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PROBABILIDADES

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PROBABILIDADES. CALCULO COMBINATORIO. Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.-

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calculo combinatorio
CALCULO COMBINATORIO
  • Se desarrolla algunos métodos para determinar sin enumeración directa el número de resultados posibles de un experimento particular o el número de elementos de un conjunto.
principios b sicos del proceso de contar
PRINCIPIOS BÁSICOS DEL PROCESO DE CONTAR
  • PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.-
  • TEOREMA.-
  • Una 1ª decisión se puede tomar de m manera
  • Una 2ª decisión es tomada de n maneras
  • Entonces el número de maneras de tomar ambas decisiones es igual a m x n
principio de multiplicaci n
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
  • Ejemplo.- Supongamos que cuatro universidades de La Paz desean contratar un empleado para cada de las 3 áreas.
      • Biblioteca
      • Mantenimiento
      • Personal
  • Solución: Tenemos 2 conjuntos
      • Universidades (cuatro)
      • Empleado (tres)
  • Hay 3 empleos para cada una de las cuatro universidades.
  • m * n = 4  3 = 12
  • posibles pares de universidad y empleo. Luego hay 12 oportunidades disponibles de empleo
principios de adici n
PRINCIPIOS DE ADICIÓN.-
  • TEOREMA.-Si dos decisiones son mutuamente excluyentes y la primera se puede tomar de m maneras y las segunda de n maneras, entonces una o la otra se puede tomar de n + m maneras.
principios de adici n1
PRINCIPIOS DE ADICIÓN
  • Ejemplo.-Una persona puede viajar de A a B por vía aérea o por vía terrestre y tiene a su disposición 5 líneas aéreas, 6 líneas terrestres. ¿De cuántas formas puede hacer el viaje?
  • n1 + n2 = 5 + 6 = 11 formas posibles
permutaciones simples
PERMUTACIONES SIMPLES.-
  • TEOREMA.-El número de permutaciones distintas que pueden formarse con n objetos se obtiene mediante la fórmula:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) ...............3 * 2 * 1

permutaciones simples1
PERMUTACIONES SIMPLES.-
  • Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio. ¿El moderador del programa desea saber de cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario las 6 conferencias en fila?
  • Solución:
  • P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
permutaciones con repetici n
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

TEOREMA.-Sean k1, k2, ........km números enteros positivos tal que k1 + k2 + ...... + km = n

  • El número de maneras en que un conjunto de n elementos puede ser dividido en m partes ordenados (particionado en m subconjuntos) de las cuales el primero contiene k1 elementos, el segundo k2 elementos, etc., se obtiene mediante la siguiente fórmula:
permutaciones con repetici n1
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
  • k1, k2, ........km
  • Pn = n

k1! * k2! * ........ * km!

permutaciones con repetici n2
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
  • Ejemplo: ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER?
  • Solución:
  • n = 6 letras
  • k1 = n1 = 3 letras M
  • k2 = n2 = 2 letras E
  • k3 = n3 = 1 letra R
  • 3 * 2 * 1
  • P6 = 6! = 60 3! 2! 1!
  • 60 permutaciones distintas de las Letras
combinaciones
COMBINACIONES.-
  • TEOREMA.-El número de combinaciones de n objetos tomando de k veces se obtiene mediante la fórmula siguiente.

n

C = n!

k k! (n – k!)

combinaciones1
COMBINACIONES
  • Ejemplo:El numero de combinaciones de las letras a,b,c tomadas de dos en dos es:
  • 3
  • C = 3! = 1*2*3 = 3
  • 2 2! 1! 2*1
conceptos
conceptos
  • EXPERIMENTO.- Es un proceso mediante el cual se obtiene un resultado de una observación. Un experimento puede ser determinístico y no determinístico.
  • EXPERIMENTO DETERMINISTICO.- Un experimento es determinístico cuando el resultado de la observación es determinada en forma precisa por las condiciones bajo las cuales se realiza dicho experimento.
conceptos1
conceptos
  • EXPERIMENTO ALEATORIO O NO DETERMINÍSTICO.-Un experimento es aleatorio cuando los resultados de la observación no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento.
  • Ejemplo:
  • El número de estudiantes en la carrera de Ingeniería de Sistemas (Determinístico)
  • Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior (Aleatorio).
conceptos2
conceptos
  • ESPACIO MUESTRAL.- Es el conjunto de todos los resultados de un experimento; en términos de conjuntos, es un conjunto del espacio muestral (S).
  • En particular S y  (conjunto vacío) son eventos. Al espacio muestral S se le llama evento seguro y a  evento imposible.
conceptos3
Conceptos
  • Ejemplo:Sea el experimento: lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. El espacio muestral asociado a este experimento es:
  • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • Para este experimento podemos definir los siguientes eventos:
  • A : Observar un número impar. Entonces A =  1, 3, 5
  • B : Observar un número múltiplo de 2 B =  2, 4, 6
  • C : Observar un número menor que 4 C =  1, 2, 3
operaciones con eventos
OPERACIONES CON EVENTOS
  • Usando las operaciones con conjuntos, podemos formar nuevos eventos.
  • Estos eventos serán nuevamente subconjuntos del mismo espacio muestral de los eventos dados.
union de eventos1
UNION DE EVENTOS
  • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:
  • A : Observar un número impar
  • B : Observar un número mayor o igual a 4
  • Listar los elementos del evento A U B
  • Solución:
  • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • A = 1, 3, 5
  • B = 4, 5, 6
  • A U B = 1, 3, 4, 5, 6
intersecci n de eventos1
INTERSECCIÓN DE EVENTOS
  • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:
  • A : Observar un número mayor que 3
  • B : Observar un número par
  • Listar los elementos del evento A ∩ B
  • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • A = 4, 5, 6
  • B = 2, 4, 6
  • A ∩ B =  4, 6
diferencia de eventos1
DIFERENCIA DE EVENTOS
  • Un experimento consiste en lanzar tres monedas y observar el resultado. Sean los eventos:
  • A : Observar por lo menos una vez cara
  • B : Observar por lo menos dos veces cara
  • Listar los elementos del evento A – B
  • S = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss
  • A = ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc
  • B = ccc, ccs, csc, scc
  • A – B = css, scs, ssc
complemento de un evento1
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
  • Ejemplo:Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. Sean los eventos:
  • A : Observar los números pares
  • Listar los elementos del evento
  • A1 = S – A
  • S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
  • A = 2, 4, 6
  • A1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 - 2, 4, 6 = 1, 3, 5
antecedentes
Antecedentes
  • En el siglo XVIII apareció junto con los juegos de azar:
          • Arrojar dados
          • Girar ruletas
          • Barajar cartas
  • Definición.
          • Es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación.
  • Existen:
        • Probabilidad a Priori (clásica)
        • Probabilidad a Posteriori (de frecuencia)
probabilidad a priori
Probabilidad a “priori”

Si un experimento aleatorio puede dar lugar a h resultados mutuamente excluyentes e igualmente posibles de un total de n posibilidades. La probabilidad de que ocurra el experimento (E) viene dada por el cociente de los h resultados entre el total de las posibilidades.

p(E) = h/n

probabilidad a priori1
Probabilidad a “priori”
  • Ejemplo: Se arroja un dado, cual es la probabilidad de que muestre un cuatro.
  • n=6 y h=1
  • P(E)= h/n  P(E)= 1/6

*

**

***

**

**

***

**

***

***

probabilidad a posteriori
Probabilidad a “posteriori”
  • Cuando el experiemento de repite varias veces (n veces), el experimento tiene una frecuencia.
  • Ejemplo:
  • Si en 1000 tiradas de una moneda salen 529 caras, la frecuencia es 529/1000. Si en otros 1000 salen 493, entonces la frecuencia total es (529+493)/2000 = 0.5
probabilidad condicional
PROBABILIDAD CONDICIONAL
  • Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:
  • Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:
probabilidad condicional1
PROBABILIDAD CONDICIONAL
  • Donde:
  • P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.
  • P (B ^ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B
  • P (A) es la probabilidad a priori del suceso A
probabilidad condicional2
PROBABILIDAD CONDICIONAL
  • Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.
ejemplo
Ejemplo
  • P (B/A) es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un número par (suceso A).
  • P (B ^ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par.
  • P (A) es la probabilidad a priori de que salga un número par.
  • Por lo tanto:
  • P (B ^A) = 1/6
  • P (A) = 1/2
  • P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3
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