICO.-Un experimento es aleatorio cuando los resultados de la observación no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento. • Ejemplo: • El número de estudiantes en la carrera de Ingeniería de Sistemas (Determinístico) • Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior (Aleatorio).

  16. conceptos • ESPACIO MUESTRAL.- Es el conjunto de todos los resultados de un experimento; en términos de conjuntos, es un conjunto del espacio muestral (S). • En particular S y  (conjunto vacío) son eventos. Al espacio muestral S se le llama evento seguro y a  evento imposible.

  17. Conceptos • Ejemplo:Sea el experimento: lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. El espacio muestral asociado a este experimento es: • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 • Para este experimento podemos definir los siguientes eventos: • A : Observar un número impar. Entonces A =  1, 3, 5 • B : Observar un número múltiplo de 2 B =  2, 4, 6 • C : Observar un número menor que 4 C =  1, 2, 3

  18. OPERACIONES CON EVENTOS • Usando las operaciones con conjuntos, podemos formar nuevos eventos. • Estos eventos serán nuevamente subconjuntos del mismo espacio muestral de los eventos dados.

  19. A B UNION DE EVENTOS.- A U B

  20. UNION DE EVENTOS • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos: • A : Observar un número impar • B : Observar un número mayor o igual a 4 • Listar los elementos del evento A U B • Solución: • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 • A = 1, 3, 5 • B = 4, 5, 6 • A U B = 1, 3, 4, 5, 6

  21. A B INTERSECCIÓN DE EVENTOS • A ∩ B

  22. INTERSECCIÓN DE EVENTOS • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos: • A : Observar un número mayor que 3 • B : Observar un número par • Listar los elementos del evento A ∩ B • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 • A = 4, 5, 6 • B = 2, 4, 6 • A ∩ B =  4, 6

  23. A B DIFERENCIA DE EVENTOS • A – B

  24. DIFERENCIA DE EVENTOS • Un experimento consiste en lanzar tres monedas y observar el resultado. Sean los eventos: • A : Observar por lo menos una vez cara • B : Observar por lo menos dos veces cara • Listar los elementos del evento A – B • S = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss • A = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc • B = ccc, ccs, csc, scc • A – B = css, scs, ssc

  25. COMPLEMENTO DE UN EVENTO • A1 • A

  26. COMPLEMENTO DE UN EVENTO • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos: • A : Observar los números pares • Listar los elementos del evento • A1 = S – A • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 • A = 2, 4, 6 • A1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 2, 4, 6 = 1, 3, 5

  27. Antecedentes • En el siglo XVIII apareció junto con los juegos de azar: • Arrojar dados • Girar ruletas • Barajar cartas • Definición. • Es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación. • Existen: • Probabilidad a Priori (clásica) • Probabilidad a Posteriori (de frecuencia)

  28. Probabilidad a “priori” Si un experimento aleatorio puede dar lugar a h resultados mutuamente excluyentes e igualmente posibles de un total de n posibilidades. La probabilidad de que ocurra el experimento (E) viene dada por el cociente de los h resultados entre el total de las posibilidades. p(E) = h/n

  29. Probabilidad a “priori” • Ejemplo: Se arroja un dado, cual es la probabilidad de que muestre un cuatro. • n=6 y h=1 • P(E)= h/n  P(E)= 1/6 * ** *** ** ** *** ** *** ***

  30. Probabilidad a “posteriori” • Cuando el experiemento de repite varias veces (n veces), el experimento tiene una frecuencia. • Ejemplo: • Si en 1000 tiradas de una moneda salen 529 caras, la frecuencia es 529/1000. Si en otros 1000 salen 493, entonces la frecuencia total es (529+493)/2000 = 0.5

  31. PROBABILIDAD CONDICIONAL • Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida: • Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

  32. PROBABILIDAD CONDICIONAL • Donde: • P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A. • P (B ^ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B • P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

  33. PROBABILIDAD CONDICIONAL • Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.

  34. Ejemplo • P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A). • P (B ^ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par. • P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par. • Por lo tanto: • P (B ^A) = 1/6 • P (A) = 1/2 • P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3

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