Approssimazione e convergenza

1. Approssimazione e convergenza Settimana 29 gennaio - 2 febbraio Sessione live 8 Dott. Marta Giorgetti

2. Convergenza in legge Si dice che una successione di v.a. {Xn} converge in legge a una v.a. X si scrive se e solo se la successione {Fn(.)} delle funzioni di ripartizione delle Xn converge puntualmente alla funzione di ripartizione F(.) di X, per ogni punto di continuità di F, cioè in ogni punto di continuità x di F(x) si ha: Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

3. Convergenza in probabilità Si dice che la successione {Xn} converge a X in probabilità se per ogni ε>0 si ha: Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

4. La convergenza in probabilità implica quella in legge, ma non viceversa. Convergenza in probabilità Convergenza in legge Convergenza in legge Convergenza in probabilità Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

5. Esempio1 Sia Ω={ω1, ω2, ω3, ω4}, A la σ-algebra di tutti i sottoinsiemi di Ω e P la distribuzione uniforme di probabilità. Sia per ogni n Non può essere che perché cioè Basta però calcolare le funzioni di ripartizione per vedere che c’è convergenza in legge, infatti Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

6. Teorema centrale del limite (TCL) Siano X1,…Xn n v.a. indipendenti, identicamente distribuite con media μ e varianza σ2 finite e σ2 non nulla. Sia Se indichiamo con Fn(x) la funzione di ripartizione di Zn e con Φ(x) la funzione di ripartizione della Z~N(0,1) allora Cioé, per n grande, vale la relazione Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

7. Osservazioni sul TCL • Se le Xi sono normali, cioè Xi~ N(μ, σ2), allora e la dimostrazione del TCL è immediata, infatti • La v.a. Converge ad una N(0,1) in legge. • In generale n>30 basta per applicare la tesi del TCL, ma non è sempre vero! • La è la standardizzata di una v.a. Y=X1+…+Xn di media nμ e varianza n σ2. Il TCL si può quindi riformulare così: la v.a. Y=X1+…+Xn per n grande è approssimativamente una N(nμ,nσ2), cioè per n grande la P(X1+…+Xn≤a)~P(N(nμ,nσ2)≤a) Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

8. Approssimazioni via TCL APPROSSIMARE UNA B(n,p) CON UNA N(μ,σ2). Ricordiamo che se X~B(n,p), allora X rappresenta il numero di successi in n esperimenti indipendenti, dove la probabilità di successo in ogni esperimento è data da p. Sappiamo che X si può considerare come la somma di n V.A. indicatori, cioé di Bernoulliane Xi, di parametro p indipendenti, E[Xi]=p e che VAR[Xi]=pq. Per il TCL, se n è grande è una N(0,1). OSSERVAZIONE: l’approssimazione di una B(n,p) con una normale N(np, npq) funziona bene quando sia np che npq sono almeno 5. Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

9. TABELLA DELLE CORREZIONI DI CONTINUITA’ Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

10. Esercizio1: Le uova prodotte in un’azienda avicola hanno peso medio μ=60 (grammi), varianza σ2=16, primo quartile q0.25=57 e terzo quartile q0.75=63,5. Dato un campione di n=900 uova si calcoli la probabilità che:a) il campione abbia un peso complessivo inferiore a 53.8 chilib) almeno il 52% delle uova abbia peso compreso nell’intervallo (57,63.5) Soluzione a) Sia Xi la v.a. che misura il peso dell’uovo i-esimo. Allora il peso complessivo del campione sarà dato dalla v.a. S900 =X1+…+ Xn. Allora per il TCL quindi la probabilità cercata sarà: che standardizzando diventa Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

11. b) Per definizione di quantile si ha: p=P(57<Xi ≤63,5)=P(q0.25<Xi ≤q0.75)=0,5 La verifica che il peso di un uovo sia incluso nell’intervallo specificato è un esperimento di Bernoulli di parametro p . Sia Yila v.a. che rileva l’esito della verifica sull’uovo i-esimo. Allora Yiè una B(p) Y=Y1+…+Yn~B(n,p). Poiché np>5 e nq >5 la richiesta del testo può essere calcolata per approssimazione sapendo che, dal TCL, B(n,p)~N(np,np(1-p)). Quindi P(Y≥ 0.52 900)=1-P(Y<468)=1-P(Y≤ 467) da cui, ricordando di inserire la correzione di continuità, ricaviamo il risultato cercato: Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

12. ESERCIZIO2:Una ditta di trasporti internazionali possiede 100 tir dello stesso tipo. Ogni tir percorre una media di 600 km al giorno con una deviazione standard di 50 km.1. Supponendo che i giorni lavorativi in un anno siano 340, quanti chilometri percorre mediamente un tir in un anno?2. Una merce deve essere trasportata da un tir ad una distanza di 70000km. Viene chiesto al titolare dopo quanti giorni dalla partenza avverrà la consegna. Che risposta deve dare il titolare affinché con probabilità almeno pari a 0.9 la merce arrivi a destinazione entro il tempodichiarato? Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

13. Soluzione 1. Sia Xila v.a. che descrive lo spazio percorso nel giorno i. Sappiamo che E(Xi) = 600 km e Var(Xi) = 502km2. Allora lo spazio percorso in 340 giorni è rappresentato dalla v.a. La media di questa variabile è E(S) = 340*600 =204000 km. Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

14. Bisogna calcolare quanto deve valere n affinché risulti: Dal TCL sappiamo che per cui Da ciò segue che Si ottiene così la disequazione . Ponendo si ottiene un’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono 3.47 e -3.36. Poiché siamo interessati solo alla radice positiva, otteniamo x≥3.47, ossia n≥12.04. dunque il titolare deve dichiarare 13 giorni d’attesa. Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

15. ESERCIZIO5: Le confezioni di pasta alimentare di una certa linea di produzione hanno un peso che può essere assimilato ad una variabile aleatoria X avente media µ=0.5kg e deviazione standard σ2=0.003kg. Si determini:a) il limite inferiore della probabilità che, estraendo a sorte una confezione, ilpeso della confezione sia compreso nell’intervallo (0,5-2*0.003, 0,5+2*0.003) b) il limite superiore della probabilità che X sia esterna all’intervallo (0.491; 0.509)c) il limite inferiore per P(0.495<X<0.505)d) l’intervallo intorno alla media in cui è compresa la variabile aleatoria X conprobabilità almeno uguale al 95% SOLUZIONE • Si tratta di un’applicazione diretta della formula dalla quale si ricava che k=2, pertanto l’estremo inferiore cercato è Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

16. b) Per utilizzare ancora la seguente formula, dobbiamo prima ricavare k. Dalla relazione 0,5-k(0,003)=0,491 si ottiene k=3. pertanto l’estremo superiore cercato è dato da: c) Dalla relazione 0,5-k(0,003)=0,495 si trova k=1,7. Ne consegue che il limite inferiore cercato è 0,65. d) Anche in questo caso si tratta di trovare k. 1-(1/k2)=0,95, da cui Pertanto si ricava che l’intervallo richiesto è (μ-4,47σ, μ+4,47σ) ovvero (0,487, 0,513). Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza

17. Esercizi per voi Esercizio1 La percentuale di realizzazione nei tiri da 2 punti di un giocatore di pallacanestro è p=0.55. Si calcolino: a) la probabilità che il giocatore segni non più di 50 punti in 50 tiri b) il numero minimo di tiri da effettuare affinché la probabilità di segnare almeno 100 punti sia non inferiore al 90% Esercizio2 Il tempo di lavorazione di un pezzo meccanico è una variabile aleatoria di media μ=2 minuti e deviazione standard σ=0,3 minuti. 1. In approssimazione normale, calcolare la probabilità di effettuare la lavorazione di 150 pezzi in un tempo minore di 5 ore e 10 minuti. 2. In approssimazione normale, calcolare la probabilità che la media campionaria dei tempi di lavorazione relativa a 100 pezzi sia compresa tra 1 minuto e 55 secondi e 2 minuti e 10 secondi. 3. Quanti pezzi dobbiamo misurare per essere certi al 95% che la media campionaria dei loro tempi di lavorazione non differisca da 2 minuti per più di 4 secondi? Marta Giorgetti: approssimazione e convergenza