A portfolió-választási feladat instabilitása

1. Kondor Imre Collegium Budapest és ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Befektetési Szakértők Magyarországi Egyesülete, Budapest, 2006 május 3 A portfolió-választási feladat instabilitása

2. Tartalom • I. Bevezetés: kockázati mértékek, becslési hiba (zaj) • II. A portfolió választás zajérzékenysége különböző kockázati mértékek alatt (szórás, abszolút eltérés, feltételes VaR, legnagyobb veszteség) • III. A megoldhatósági probléma, algoritmikus fázisátalakulások

3. Munkatársak • Pafka Szilárd(ELTE; CIB Bank; Paycom, Santa Monica) • Nagy Gábor (Debreceni Egyetem; CIB Bank) • Karádi Richárd (BMGE Fizikai Intézet; Procter&Gamble) • Gulyás Nándor (ELTE; Budapest Bank; Lombard Leasing; ELTE) • Varga-Haszonits István (ELTE; Morgan-Stanley) • Papp Gábor (ELTE)

4. Előzetes meggondolások • Portfolió választás: a kockázat és hozam közötti kompromisszum. • Többé kevésbé általános megegyezés van abban, mit értsünk hozamon: relatív árváltozás: logaritmikus hozam: A kockázati mértékek tekintetében azonban nincs megegyezés

5. Ha a portfolió választásunkat optimalizálni akarjuk, el kell döntenünk, mit tekintünk célfüggvénynek • A választott kockázati mértéknek ki kell elégítenie bizonyos nyilvánvaló matematikai követelményeket, de ezen túlmenően lehetőleg érzéketlennek kell lennie a becslési hibára és a gyakorlatban könnyen implementálhatónak kell lennie

6. Kockázati mértékek • A kockázati mérték intuitív kockázat-fogalmunk (a bizonytalanságtól és veszteségtől való félelmünk) kvantitatív jellemzője. • A kockázat a hozamok sztochasztikus természetéből adódik. A kockázati mértéknek a hozamok valószínűség-eloszlásán értelmezett (konvex) funkcionálnak kell(ene) lennie. • Konkrét megválasztása függ az adatok természetétől (pl. az eloszlásfüggvény aszimptotikájától) és a kontextustól (befektetés, kockázatkezelés, indexkövetés, szabályozás, tőkeallokáció)

7. A zaj problémája • Még ha a hozamok egyszerű, stacionárius sztochasztikus folyamatot alkotnának is, akkor is csak véges időintervallumokat tudnánk megfigyelni, ezért soha nem rendelkezünk elegendő információval ahhoz, hogy a mögöttes folyamatot pontosan rekonstruáljuk. A becsléseink ezért mindig zajosak lesznek. • A zaj hatása annál nagyobb, minél nagyobb a portfolió (N) mérete és minél rövidebbeka megfigyelt idősorok (T). Különböző kockázati mértékek alatt optimalizált portfoliók különböző fokig érzékenyek a zajra. • Tudnunk kell, hogyan függ a portfolió választás hibája N-től ésT-től adott kockázati mérték mellett.

8. Egy klasszikus kockázati mérték: a szórás Amikor a szórást használjuk kockázati mértéknek, akkor implicite feltételezzük, hogy a mögöttes folyamat (esetleg többváltozós) normális eloszlású, vagy ahhoz közeli. Ez a feltevés sokszor durván sérül.

9. Portfoliók Tekintsük az hozamok lineárkombinációját súlyokkal. A súlyok összege egy: . A portfolió hozamának várhatóértéke: , varianciája: , ahol a kovariancia-mátrix, a korrelációs mátrix, pedig az hozam szórása.

10. A varianciában mért kockázat szintfelületei • A kovariancia mátrix pozitív definit. Ebből következik, hogy a variancia szintfelületei (hiper)-ellipszoidok a súlyok terében. Ezek a konvex szintfelületek azt a tényt tükrözik, hogy a variancia konvex kockázati mérték. • A kockázati ellipszoid főtengelyei fordítva arányosak a kovariancia-mátrix sajátértékeinek a gyökével. A kis sajátértékeknek tehát hosszú tengelyek felelnek meg. • Ha valamelyik sajátérték zérussá válik, a megfelelő főtengely végtelen hosszú, ilyenkor az ellipszoid egy elliptikus hengerbe deformálódik.

11. A Markowitz feladat Markowitz klasszikus elmélete szerint a kockázat és hozam közötti kompromisszumot úgy valósíthatjuk meg, hogy a varianciát adott várható hozam és a súlyokra kirótt feltétel mellett minimalizáljuk a súlyok szerint.

12. Geometriailag ez azt jelenti, hogy a kockázati ellipszoidot addig kell felfújnunk, amíg a hozamra és a költségvetésre kirótt feltételeknek megfelelő két sík metszésvonalát nem érinti. Az érintési pont a feladat megoldása. • Minthogy a megoldás egy konvex felület és egy lineáris objektum érintési pontja, ezért egyértelmű. • Amikor zérus sajátérték lép fel, és az ellipszoid hengerbe deformálódik, elvész a megoldás egyértelműsége.

13. A valóságos piacoknak megfelelő kovariancia-mátrixok elemei jobbára pozitívak. • Egy nagy, NxN méretű kovariancia-mátrixnak, amelynek a sorösszegei pozitívak, a legnagyobb sajátértéke O(N), és a megfelelő sajátvektor elemei mind pozitívak (v.ö. Frobenius-Perron tétel). Ez lesz a kockázati ellipszoid legrövidebb tengelyének iránya. • Ilyenkor a megoldás komponensei is mind pozitívak lesznek (piaci portfolió). • Amikor egy vagy több sajátérték zérussá válik, kontinuum sok megoldás lép fel.

14. Empirikus kovariancia mátrixok • A kovariancia-mátrixot a piacon végzett mérésekből kell meghatároznunk. A t időben megfigyelt hozamokból a következő becslést kapjuk: • Neszközből álló portfolió kovariancia-mátrixánakO(N²)számú eleme van. N eszköz Thosszúságú idősorában összesenNTadat van. Ahhoz, hogy mérésünk pontos legyen, aN <<Tegyenlőtlenségnek kellene fennállnia. A banki portfoliók több száz eszközt tartalmazhatnak, miközben aligha értelmes dolog 4 évnél (T~1000) hosszabb idősorokat használni. Ezért N/T << 1szinte soha nem teljesül a valóságban. Így a becslésben jelentős lesz a zaj hatása, a hiba pedig azN/Thányadostól fog függeni.

15. Küzdelem a „dimenziók átkával” • A közgazdászok a kezdetektől fogva küzdenek ezzel a nehézséggel. Minthogy a probléma gyökere a megfelelő mennyiségű információ hiánya, a segítséget valamilyen külső forrásból származó információ bevitelétől várhatjuk, azaz valamilyen struktúrát kell σ-ra rákényszerítenünk. Ez torzítást visz a becslésbe, de csökkentheti a zajt. • Példák: • egy-faktor modellek (β-k) Ezek mind segítenek • több-faktor modellek valamilyen mértékben. • szektorok szerinti csoportosítás A legtöbb vizsgálat • főkomponens analízis empirikus adatokkal • Bayesi shrinkage estimators, stb. dolgozik • Az N/T skálázás gondolata soha nem merült fel korábban.

16. Miben mérjük a zaj hatását? Tegyük fel, hogy ismerjük a igazi kovariancia-mátrixot és meg tudjuk mérni a „zajos” mátrixot. Ekkor a zaj hatásának (nem okvetlen egyedüli) mértékéül a következő mennyiség választható: ahol w*a ill. mátrixoknak megfelelő optimális súlyokat jelöli.

17. A különböző kockázati mértékek zajérzékenységének a tesztelésére szimulált adatokat használunk E mögött az a meggondolás, hogy a kockázati mértékek zajérzékenységének a mérésekor lehetőleg meg akarunk szabadulni minden egyéb bizonytalanságtól, pl. a nem-stacionaritástól. Ezt mesterséges adatok használatával érhetjük el, amikor is teljes ellenőrzést gyakorolhatunk a mögöttes sztochasztikus folyamat fölött.

18. A modell-szimulációs stratégia Különböző modell kovariancia-mátrixokat választunk és ezekkel hosszú idősorokat generálunk. EzutánT hosszúságú szegmenseket vágunk ki belőlük, mintha a piacon végeznénk megfigyeléseket, majd megpróbáljuk rekonstruálni a kovariancia-mátrixokat ezekből a mintákból. Ezután optimalizáljuk a portfoliót mind a „megfigyelt”, mind pedig az igazi kovariancia-mátrix-szal és meghatározzuk a hiba mértékét.

19. Az elképzelhető legegyszerűbb modell: iid normális változók Spektrum λ = 1, N-szeresen degenerált A zaj felbontja a degenerációt és az egyetlen sajátértékből egy sávot csinál 1 0 C=

20. A megfelelő „empirikus” kovariancia-mátrix a Wishart mátrix Ha NésT→∞ úgy, hogy a hányadosukN/Tfix, < 1, akkor ennek az empirikus kovariancia-mátrixnak a spektruma aWishart vagy Marchenko-Pastur spektrum (sajátérték-eloszlás): ahol

21. A kritikus pont: N = T • A kovariancia-mátrix rangja min{N,T} • T<N-re a kovariancia-mátrix pozitív szemidefinit, az optimalizáció lényegében értelmetlen • Az N/T = 1 limeszben a sajátértékek sávjának alsó éle zérushoz tart, az alsó él körül sok kis sajátérték található – sok lágy módus. • Az N/T = 1 a rendszer kritikus pontja • A kritikus ponthoz közeledve skálatörvényeket találunk

22. Számos további modellt vizsgáltunk meg • Különböző piaci struktúrákat kifejező modelleket • Pozitív/negatív korrelációkat • Nem-Gaussi fluktuációkat • Általános tapasztalat: a kritikus pont körüli skálázás univerzális, a modell részleteitől csak prefaktorok függenek

23. Numerikus mérések • Az optimális portfolió relatív hibáját jellemző mérték valószínűségi változó, amely mintáról mintára fluktuál. • Ugyancsak ingadoznak az optimális portfolió súlyai is.

24. iid Gaussian modell: qo eloszlása a minták fölött

25. qo várhatóértékének változása N/T-vel

26. Analitikus eredmények • qo átlagának divergenciája: • qo szórásnégyzete:

27. Ezek az eredmények a következő statisztikus fizikai modellből vezethetők le:

28. qo sűrűségfüggvénye N=800, T=816, N/T = 0.98

29. A sűrűség-függvény jól illeszthető egy Gumbel-eloszlással:

30. A súlyok instabilitásaN=10 iid normális változóból álló portfolió súlyainak eloszlása adott mintában, T=500

31. N=100 iid normális változóból álló portfolió súlyainak eloszlása adott mintában, T=500

32. Egy adott eszköz súlyának ingadozása mintáról mintára, nem-átfedő ablakok, N=100, T=500

33. Egy adott eszköz súlyának ingadozása mintáról mintára, egyesével léptetett ablak, N=100, T=500

34. Nincs minden veszve: RMT szűrés után a portfolió hibája csökken és be tudunk hatolni a T<N tartományba is

35. A különböző szűrési eljárások redukálják a feladat effektív dimenzióját (pl. eldobják a véletlen sajátértékeknek megfelelő alteret, ezáltal eliminálják a zéró-módusokat). • A divergenciát eltünteti minden olyan kényszer is, amely végessé teszi az optimalizációs feladat értelmezési tartományát (pl. a short selling tilalma, vagy likviditási korlátok). Ilyenkor azonban a súlyok nagy része a kényszer által képviselt falakhoz tapad, a megoldást nem a célfüggvény alakja, hanem a kényszerek határozzák meg.

36. Átlagos abszolút eltérés (mean absolute deviation - MAD) Bizonyos kockázatkezelő csomagokban (pl. Algorithmics) a portfoliók ingadozásainak a jellemzésére a szórás helyett az abszolút eltérést használják. Ekkor a minimalizálandó célfüggvény: nem pedig: A MAD állandó kockázatú szintfelületei poliéderek.A MAD lineáris programozással optimalizálható.

37. A zaj hatása abszolút eltérés alatt optimalizált portfoliókra Mesterséges (mondjuk iid normális) idősorokat generálunk, meghatározzuk az „igazi” abszolút eltérést és összehasonlítjuk a mérttel: Így a hiba mértékére a következőt kapjuk :

38. A MAD zajérzékenységeAz eredmény megint csakN/T-től függ (mint a szórásnál). Az optimális portfolió – ceteris paribus - kockázatosabb, mint a szórás alatt optimalizált portfolió.

39. Geometriai interpretáció A szórás szintfelületei ellipszoidok. Az optimális portfoliót az ellipszoid és a költségvetési feltételnek megfelelő sík érintési pontja határozza meg. Az abszolút eltérésnél az ellipszoid helyett egy poliéderrel van dolgunk, és a megoldás ennek egyik sarkára esik. A poliéder meghatározásában elkövetett kis hiba esetén a megoldás egy másik sarokba ugrik át, és ez megnöveli a portfolió ingadozásait a sima variancia esetéhez képest. Ez az ár a (lineárisan programozható) optimalizáció egyszerűségéért.

41. Expected shortfall (ES) optimalizáció Az ES egy magas (valószínűségben, nem pedig pénzben definiált) küszöb fölötti veszteségek átlaga. Folytonos eloszlásokra ez ugyanaz, mint a VaR kvantilis fölötti feltételes várhatóérték. Az ES koherens (Artzner et al. értelmében), s mint ilyet, erősen propagálja a kutatók egy csoportja. Ráadásul, Uryasev és Rockafellar megmutatták, hogy az ES optimalizációja megint csak visszavezethető lineáris programozásra, melyre rendkívül gyors algoritmusok léteznek. Az ES alatt optimalizált portfoliók sokkal zajosabbak, mint az előző két eset bármelyike. Ennek egyik oka a szakaszonként lineáris mérték és a megoldás ebből következő ugrálása, a másik pedig az, hogy a (tipikusan) magas küszöb miatt az adatok nagy részét feláldozzuk.Ugyanakkor azt találtuk, hogy az ES zajérzékenysége nem monoton függvénye a küszöbnek. Mindemellett azESalatti optimalizáció nem mindig hajtható végre!

42. Mielőtt rátérnénk a megvalósíthatóság problémájának a tárgyalására, hasonlítsuk össze a következő kockázati mértékek zajérzékenységét: szórás, abszolút eltérés, expected shortfall (utóbbi β= 70%-os küszöbnél), valamint ennek extrém változata, a maximális veszteség (β= 100%). A pontos összehasonlítás kedvéért ugyanazokat az iid normális bemenő jeleket használjuk mind a négy esetben, meghatározzuk a minimális kockázatú portfoliót és összevetjük az ennek a meghatározásában a zaj miatt elkövetett hibát

43. A különböző kockázati mértékek alatt optimalizált portfoliók relatív hibája

44. A portfolió súlyok instabilitása Hasonló trendet figyelhetünk meg az optimális portfolió súlyainak a viselkedésében is: a súlyok már a szórás esetében is jelentős instabilitást mutattak, de ez a MAD, ES és maximális veszteség esetében (ebben a sorrendben) még erősebbé válik.

45. A súlyok instabilitása különböző kockázati mértékek mellett, nem-átfedő ablakok, N=50, T=500

46. Még meghökkentőbb eredményt kapunk, ha átfedő (egyesével léptetett) időablakot használunk. Ekkor erős autokorrelációk generálódnak, és az eredmény váratlanul stabil, de teljesen hamis struktúra lenyomatát mutatja. • A következő ábrán N=50 eszközből álló portfolió optimalizációjával valamelyik elem súlyára kapott eredményeket látunk T=500 hosszúságú idő-ablak egyesével történt léptetése esetére.

48. Az instabilitás matematikailag annak a következménye, hogy a célfüggvény kevéssé érzékeny a súlyok ingadozásaira, így kevéssé is határozza meg azokat. Az eredmény láttán elgondolkodhatunk azon, hogy vajon a reális piacokon (vagy akármely komplex jelenség megfigyelésekor) felfedezni vélt struktúrák mennyiben felelnek meg valódi mintázatoknak, és mennyiben erednek hasonló látszatokból (amelyek aztán ráadásul önbeteljesítő próféciákként kezdenek működni).

49. Az optimalizáció megvalósíthatósága • T < N esetén a fenti kockázati mértékek egyike mellett sem optimalizálhatók a portfoliók. • T>N-re a szórás és a MAD mellett mindig van megoldás, mégha nem elegendően nagy T-re a minősége gyenge is. • Ezzel szemben az ES (és az alább definiálandó ML) alatt T > N –re vagy van megoldás, vagy nincs, a mintától függően. A megoldhatóság valószínűsége csak a T/N→∞ limeszben tart 1-hez. (Véges méret effektus) • A probléma nem lép fel, ha megtiltjuk a rövidre eladást, vagy akármilyen más módon korlátossá tesszük azt a tartományt, ahol a megoldást keressük.

50. Egy pesszimista kockázati mérték: a maximális veszteség (Maximal Loss, ML) • Hogy jobban megértsük a megvalósíthatósági probléma lényegét, válasszuk ki az adott súlyok mellett az időben elszenvedett legrosszabb veszteséget és minimalizáljuk ezt a súlyok fölött: , feltéve, hogy • Ez a mérték valójában u.a. mint ES, β= 100%-nál. • T < N –re nincs megoldás • T > N –re a megoldhatóság ismét véletlen esemény, amely az idősorból kivágott ablaktól függ