Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH NR 1 • I Liceum Ogólnokształcące im. ppor. Emilii Gierczak w Nowogardzie • ID grupy: • 97/6_MF_G1 • Kompetencja: • Matematyczno – fizyczna • Temat projektowy: • PROBLEMY EKSTREMALNE W GEOMETRII TRÓJKĄTA • Semestr/rok szkolny: • CZWARTY/2011/2012

3. „Dążenie człowieka do perfekcji znajduje swój wyraz w optymalizacji. Zajmuje się ona tym, jak opisać i osiągnąć Najlepsze, gdy wiemy już jak mierzyć i zmieniać Dobre i Złe” • Beightlerand Philips, 1979, Foundations of Optimization

4. POJĘCIE OPTYMALIZACJI • Optymalizacją w najszerszym znaczeniu tego słowa nazywa się otrzymanie najlepszych wyników w danych warunkach. • W ogólnej postaci matematycznej sformułowanie zadania optymalizacji polega na znalezieniu maksimum (lub minimum) danej funkcji. F = f(x1, x2,x3….xn) gdzie x1,x2,x3….xn są to zmienne (wektory zmiennych)

5. POJĘCIE OPTYMALIZACJI c.d. • Każdemu zadaniu optymalizacyjnemu odpowiada określona postać matematyczna (funkcja matematyczna). • Funkcja F nazywa się kryterium optymalizacji. • Zmienne występujące w równaniu funkcji mogą być zmiennymi sterującymi lub decyzyjnymi lub zmiennymi niesterowalnymi.

6. Po co optymalizować? • Korzyści finansowe • Usprawnienie działania • Podniesienie efektywności pracy • Poprawa niezawodności • Poprawa bezpieczeństwa • Zmniejszenie zużycia zasobów

7. Optymalizacja jest na tyle dobra – na ile dobry jest model matematyczny

8. ZANIM ZAJMIEMY SIĘ ZŁOŻONYMI PROCESAMI OPTYMALIZACYJNYMI W ŚWIECIE PRODUKCJI, HANDLU, LOGISTYKI, PRZEMYSŁU, EKONOMII ITD., OGRANICZYMY SIĘ W TEJ PRACY TYLKO DO PROBLEMÓW EKSTREMALNYCH ZWIĄZANYCH Z TRÓJKĄTEM.

9. O TRÓJKĄCIE W KILKU ZDANIACH

10. DEFINICJA Trójkąt – wielokąt o trzech bokach. To jedno z najkrótszych i najprostszych określeń w matematyce. Każdy wie jak wygląda trójkąt i pamięta kilka jego własności ze szkoły. Jednakże to, ile potrafi przysporzyć problemów w zadaniach na klasówce, w testach maturalnych i w jak wielu różnych zadaniach może się znaleźć, to wiedzą tylko Ci, którzy musieli się z tym zmierzyć. Jest najmniejszą figurą wśród wielokątów (w sensie ilości boków) i to pierwszy problem ekstremalny dotyczący geometrii trójkąta. Nie istnieją bowiem wielokąty o mniejszej liczbie boków.

11. Trójkąt – posiada aż trzy wysokości, symetralne boków, dwusieczne kątów, środkowe, symediany. Jego środek ciężkości, środek okręgu opisanego i ortocentrum leżą na jednej prostej zwaną Eulera. Może być prostokątny, równoboczny, równoramienny, ostrokątny, sferyczny, wpisany, opisany, podobny do innego, jednokładny, przystający i jeszcze wiele różnych postaci może przyjąć. Ten niepozorny trójkąt ma również barycentrum, punkt Nagela, punkt Gergonne'a, punkt Brocarda, punkt Fermata. Znali go starożytni, zajmował się nim Pitagoras, Menelaos, Sierpiński, Heron a wielu naukowców do dziś się nim zajmuje i tworzy kolejne problemy z nim związane.

12. GEOMETRIA TRÓJKĄTA W ZADANIACH Z PROBLEMAMI EKSTREMALNYMI Wielkości występujące w trójkącie, jego własności i relacje z innymi figurami są natchnieniem dla miłośników matematyki i nauk ścisłych. Wielbiciele myśli matematycznej wymyślają nieskończone ilości problemów związanych z trójkątem. Zapisują je bądź nadają im formę zadań do rozwiązania. Wiele problemów dotyczących trójkąta wynika również z otaczającej nas rzeczywistości i tworzy je samo życie. Wszystkie natomiast, są inspiracją do nauki i poszerzania swojej wiedzy. I na zadaniach właśnie oparta będzie niniejsza prezentacja.

13. ZAD 1.Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Na boku AB obieramy punkt P. Znaleźć na bokach BC,CA takie punkty X,Y, aby obwód trójkąta XYP był minimalny. Odbijamy punkt P symetrycznie względem boków BC i CA uzyskując punkty P′ i P′′. Odcinek P′P′′ przecina boki BC,CA odpowiednio w punktach Q, R. Są to rozwiązania tego zadania. Istotnie, zauważmy, że obwód trójkąta PQR równy jest |P′P′′|. Jeżeli natomiast wybierzemy na bokach BC,CA dowolne inne punkty X,Y, to obwód trójkąta XYP równy będzie długości łamanej: P′XYP′′, a więc sumie: |P′X| + |XY| + |YP′′|

14. Korzystając z rozwiązanego właśnie zadania można rozstrzygnąć problem tzw. „trójkąta Schwarza”. ZAD 2.(Problem trójkąta Schwarza). Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Wpisać w niego trójkąt o minimalnym możliwym obwodzie. Na mocy poprzedniego zadania musimy znaleźć taki punkt na boku AB trójkąta ABC, aby odcinek P′P′′ miał minimalną możliwą długość. Ale od czego zależy długość tego odcinka? Jest to podstawa trójkąta równoramiennego P′C′P′′, którego kąt pomiędzy ramionami jest stały i równy 2∡ACB i którego ramię ma długość |P′C| = |P′′C| = |PC|. Zatem długość |P′P′′| będzie minimalna wtedy, gdy odcinek PC będzie możliwie krótki. Punkt P musi być zatem spodkiem wysokości trójkąta ABC opuszczonej z wierzchołka C. A czym będą wtedy punkty Q,R? Okazuje się, że będą to spodki pozostałych wysokości.

15. ZAD 3.Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 12 cm. Punkty M, N i P należą odpowiednio do boków AB, BC, AC tego trójkąta przy czym AM = BN = CP = x. Zbadaj dla jakiej wartości, pole trójkąta będzie najmniejsze. Znajdź wartość tego pola. Otrzymany trójkąt MNP jest trójkątem równobocznym, jego bok możemy wyliczyć z twierdzenia cosinusów: Pole trójkąta MNP wynosi: Pozostało wyznaczyć wartość x Є<o, 4>, dla której funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc przyjmuje ona wartość najmniejszą w wierzchołku, czyli dla x = 2. Pole wynosi wtedy

16. ZAD 4.Dane jest koło o promieniu r i środku O. W jakiej odległości od środka O należy poprowadzić cięciwę AB, aby pole trójkąta AOB było największe? Pole trójkąta równoramiennego AOB: będzie największe dla: czyli trójkąt AOB jest prostokątny, stąd:

17. ZAD 5.W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt tak, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z wierzchołków leży na przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie wymiary musi mieć prostokąt, aby jego pole było możliwie największe. Z podobieństwa trójkątów AEC i MNC mamy |P′C| = |P′′C| = |PC|. Musimy znaleźć taką wartość b Є (0, 6), dla której funkcja przyjmuje największą wartość. Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, osiąga ona największą wartość w wierzchołku, czyli dla b = 3. Wtedy a = 4.

18. ZAD 6.W trójkącie o obwodzie 14 jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego boku. Oblicz cosinus najmniejszego kąta, tego spośród trójkątów spełniających podany warunek, w którym suma kwadratów długości boków jest najmniejsza. Oznaczmy długości boków szukanego trójkąta przez a, 2a, b. W takim razie i suma kwadratów długości boków jest równa Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku, czyli dla a = 3. Wtedy pozostałe boki mają długości 2a = 6 oraz b = 5. W trójkącie najmniejszy kąt leży naprzeciwko najkrótszego boku, więc musimy wyliczyć cosinus kąta leżącego naprzeciwko boku długości 3. Stosujemy twierdzenie cosinusów.

19. ZAD 7.Udowodnić, że wśród wszystkich trójkątów o danym obwodzie 2p trójkąt równoboczny ma największe pole. W rozwiązaniu wykorzystamy nierówność między średnimi. Zgodnie z wzorem Herona, pole trójkąta o bokach długości abc wynosi: Z nierówności pomiędzy średnimi mamy: Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy p − a = p − b = p − c, czyli gdy a = b = c. Zatem: Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a = b = c. Kluczową operacją w tym zadaniu było geometryczne zinterpretowanie warunku równości występującego w nierówności algebraicznej.

20. ZAD 8.Na kuli o promieniu R opisano stożek. Jaka będzie wysokość stożka o najmniejszej objętości? Dane: R Oznaczmy przez x długość odcinka PS. Szukane: DS = R + x Z twierdzenia Pitagorasa mamy: Trójkąty PQS i DBS są podobne na mocy cechy kk. Stąd Stąd gdzie x > R, czyli x Є (R, ∞) Wstawiamy r2`do równania na objętość stożka:

21. Rozwiązanie zad. 8 - cd Należy teraz obliczyć, dla jakiej wartości x Є (R, ∞) funkcja osiąga minimum. O znaku pochodnej decyduje znak wyrażenia: Funkcja V(x) osiąga minimum dla x = 3R Odp. Stożek ma najmniejszą objętość, gdy jego wysokość ma długość R + x = 4R.

22. ZAMIAST ZAKOŃCZENIA WARUNKI EKSTREMALNE

23. ZSO NR 1 – NOWOGARD • Marlena Glanc • Weronika Kaczmarek • Nikola Myśliwiec • Wiktor Pacer • Sandra Putkowska • Błażej Siuda • Anna Stańczyk • Marcin Wolak • Łukasz Wysocki • Ewa Żywica • OPIEKUN – Daniel Kuzara OPIEKUN - Karina Surma