Centro di massa

1. xc m1 m2 x x1 x2 Centro di massa Consideriamo un sistema di due punti materiali di masse m1 e m2che possono muoversi in una dimensione lungo un asse x Centro di massa: • Il centro di massa è in una posizione intermedia tra x1 e x2 • Il centro di massa è più vicino al corpo di massa maggiore • Caso particolare: se m1=0 è xc=x2 (se m2=0 è xc=x1 )

2. Centro di massa di un sistema di punti Per un sistema di n punti materiali in una dimensione si pone: In 3 dimensioni, la posizione del centro di massa è definita da: • Il centro di massa è un punto geometrico che si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema

3. Moto del centro di massa • Nella somma delle forze vanno considerate sia le forze interne (interazioni tra i punti del sistema) che quelle esterne (dovute all’azione di agenti esterni al sistema) • Per la terza legge di Newton, le forze interne sono a due a due uguali e opposte, quindi non contribuiscono alla somma a secondo membro, dove rimane la risultante delle sole forze esterne

4. f21 f12 f31 f13 f32 f23 m3 m1 Fext,1 m2 Fext,2 Fext,3 Forze interne e forze esterne La risultante delle forze interne è sempre nulla perchè sono a due a due uguali in modulo e dirette in verso opposto

5. Quantità di moto Per una particella si definisce il vettore quantità di moto: Derivando rispetto al tempo la quantità di moto si ha: • L’equazione precedente è una formulazione più generale della seconda legge di Newton in quanto tiene conto della possibilità che la massa della particella possa variare nel tempo

6. Quantità di moto di un sistema Si definisce la quantità di moto di un sistema di punti materiali come somma delle singole quantità di moto: Centro di massa: • La quantità di moto del sistema è pari alla quantità di moto che avrebbe il centro di massa se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema • Equazione del moto del centro di massa:

7. Teorema dell’impulso Consideriamo un punto materiale su cui agisce una forza molto intensa per un breve intervallo di tempo Δt tra t1e t2 (situazione tipica in un urto): Impulso: La variazione della quantità di moto è pari all’impulso

8. Conservazione della quantità di moto • Sistema chiuso = nessuna particella può entrare o uscire dal sistema • Sistema isolato = sistema di punti materiali in cui la risultante delle forze esterne è nulla • In un sistema chiuso e isolato la quantità di moto del sistema si conserva (ma possono variare le quantità di moto delle singole particelle!) • Se è nulla una sola componente della risultante delle forze esterne (es. Fext,x ) allora si conserva la corrispondente componente della quantità di moto (Px )

9. Urto tra due punti materiali • Processo di urto tra due punti materiali: • l’interazione tra i due punti è di breve durata (da potersi ritenere istantanea) rispetto al tempo di osservazione del sistema • durante l’urto, l’intensità delle forze esterne è trascurabile rispetto a quella delle forze di interazione tra i due corpi • Affinchè si verifichi un processo di urto, non è necessario che ci sia il contatto tra le due particelle • Negli esperimenti di fisica subnucleare, si verificano urti tra particelle elementari senza che queste vengano a contatto • In un processo di urto si conserva la quantità di moto del sistema: • il moto del centro di massa del sistema non risente dell’urto

10. Urto completamente anelastico (1) In urtocompletamente anelastico, le due particelle, dopo l’urto, restano attaccate. Conservazione della quantità di moto: • La velocità finale dei due corpi è pari alla velocità del centro di massa del sistema, che resta inalterata dall’urto

11. Urto completamente anelastico (2) In questo esempio, la particella di massa m2 è inizialmente ferma (v2=0):

12. Pendolo balistico Il pendolo balistico è usato per misurare la velocità dei proiettili • Il proiettile penetra nel blocco di legno (urto completamente anelastico): • Il sistema blocco+proiettile oscilla, conservando la sua energia meccanica: Ricavando V dalla seconda equazione e sostiuendo nella prima:

13. Urto elastico In un urto elastico si conserva l’energia cinetica del sistema • Conservazione della quantità di moto: • Conservazione dell’energia cinetica: Velocità finali: Se m1=m2allora V1=v2e V2=v1 (i corpi si scambiano le velocità)

14. Urto elastico con bersaglio fisso In questo caso v2=0 e le formule per le velocità finali diventano: • Se m1=m2:V1 = 0 e V2 = v1 (i corpi si scambiano le velocità) • Se m2>>m1: V1 ≈ -v1 e V2 ≈ 0 (il proiettile rimbalza sul bersaglio e torna indietro con velocità in modulo uguale a quella iniziale) • Se m2<<m1:V1 ≈ v1 e V2 ≈ 2v1 (il proiettile prosegue il suo moto indisturbato e il bersaglio schizza via con velocità pari al doppio della velocità iniziale del proiettile)