Ensino Superior

1. Ensino Superior Matemática Básica Unidade 4.1 – Estudo das Funções Amintas Paiva Afonso

2. Funções 1. Interpretação de Gráficos O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu visitar uns amigos Distância ( Km) Tempo (horas) Voltar

3. Funções 1. Interpretação de Gráficos •  A que distância de casa estava a Joana quando efetuou a primeira parada? Joana estava a10 mde casa. •  Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a separou de casa? A distância máxima que a separou de casa foi15 m. •  Quanto tempo demorou a viagem? A viagem demorou3h 30min. •  Quanto tempo esteve parada a Joana? Joana esteve parada1h 30min. •  A que horas chegou a Joana a casa? Joana chegou ás3h30min. Voltar

4. Funções 1.Noção de Função Considere os seguintes conjuntos A e B f A B C  5  6 7 8 9 1  2  3  4  Definição de Função: Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre A e B e se a cada elemento de Acorresponde um e um só elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B. Voltar

5. Funções 1. Noção de Função • A esta correspondência chama-se _________. • Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________ e representa-se por ______. Df = { } • A todo o elemento de A chamamos _____________. • Ao conjunto B chamamos _______________________ da função. • Conjunto de chegada de f = { } • A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A chamamos ___________. • Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos deA • Ao conjunto C chamamos ______________ da função e representa-se • por D’f = { } função Domínio Df 1, 2, 3, 4 Objetos Conjunto de Chegada 5, 6, 7, 8, 9 imagem imagem Imf 5, 6, 7 Voltar

6. Funções 1. Noção de Função Simboliza-se do seguinte modo: f: A B x y = f(x) • x é variável independente e y a variável dependente. • Ao conjunto Achamamos Domínioerepresenta-se porDf. • Ao conjunto Bchamamos Contradomímnio. • Ao conjunto das imagens chama-se Imagem da função e representa-se por Imf. • A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y = f(x).

7. Funções 1. Interpretação de diagramas Exemplo 1: A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem. Exemplo 2: A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem imagens.

8. Funções 2. Representação gráfica de uma Função • Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de Aveiro, de hora em hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas em função da hora do dia. Temperatura º C Horas • Indique: • o domínio; • a imagem; • os intervalos de tempo onde a temperatura: é positiva; é negativa; 4 1 0;24] • os intervalos onde a temperatura: aumenta; aumenta e é positiva; diminui; diminui e é positiva; é constante. -3;6] 2 5 • as horas do dia em que se registou a temperatura 0 ºC 3

9. Funções 2. Representação gráfica de uma Função Como averiguar se é, ou não, uma função Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no máximo uma vez por uma qualquer recta vertical. Não se trata de uma representação de uma função Trata-se de uma representação de uma função

10. Funções Interpretação gráfica do domínio Domínio O domínio de uma função obtém-se projetando o seu gráfico sobre o eixo dos x. Voltar

11. Funções Interpretação gráfica do Contradomínio Imagem A Imagem de uma função obtém-se projectando o seu gráfico sobre o eixo dos y. Voltar

12. Funções 3. Noções gerais de uma função Zeros de uma função • Definição: Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula. • Determinação dos zeros de uma função: • Graficamente • Averiguar as abcissas dos pontos do gráfico para os quais o gráfico da função intersecta o eixo das abcissas (x) • Analiticamente • Determinar os valores de x para os quais f(x)=0 • isto é, x: f (x) = 0 zeros Voltar

13. Funções 3. Noções gerais de uma função Sinal de uma função • Definição:Seja f uma função de domínio D, dizemos que : • - f é positivaem I (I  D) se e só se f(x) > 0, para todo o x  I. • - f é negativaem I (I  D) se e só se f(x) < 0, para todo o x  I. • Determinação do sinal de uma função: • Graficamente • A função é positivapara todos os valores de x cujas • imagens estão acima do eixo das abcissas. • A função é negativapara todos os valores de x • cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas. f(x) >0 f(x) < 0 Voltar

14. Funções f(b) g(b) g f(b) g(b) g f f g(a) f(a) f(a) g(a) O a b O a b a b a b Noções gerais de uma função Monotonia de uma função A função f écrescente num intervalo E. A função g édecrescente num intervalo E. A função f éestritamente crescentenum intervalo E. A função g éestritamente decrescentenum intervalo E. Definição: Diz-se que f é crescente/estritamente crescente em E  Df se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)  f(b)/se a < b, então f(a) < f(b). Definição: Diz-se que g é decrescente/estritamente decrescenteem E  Df se para todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a)  g(b)/se a < b, então g(a) > g(b). Definição: Uma função crescenteou decrescente diz-se monótona. Observação:Umafunção constanteé considerada crescente e decrescente. Voltar

15. Funções Noções gerais de uma função • Monotonia de uma função Definição : Seja f uma função de domínio D. f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a)  f(x) f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x) Definição : Seja f uma função de domínio D. f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(a)  f(x),qualquer que seja ox  E  D f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que f(b) f(x),qualquer que seja ox  E  D Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos/ mínimos relativos da função chamam-se maximizantes/ minimizantes Voltar

16. Funções Noções gerais de uma função Injetividade de uma função Definição: Uma função f é injetivanum intervalo E  Df se para dois valores quaisquer de E, x1 e x2, se x1  x2 então f(x1) f(x2). Definição: Uma função f é nãoinjetiva num intervalo E  Df se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma imagem. Voltar

17. Funções Noções gerais de uma função Injetividade de uma função • Graficamente • Vê-se que uma função é não injetiva se existir pelo menos uma recta horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto. f é função não injetiva f é função injetiva

18. Funções Noções gerais de uma função Sobrejetividade de uma função Definição: Uma função g é sobrejetiva se o seu contradomínio coincide com o conjunto de chegada. g é sobrejetiva f é não sobrejetiva

19. Funções t.v.m. = [a, b] Noções gerais de uma função Taxa de Variação Média A taxa de variação média (t.v.m) entre a e b traduz a rapidez de variação da função e obtém-se dividindo a variação da função pela amplitude do intervalo, isto é: f(b) f f(b) - f(a) f(a) b - a f(b) - f(a) a b b - a

20. Funções Noções gerais de uma função Observações: • Se a função é crescente a taxa de variação média é positiva nesse intervalo. • Se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa de variação média é negativa nesse intervalo. • Se a função é constante num dado intervalo então a taxa de variação média é zero nesse intervalo.