Lógica de Descrições

1. Lógica de Descrições Fred Freitas CIn - UFPE

2. Problemas com frames: ambigüidade [Brachman 79, Franconi 2003] • entre classes e instâncias • em relações parte-todo • em quantificação

3. Ambigüidade entre classes e instâncias • 29’er : • AGE : 29 , • SEX : M, • HEIGHT : Number , • WIFE : Person . • john : • AGE : 29 , • SEX : M, • HEIGHT : Number , • WIFE : Person .

4. Ambigüidade em quantificação Sapo tem-cor Verde • O que signiifica? • Todo sapo é só verde • Todo sapo também é verde • Todo sapo é de algum tipo de verde • Tem um sapo que é só verde • ... • Sapos são tipicamente verdes, mas há exceções.

5. Conclusão: Problemas... • Falta de semântica formal • Interpretações ambíguas • Raciocínio depende do que o desenvolvedor pretende • Definições semelhantes levam a raciocínios bem diferentes • Provadores de teoremas não eram necessários • Complexidade computacional depende de cada tipo de raciocínio

6. “It is unfortunately much easier to develop some algorithm that appears to reason over structures of a certain kind, than to justify its reasoning by explaining what the structures are saying about the domain.”

7. Histórico • 1ª. Geração (fins dos ’70 - 85) • Linguagens terminológicas • Representações com mais engajamento ontológico, • Mais riqueza: papéis, classificação • Sistemas: • KL-ONE [Brachman & Schmolze 78] • KRYPTON [Brachman et al 83] • terminologia+regras • Tbox vs ABox

8. 2ª. Geração – Sistemas com DL • Ênfase em teoria • Complexidade do raciocínio vs Expressividade • Identificação das fontes de complexidade • Abordagens: • Limitada+completa: P • Ex: CLASSIC [Brachman 91] • Expressiva+incompleta: NP • Ainda ineficientes • Ex: LOOM [McGregor 87] e BACK [Nebel 90]

9. Nova (atual) geração • Alvo: Expressiva+completa! • Raciocínio baseado em tableaux, com otimizações • Estudo de relações com outras lógicas • Ex: FACT e RACER [Horrocks 98 e 2000]

10. Lógica de Descrições • Fragmento de L2, Lógica de Predicados sem funções, com até 2 variáveis • Separação entre: • Terminologia (predicados): TBox • Asserções (constantes, instâncias): ABox • Representação sem variáveis • Interpretação como predicados, usando expressões- • Student x.Student(x)

11. Lógica de Descrições - Expressividade • Conceitos (predicados unários, classes, conjuntos de indivíduos, subconjunto do domínio) • Ex: Student {x|Student(x)} • Ex: Married {x|Married(x)} • Papéis (predicados binários, relações, conjuntos de pares de indivíduos) • Ex: friend {(x,y)|friend(x,y)} • Construtores para expressões de conceitos • Ex: Student  friend.Married • {x|Student(x)^y.friend(x,y)^Married(y)} • Indivíduos (instâncias) • Ex: Student (zé), ...

12. Classe • Student • Person • name: [String] • address: [String] • enrolled: [Course] • Student  Person ^ name.String ^ address.String ^ enrolled.Course

13. Instância • s1: Student • name: “John” • address: “Abbey Road . . . ” • enrolled: cs415 • Student ( s1 ) ^ name ( s1 , “ john ”) ^ String(“ john ”)^address (s1 ,“abbey-road”) ^String(“abbey-road”)^enrolled(s1,cs415 ) ^ Course ( cs415 )

14. Descrições (axiomas) • Student enrolled.Course • Professor teaches.Course • Working-student  Student • Working-student  Professor • Pode ser um professor e/ou estudante • As descrições sobre um item não são agrupadas como nos frames, é um classificador que as organiza

15. Voltando aos batráquios... Sapo tem-cor Verde • Todo sapo é verde • Sapotem-cor.Verde • Todo sapo é só verde • Sapotem-cor.Verde • Tem um sapo que é verde • Sapo ( x ) , tem-cor ( x, Verde ) • ...

16. Famílias de DLs S = FL- +AL*+ papéis transitivos • SHIQ

17. FL- (frame language), a caçula • Sintaxe • A : atomic- concept (indefinidos) • R : atomic- role • C, D : concept • C, D  A | C  D | R.C | R • concept ::= <atomic- concept> | (<concept >  <concept> ) | (<atomic- role > ) | (<atomic- role>.<concept> )

18. Notação e Significado (Informal) • concept ::= <atomic- concept> | ( :and <concept > . . .<concept> ) | (: some <atomic- role > ) | (: all <atomic- role> <concept> ) R.C = indivíduos que estão na relação R e são do conceito C • Interseção = conjunção • União = disjunção • Complemento = negação

19. Semântica (“a la” Tarski) • Baseada na Teoria de Modelos, construída sobre a teoria  de  conjuntos  de Cantor e Zermelo­Frankel, onde: •  é o universo de  discurso • os objetos são elementos  de  • os conceitos são subconjuntos  de  • as relações  binárias são subconjuntos de  • a  relação sub­classe  entre  classes  é  interpretada  como inclusão de conjuntos • Uma interpretação na qual uma fórmula é verdadeira é um modelo para esta fórmula

20. Interpretação • Uma interpretação é um par <I, .I>, onde: • I é o universo de discurso (não-vazio) • .I é uma função de interpretação, que mapeia: • Conceitos para subconjuntos de I • Papéis para subconjuntos de II

21. Exemplo

22. Exemplo (cont.)

23. Uma ontologia em DL é uma Base de conhecimento - S = <TBox, ABox> A ABox tem axiomas de instanciação de Conceitos x  D Papéis <x,y>  R (Student U Professor)(paul) A TBox tem axiomas para Conceitos: C  D (inclusão) C  D (equivalência) Papéis (ou propriedades): R  S (inclusão) R  S (equivalência) R+  R (transitividade) nem toda DL tem… Base de Conhecimento em DL

24. Bases de conhecimento • Condições necessárias são expressas com  • Condições necessárias e suficientes são expressas com  • Teaching-Assistant Undergrad U Professor • Para uma interpretação satisfazer uma ontologia (base de conhecimento) • Precisa satisfazer TBox e ABox • Então ela é um modelo desta ontologia • Uma ontologia é satisfatível se admite um modelo

25. ALC (linguagem atributiva) e FLs • AL = FL- (DL estrutural) + negação • DL proposicional • FL0 = FL- + R.C (no lugar de R, que é R.T) • Interpretação de R é a mesma de R.C, sem ^CI(y) • ALC = FL0 + negação (complemento)

26. Outras ALs • U – União (disjunção) • Human  Male U Female • E – quantificação existencial (R.C) • N – restrições numéricas (de cardinalidade) sobre papéis (R, R) • Busy-Woman  Woman  (3 child) • Conscious-Woman  Woman  (5 child) •  1 R  R • EU = C (U e E podem ser obtidos de FL- +C) • Estudadas: ALC (ou ALUE) e ALCN (ou ALUEN)

27. O Q do SHIQ • Q – restrições numéricas (de cardinalidade) sobre papéis qualificados (R.C, R.C) • Worried-Woman  Woman  (3 child.Man) • Note que U,E,N,C,Q e interseção são construtores de classes!

28. Classificação • Colocar um conceito/papel no devido lugar dentro da hierarquia, de forma a que • Abaixo dele, esteja o conceito mais geral que é mais específico que ele • Acima dele, esteja o conceito mais específico que é mais geral que ele • Verifica estas relações por subsunção • Quais conceitos “cabem”dentro de quais

29. Sobre o Raciocínio • Basicamente por subsunção (herança) • Checar se um conceito/papel é contido por outro • Hipótese do Mundo Aberto • Em contraste com quase todos os outros formalismos de representação (Mundo Fechado) • Em Frames, Presidente tem cardinalidade 1 • Presidente(Lula), Presidente(Líder-Sindical) dará erro • Em DL, Lula e Líder-Sindical são a mesma pessoa

30. Tipos de Raciocínio em DLs • Consultas à ontologia • Conseqüência Lógica • Satisfatibilidade • Checagem de consistência • Checagem de instância • Checagem de equivalência

31. Raciocínios com instâncias • Consultas à ontologia • Recuperar instâncias que obedecem a expressões • ?Aluno • Daniel, Carol, Zé... • Checagem de instância • Determina se um indivíduo é instância de um conceito ou papel • Se a asserção C(a) satisfaz todos os modelos da ontologia • Ver exemplo de conseqüência lógica

32. Raciocínios com conceitos • Checagem de consistência • Checar se um conceito ou papel é vazio • Senão, é satisfatível • Student Person • Checagem de equivalência • Dois conceitos são equivalentes se todas as instâncias dos dois forem comuns aos dois • Duas instâncias podem ser a mesma • Ciclos em definições

33. Conseqüência Lógica • Se todo modelo da BC A é também modelo da BC B, então B é Conseqüência Lógica de A • TBox: • teaches.Course Undergrad U Professor • ABox: • teaches ( john , cs415 ) ; Course ( cs415 ) ; • Undergrad ( john ) • Professor ( john )?

34. Satisfatibilidade • Checa se existe algum modelo que satisfaz um axioma • Student  Person

35. Complexidades das DLs

36. OWL: Construtores de Classes e Axiomas

37. Referências • The Description Logic Handbook. F. Baader et al. 2003. Cambridge Press. • Curso de DL. Enrico Franconi, Univ. Bozen-Bolzano, Itália. • Curso de Ontologias. Virgínia Brilhante, UFAM.