Ensino Superior

1. Ensino Superior Cálculo 2 3- Volume de Sólidos Amintas Paiva Afonso

2. Sólidos de Revolução

3. a Sólidos de Revolução Introdução: Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).

4. Volume de Sólidos Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal.

5. 2x Volume de Sólidos Exemplo 1: Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é Colocando o sistema de eixos de modo que o eixoy seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos: Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2. Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:             e daí            

6. Volume de Sólidos Exemplo 1:             e daí             Logo, o volume da pirâmide é dado por:

7. Volume de Sólidos Exemplo 2: Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h. Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:                                          Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r2. h Logo, o volume do cilindro é dado por:

8. Sólidos de Revolução Exemplo 3: Considere a região delimitada por , o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é . O volume da esfera gerada é:

9. Sólidos de Revolução Exemplo 3:

10. Volume de Sólidos Exemplo 4: Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raior, é V = r2h/3. Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos:                                         

11.           e daí            ou seja, a área de cada secção transversal é. Logo, o volume do cilindro é dado por: Volume de Sólidos Exemplo 4: Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é y2. Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

12. Sólidos de Revolução Exemplo 5: Seja o triângulo R, dado na figura abaixo. Calcular o volume do cone gerado pela rotação de R em torno do eixo OY. Para cada y [0,1] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do cone é igual a: Usando semelhança de triângulos temos: Portanto:

13. y Sólidos de Revolução Exemplo 6: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX. A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x2 + 1 = 0.: x2 = 1.: x = ± 1. Para cada x  [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y2 e o volume do sólido é igual a: Portanto:

14. Sólidos de Revolução Exemplo 7: Seja a região R do plano limitada pelo eixo OY e pelas curvas Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OY. Na figura temos representada a região R. Como R é simétrica em relação OY, uma das duas regiões R1 ou R2 girando em torno de OY gera todo o sólido. Vamos considerar a região R1. Para cada y  [1/4, 4] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do sólido é igual a:

15. Sólidos de Revolução Exemplo 7: Portanto:

16. Sólidos de Revolução Exemplo 8: Seja a ciclóide de equações paramétricas 8.1. Esboce a curva. Usando as derivadas obteremos a curva abaixo.

17. Sólidos de Revolução 8.2. Seja R a região do plano limitada pela ciclóide e pela reta y = -1. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX. Seja a função y = f(x) tal que seu gráfico é a ciclóide. Para cada x  [-4, 0] a seção transversal ao eixo OX é um anel circular de raio interno igual a 1 e raio externo igual a y. Logo possui área igual a: A = y2 - .12 = y2 -  e o volume do sólido é igual a:

18. Sólidos de Revolução Substituindo x em função de t na integral anterior temos:

19. Sólidos de Revolução 8.3. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno da reta x = 1. Sejam as funções x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são respectivamente os arcos da ciclóide obtidos para t  [ , 2 ] e para t  [0,  ]. Para cada y  [-5 , -1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raio externo respectivamente é 1 - x1 e 1 – x2.

20. Sólidos de Revolução Logo, a seção transversal tem área A = (1- x1)2 - (1- x2 )2 e o volume do sólido é igual a: Substituindo y em função de t nas integrais acima temos:

21. Sólidos de Revolução Exemplo 9: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo OY, do círculo de raio 1 e centro em (4,0). Tomemos as equações paramétricas do círculo: Sejam x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são respectivamente os semi–círculos obtidos para t  [-/2, /2] e para t  [/2, 3/2]. Para cada y  [-1 , 1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raios externo e interno respectivamente iguais a x1(y) e x2(y). Logo, a seção transversal tem área A =  .x12 -  x2 2 e o volume do sólido é igual a:

22. Volume de Sólidos ou usando simetria Substituindo por t temos:

23.                        ou                        Volume de Sólidos Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente. Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido, quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.

24. Volume de Sólidos Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

25. Sólidos de Revolução

26. A B x1=a x2=b Sólidos de Revolução Cálculo do volume Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x)  0 para todo x, tal que a  x  b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b. Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x:

27. Sólidos de Revolução Cálculo do volume Considerando uma partição P do intervalo [a,b]: P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, seja:

28. Sólidos de Revolução Cálculo do volume - Seja ainda xi = xi – xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1 , xi]. - Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci. - Para cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo Ri, de base xi e altura f(ci). - Fazendo cada retânguloRigirar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:

29. Sólidos de Revolução Cálculo do volume A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn, é dada por:

30. Sólidos de Revolução Cálculo do volume • A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B. Definição • Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B, gerado pela revolução de R em torno do eixox, é definido por:

31. A B x1=a x2=b Sólidos de Revolução Cálculo do volume • A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo: • Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos em certas situações especiais.

32. Sólidos de Revolução

33. Sólidos de Revolução

34. (a) (b) Sólidos de Revolução Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b]. - A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2. O sólido gerado pela rotação da figura (a) é o mesmo gerado pela rotação da figura (b). (b)

35. Sólidos de Revolução Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2]. De acordo com a definição:

36. Sólidos de Revolução Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1]. - De acordo com a definição:

37. Sólidos de Revolução Exercício 3:Seja f(x) = sen x, x  [a, b]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = .   0 0 O volume do sólido é dado por:

38. Integral Indefinida Revisão INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X) Sejam as identidades trigonométricas: Assim,

39. Sólidos de Revolução Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y. - Neste caso, temos:

40. Sólidos de Revolução

41. Sólidos de Revolução Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.

42. A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para • é girada ao redor do eixo x: 0 2 0 2 Sólidos de Revolução Exercício 5:Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x, para 0  x  2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados. O volume do sólido é dado por:

43. Sólidos de Revolução Exercício 5: 2 2 b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para é girada ao redor do eixo y: 0 0 O volume do sólido é dado por:

44. 2 2 b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de        , para é girada ao redor do eixo y: 0 0 Sólidos de Revolução Exercício 5: O volume do sólido é dado por:

45. Sólidos de Revolução Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixox da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixoy. a) S1 1 S2 V1 V2 1/2 1 3

46. Sólidos de Revolução Exemplo 6: Logo, o volume do sólido é: Efetuando os últimos cálculos, temos:

47. Sólidos de Revolução Exemplo 6: b) S1 1 S2 1/2 1 3

48. Sólidos de Revolução Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é: Efetuando os últimos cálculos, temos:

49. Sólidos de Revolução Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b: Supondo f(x)  g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:

50. Volume de Sólidos