Ensino Superior

1. Ensino Superior Modelagem Matemática 2.1 – Introdução aos Sistemas de Controle Amintas Paiva Afonso

2. Sumário 2.1.1 O Problema da Modelagem 2.1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas

3. 1.1 O Problema da Modelagem • Modelar um sistema físico qualquer significa obter uma representação matemática que permita um estudo analítico coerente com o comportamento do sistema na prática. • A fase de modelagem é vital, uma vez que o compromisso entre precisão e complexidade do modelo em relação à dificuldade de obtenção da resposta deve ser assumido. • A complexidade de se modelar um sistema dinâmico depende fundamentalmente do conhecimento que se tem desse sistema.

4. 1.1 O Problema da Modelagem • Exemplo 1: Um corpo se movimenta a uma velocidade v1 (m/s), com massa m1 (kg) se choca com um outro corpo em repouso, de massa m2. A quantidade de movimento medida no instante do choque é dada por: Q = m1.v1 (kg.m/s). a F ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// (efeito) (causa)

5. 1.1 O Problema da Modelagem Se o modelo for ideal, essa mesma quantidade de movimento será transferida ao corpo de massa m2 (kg), de forma que este se deslocará com uma velocidade v2 dada por v2 = Q/m2 (m/s). ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// (efeito) (causa)

6. 1.1 O Problema da Modelagem • Exemplo 2: Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível, e é dado por  = 0,1.

7. Força de Atrito • Denomina-seatrito a resistênciaque os corpos emcontato oferecem ao movimento. Temos os seguintes casos: • Força de atrito estática: N N (Sentido da eminência movimento) F at F fat = µe .N µe P Coeficiente atrito estático Reação normal do apoio N

8. Força de atrito dinâmica N OBS:A força de atrito entre dois corposem contato étangente à superfície de contatoe tem sentidooposto ao do movimento(ou à “tendência” de movimento) relativo entre as superfícies. Fat = µd . N F fat µd P Coeficiente atrito dinâmico Reação normal do apoio N (Sentido do Movimento)

9. 1.1 O Problema da Modelagem • Voltando ao Exemplo 2: Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível, e é dado por  = 0,1. a = 10 m/s² Resolução: A somatória das forças é F = F1 - N F = F1 – 0,1 . 50 . 10 F = F1 – 50 m = 50 kg F = ? Fat 1 N = 1 kg x 1 m / s² Esta resultante deve ser igual à massa do corpo multiplicada pela aceleração do mesmo. F1 = 500 + 50  F1 = 500 N

10. 1.1 O Problema da Modelagem • Basicamente, os estudos de sistemas dinâmicos que iremos apresentar se dividem nas seguintes fases: • Modelagem. Descrita anteriormente, consiste em representar o sistema físico através de um modelo matemático. • Determinação das características dinâmicas, que implica em um levantamento prévio de dados, já que propriedades intrísecas do sistema são consideradas (inércia, amortecimento, atrito, etc.). • Análise. Consiste em, através de uma metodologia qualquer, analisar a resposta do sistema a uma entrada, excitação ou distúrbio.

11. 1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas • São variáveis que, para todo e qualquer instante de tempo, têm valor definidos.

12. 1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas • O objetivo é analisar se a variável contínua de interesse tende a um valor finito após a aplicação de uma excitação ou distúrbio. Mais que isso, deseja-se que qualquer componente transitória desapareça o mais rápido possível. A forma como o sistema reage a alguns tipos de distúrbios define a robustez desse sistema dinâmico. • Deseja-se, na verdade, que o sistema atinja um ponto de equilíbrio estável o mais rápido possível, ao mesmo tempo em que algumas características da resposta devem ser satisfeitas.

13. 1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas • Assim, a resposta dinâmica de um sistema pode ser dividida em duas parcelas: 1) Componente de regime permanente, também chamada de valor final. É a componente obtida quando o tempo tende a um valor suficiente para a resposta se acomodar. Portanto, representamos esta componente como: Nota: observe que na expressão acima, a resposta em um instante qualquer é dada por y(t). 2) Componente transitória. É a parcela da resposta observada imediatamente após a aplicação de um distúrbio. Seu valor é dado por:

14. 1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas • A classificação dos tipos de respostas é também um conceito importante: • RESPOSTA LIVRE: É a saída obtida quando não é considerada qualquer excitação ao sistema. • RESPOSTA FORÇADA: É a resposta obtida para uma determinada excitação, considerando nulas as condições iniciais. • RESPOSTA TOTAL: É a união das respostas anteriores.