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Probabilidades Distribuição binomial

Probabilidades Distribuição binomial. Andréa H Dâmaso. Por que estudar probabilidades?. Estão muito presentes na nossa própria vida. Probabilidade. Todos somos probabilistas Probabilidade é intuitiva chove hoje? faz frio? neva?. Probabilidade.

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Presentation Transcript

  1. ProbabilidadesDistribuição binomial Andréa H Dâmaso Biotecnologia – Bioestatística e Delineamento Experimental 2011

  2. Por que estudar probabilidades? • Estão muito presentes na nossa própria vida...

  3. Probabilidade • Todos somos probabilistas • Probabilidade é intuitiva • chove hoje? • faz frio? • neva?

  4. Probabilidade • Diagnóstico médico é avaliação de probabilidade • A avaliação adequada depende de conhecer o fenômeno

  5. Por que estudar probabilidades? • Existência de um elemento de incerteza quanto à ocorrência ou não de um evento futuro • Razões estatísticas • conhecer a probabilidade ou risco de um indivíduo ou população de experimentar o evento de interesse

  6. Definições • Eventos de interesse • Resultados possíveis do experimento, sobre os quais as probabilidades são determinadas • Ex: no lançamento de uma moeda os eventos possíveis são cara e coroa • Espaço amostral • conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento

  7. Definição de probabilidade • Intuitivamente usamos uma definição frequentista

  8. Exemplo simples 1 • Vamos lançar uma moeda • Resultados possíveis? • cara ou coroa • Qual a probabilidade de sair cara? • Qual a probabilidade de sair coroa?

  9. Exemplo simples 2 • Lançar um dado (“honesto”) • Resultados possíveis? • 1, 2, 3, 4, 5, 6 • Qual a probabilidade de sair 6? • 1/6 = 0,17 • Qual a probabilidade de sair 1? • 1/6 = 0,17 • Qual a probabilidade de sair no. par? • P(2 ou 4 ou 6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 0,5

  10. Propriedades das probabilidades • A probabilidade tem um valor que se encontra entre 0 e 1 • 0 = o evento não ocorreu • 1 = o evento ocorreu • 0 ≤ P (A) ≤ 1

  11. Agora complicando um pouco... • Lançar uma moeda 2 vezes • Qual a probabilidade de sair cara? • Quais são os resultados possíveis? • Contar o numero de caras (Sucesso = cara) • Calcular as probabilidades • P(S=0), P(S=1), P(S=2) S=2 S=1 S=1 S=0

  12. Propriedade multiplicativa • Qual a probabilidade de se obter 2 caras em 2 lançamentos de moeda? • Prob (A e B) = Prob (A) X Prob (B) • Prob (cara) X Prob (cara) = 0,5 X 0,5 = 0,25  Se A e B são independentes

  13. Eventos independentes • Sorteio de moedas • Sexo de duas crianças de nascimentos subsequentes • Ser diabético e obeso? • Ser desnutrido e anêmico?

  14. Eventos independentes • Sorteio de moedas • Sexo de duas crianças de nascimentos subsequentes • Ser diabético e obeso? • Ser desnutrido e anêmico?

  15. Eventos independentes • Dois eventos A e B são independentes quando não estão relacionados, logo, a probabilidade de um ocorrer não é afetada pela ocorrência do outro • Exemplo: calcular a probabilidade de contrair malária e ter infecção urinária (ITU) P(malária  ITU) = P(malaria) * P(ITU) • A intersecção de dois eventos é o conjunto de casos que levam a ocorrência de um e de outro

  16. Probabilidade de pelo menos 1 moeda ser cara • Lançar uma moeda 2 vezes • Resultados possíveis S=2 S=1 S=1 S=0

  17. Propriedade aditiva • Probabilidade de pelo menos uma moeda ser cara • Prob (cara) + Prob (cara) – Prob (ambas serem caras) = 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75 OU • 1 – Probabilidade de nenhuma cara

  18. Propriedade aditiva P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A e B) A união de dois eventos é o conjunto de casos que levam a ocorrência de um ou de outro

  19. Probabilidade de eventos disjuntos • Dois eventos são ditos disjuntos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo • Ex: mulheres com CA e mulheres sem CA • Se os eventos são disjuntos P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

  20. Resumindo: probabilidades para eventos independentes Probabilidade de A e B = Prob A * Prob B Probabilidade de A ou B = Prob A + Prob B – (Prob A* Prob B) Probabilidade de A ou B (eventos disjuntos) = Prob A + Prob B

  21. Exercício • A probabilidade de Pedro trabalhar no plantão de Natal é 0,7 e a mesma probabilidade para Paulo é 0,9. • Determinar a probabilidade de ambos trabalharem no plantão de Natal: • 0,7 * 0,9 = 0,63

  22. Exercício • A probabilidade de Pedro trabalhar no plantão de Natal é de 0,7 e a mesma probabilidade para Paulo é de 0,9. • Determinar a probabilidade de nenhum deles trabalhar no plantão de Natal: • 0,3 * 0,1 = 0,03

  23. Exercício • A probabilidade de Pedro trabalhar no plantão de Natal de é 0,7 e a mesma probabilidade para Paulo é de 0,9. • Determinar a probabilidade de Pedro trabalhar no plantão e Paulo não: • 0,7 * 0,1 = 0,07

  24. Exercícios • A turma de formandos no ensino médio de uma determinada escola é composta por 70 alunas e 30 alunos. • Qual a probabilidade de um formando, selecionado aleatoriamente ser do sexo feminino? • 70/100= 0,7

  25. Exercícios • A turma de formandos no ensino médio de uma determinada escola é composta por 70 alunas e 30 alunos. Sabe-se que 28 alunas e 12 alunos pretendem prestar ENEM para Biotecnologia. • Qual a probabilidade de um formando, selecionado aleatoriamente prestar ENEM para Biotecnologia? • 40/100 = 0,4

  26. Exercícios • A turma de formandos no ensino médio de uma determinada escola é composta por 70 alunas e 30 alunos. Sabe-se que 28 alunas e 12 alunos pretendem prestar ENEM para Biotecnologia. • Qual a probabilidade de um formando, selecionado aleatoriamente prestar ENEM para Biotecnologia, dado que seja do sexo feminino? • 28/70 = 0,4

  27. Exercícios • A frequência esperada de alunos aprovados na disciplina de Bioestatística é estimada em 90%. • Se dois estudantes se matriculam na disciplina de Bioestatística, qual a probabilidade de ambos serem aprovados na disciplina? • 0,9*0,9 = 0,81

  28. Exercícios • A frequência esperada de alunos aprovados na disciplina de Bioestatística é estimada em 90%. • Se dois estudantes se matriculam na disciplina de Bioestatística, qual a probabilidade de que um seja aprovado e outro reprovado? • 0,9*0,1 = 0,09

  29. Distribuição binomial

  30. Distribuição binomial • É a distribuição amostral de uma proporção e pode ser calculada a partir de: • n = tamanho amostral •  = proporção do evento de interesse na população • A probabilidade de ocorrência de um determinado evento = a proporção de vezes que esse evento ocorre em um grande número de ensaios repetidos

  31. Distribuição binomial • Lembremos ... • Nosso interesse é conhecer a proporção de indivíduos de uma amostra que apresentam o evento de interesse • p=n indivíduos que experimentaram o evento / total indivíduos da amostra (n)

  32. Distribuição binomial • Algumas coisas importantes... • Na distribuição binomial só há 2 resultados possíveis: sucesso ou fracasso • O resultado de cada repetição é independente do resultado das demais

  33. Distribuição binomial • Se chamarmos de S o nº de sucessos de um certo experimento, considerando que S tem distribuição binomial com parâmetros (n, )... S = nº de sucessos n = tamanho da amostra p = proporção do evento de interesse na população () • ... a probabilidade de que S seja = a um certo valor pode ser calculada

  34. Distribuição binomial • Exemplo: • Um casal portador de uma doença de sangue quer conhecer a probabilidade de que seus futuros filhos sejam afetados por essa doença (genótipo SS) • Ambos tem genótipo AS (heterozigotos) • A: gen normal de hemoglobina • S: gen para doença • Eles desejam ter 4 crianças • Qual é a probabilidade de que nenhuma, 1, 2, 3 ou as 4 crianças sejam SS?

  35. Distribuição binomial • Nesse exemplo: • Qual é a variável aleatória de interesse? • Probabilidade de ter a doença (SS) em uma família com 4 crianças • Que tipo de variável é? Continua ou discreta? • Discreta • Qual é o conjunto amostral? • 0,1,2,3,4

  36. Distribuição binomial • Para cada criança a possibilidade de ser SS é a probabilidade de adquirir o gene S da mãe e o gene S do pai = 0.5 * 0.5 = 0.25 •  = 0.25

  37. Distribuição binomial • A probabilidade de que somente uma criança seja afetada (SS) é

  38. Distribuição binomial • Cada uma dessas possibilidades tem uma probabilidade de 0.25 * 0.753

  39. Distribuição binomial • A probabilidade de que somente uma criança seja afetada (SS) é (0.25 * 0.753) + (0.25 * 0.753) + (0.25 * 0.753) + (0.25 * 0.753)= = 4 * (0.25 * 0.753)= 0.4219

  40. Distribuição binomial • A probabilidade de que nenhuma das crianças seja afetada (SS) é =0.75 * 0.75 * 0.75 * 0.75 = 0.3164

  41. Distribuição binomial • Podemos calcular a probabilidade de que 2, 3 ou as 4 crianças sejam afetadas pela doença • Usamos a fórmula geral da distribuição binomial:

  42. Distribuição binomial • s = sucessos (evento de interesse), nesse caso, nº de crianças afetadas • n = eventos possíveis, nesse caso, nº de filhos • p = probabilidade em cada evento, nesse caso, 0,25

  43. Distribuição binomial

  44. Distribuição binomial (n=4, =0,25) Probabilidade Probabilidade de ocorrência de filhos com a doença em uma família com quatro filhos

  45. Distribuição binomial • A medida que o tamanho da amostra (n) aumenta, a distribuição binomial aproxima-se muito da curva normal • Isso permite calcular intervalos de confiança e realizar testes de hipóteses baseados na curva normal

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