1 / 59

Dane informacyjne

Dane informacyjne. Nazwa szkoły: Zespół Szkół Technicznych w Kole ID grupy: 97/78_MF_G1 Opiekun: Małgorzata Gralak Kompetencja: matematyczno-fizyczna

zalika
Download Presentation

Dane informacyjne

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Dane informacyjne • Nazwa szkoły: Zespół Szkół Technicznych w Kole • ID grupy: 97/78_MF_G1 • Opiekun: Małgorzata Gralak • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa • Semestr/rok szkolny: semestr piąty / 2011/2012

  2. Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

  3. Plan prezentacji • Cele projektu • Kombinatoryka • permutacje • wariacje • kombinacje • Rachunek prawdopodobieństwa • prawdopodobieństwo klasyczne • własności prawdopodobieństwa • drzewo prawdopodobieństwa • Zadania różne

  4. Cele projektu • Poznanie definicji głównych pojęć kombinatorycznych wraz ze wzorami do ich obliczania oraz przykładami ich stosowania • Opracowanie zestawu zadań ilustrujących metody kombinatoryczne oraz zastosowanie metod kombinatorycznych w różnych sytuacjach w rachunku prawdopodobieństwa

  5. Kombinatoryka

  6. Kombinatoryka Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka jest sztuką liczenia - zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami.

  7. Kombinatoryka c.d. Kombinatoryka powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza głównie rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych.

  8. Symbolsilnia Dla n > 1 symbol n! (n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ . . . ∙ n Przyjmujemy również, że 0! = 1 i 1! = 1. Przykłady 2! = 1 ∙ 2 = 2 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720

  9. Permutacje • Permutacjąn -elementowego zbioru A nazywamy każdy n -wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. • Wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest Pn= n! Przykład 1 Podaj wszystkie permutacje zbioru A = {a, b, c}. Rozwiązanie {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Jest ich P3= 3! = 6.

  10. Przykład 2 • W urnie mamy kule ponumerowane od 1 do 5. 2) Jeżeli wyjmiemy z urny wszystkie kule i ułożymy je w rzędzie, to otrzymamy ich permutację.

  11. Permutacje z powtórzeniami Permutacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego, nazywamy każdy ciąg n-wyrazowy utworzony z elementów tego zbioru, wśród których pewne elementy się powtarzają. Przykład 1 Jeżeli spośród elementów: a, b i c, element a weźmiemy dwa razy, element b jeden raz i element c jeden raz, możemy utworzyć następujące permutacje z powtórzeniami. {a, a, b, c}, {a, a, c, b},{a, b, a, c}, {a, b, c, a}, {a, c, a, b}, {a, c, b, a}, {b, a, a, c}, {b, a, c, a}, {b, c, a, a}, {c, a, a, b}, {c, a, b, a}, {c, b, a, a}.

  12. Wariacje bez powtórzeń • Każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n- elementowego zbioru A, gdziek ≤ n, nazywamy k- elementową wariacją bez powtórzeń zbioru A. • Liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa:

  13. Przykład 1 3) Gdy zmienimy kolejność wybranych kul, to otrzymamy kolejna wariację tego zbioru. • W urnie mamy kule ponumerowane od 1 do 5. 2) Wybraliśmy z urny 3 kule, które ułożyliśmy w pewnej kolejności. Tak ułożone kule są wariacją zbioru kul.

  14. Przykład 2 Pewien kod tworzymy z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, H, przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów? Rozwiązanie

  15. Wariacje z powtórzeniami • Każdy k-wyrazowy ciąg, w którym wyrazy mogą się powtarzać, utworzony z elementów zbioru A, nazywamy k-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru A. • Ze zbioru n-elementowego można utworzyć różnych k-elementowych wariacji z powtórzeniami.

  16. Przykład 1 Z urny, gdzie znajduje się pięć ponumerowanych kul losujemy kolejno 3 kule ze zwracaniem. Po każdym losowaniu zapisujemy wyniki, w kolejności losowania.

  17. Losowanie 1 Losowanie 2 W pierwszym losowaniu wybraliśmy kulę z numerem 5. Zapisujemy wynik, a kulę zwracamy do urny. W drugim losowaniu wybraliśmy kulę z numerem 4. Zapisujemy wynik, a kulę zwracamy do urny.

  18. Losowanie 3 Otrzymaliśmy trzyelementową wariację z powtórzeniami W trzecim losowaniu, ponownie wybraliśmy kulę z numerem 4. Tak jak poprzednio zapisujemy jom jako wynik losowania

  19. Przykład 2 Ze schroniska na szczyt pewnej góry prowadzą 4 szlaki, którymi można wchodzić i schodzić. Na ile sposobów można przebyć trasę schronisko – szczyt – schronisko, jeśli: a)możemy wracać tym samym szlakiem, b)nie możemy wracać tym samym szlakiem?

  20. Rozwiązanie a) b)

  21. Kombinacje Każdy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego A (k ≤n ) nazywamy k-elementową kombinacją tego zbioru. Przykład Podaj wszystkie 2 -elementowe kombinacje zbioru A = {a,b,c,d}. Rozwiązanie {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}

  22. Kombinacje c.d. Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego (k ≤ n) jest równa: Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego oznacza się również symbolem (czytaj: n nad k), zwanym symbolem Newtona.

  23. Dowód Każde k wybranych elementów można ustawić w ciąg na k! sposobów. Każdy taki ciąg jest k-elementową wariacją bez powtórzeń. Zatem: czyli skąd otrzymujemy:

  24. Przykład 1 Ile trójkątów można utworzyć, łącząc trzy punkty wybrane spośród rozmieszczonych na okręgu punktów:P1, P2, . . . , P10? Rozwiązanie Takich trójkątów jest tyle ile kombinacji

  25. Zestawienie wzorów

  26. Rachunek prawdopodobieństwa

  27. Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.

  28. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Poszczególne wyniki doświadczenia losowego nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a ich zbiór – przestrzenią zdarzeń elementarnych lub krótko przestrzenią, którą oznaczamy literą omega – Ω. Przykład Przestrzeń zdarzeń elementarnych: rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} rzutu najpierw monetą, a następnie kostką: Ω = {(r, 1), (r, 2), (r, 3), (r, 4), (r, 5), (r, 6), (o, 1), (o, 2), (o, 3), (o, 4), (o, 5), (o, 6)}

  29. Zdarzenia losowe • Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. • Mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne lub wykluczają się, jeśli część wspólna tych zdarzeń jest zdarzeniem niemożliwym . • Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia .

  30. Prawdopodobieństwo klasyczne Jeżeli Ω jest zbiorem skończonym i niepustym, to prawdopodobieństwem zdarzenia nazywamy liczbę: gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A.

  31. Przykład 1 Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek większej od 10 przy dwukrotnym rzucie symetryczną kostką?

  32. Rozwiązanie Przestrzeń zdarzeń elementarnych ma 36 elementów: Ω= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, ma 3 elementy: A = {(5, 6), (6,5), (6,6)}. Zatem:

  33. Własności prawdopodobieństwa Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a P prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach . Wówczas: 1. 2. 3. Jeśli 4.

  34. Przykład 1 Student zna odpowiedź na 8 spośród 20 pytań egzaminacyjnych. Na egzamin losuje 3 pytania i musi odpowiedzieć na co najmniej 1 z nich, żeby zdać egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu? Rozwiązanie Wynikiem doświadczenia są 3 pytania wylosowane spośród 20. Zatem:

  35. Niech: A - oznacza zdarzenie polegające na tym, że student wylosował 3 pytania, wśród których było przynajmniej 1 spośród 8, na które potrafi odpowiedzieć A’ – oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A - polegające na wylosowaniu 3 pytań spośród 12, na które student nie zna odpowiedzi Zatem: Stąd:

  36. Przykład 2 Z liczb od 1 do 20 losowo wybieramy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej prze 2, a B – podzielnej przez 3. • Uzupełnij diagram. • Oblicz: • Sprawdź, czy: A B 6 12 18 2 6 11 Ω

  37. Rozwiązanie b) , , , c) a) 19 17 A B 6 12 18 4 3 20 2 6 16 14 10 5 8 13 11 1 5 7 Ω

  38. Drzewo prawdopodobieństwa Gdy doświadczenie losowe jest wieloetapowe można się wówczas przy obliczaniu prawdopodobieństwa posłużyć grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym (probabilistycznym, prawdopodobieństwa). Krawędzie tego grafu odpowiadają zdarzeniom losowym, a wierzchołki poszczególnym etapom. Przy krawędziach zapisuje się prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń, których suma na krawędziach wchodzących w skład jednego wierzchołka jest równa 1.

  39. Drzewo prawdopodobieństwa c.d. Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez daną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanym krawędziom , z których składa się dana gałąź (reguła iloczynów). Natomiast prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego opisanego przez kilka gałęzi drzewa jest równa sumie prawdopodobieństw tych gałęzi (reguła sum).

  40. Przykład 1 Z pudełka, w którym jest 6 cukierków czekoladowych i 4 krówki losujemy kolejno bez zwracania 2 cukierki. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania • 2 krówek • 2 cukierków o różnych smakach? Rozwiązanie Niech: C - oznacza wylosowanie cukierka czekoladowego, K - krówki. Mamy tu dwa etapy: I - losujemy jednego cukierka, II -losujemy drugiego cukierka. Ponieważ nie zwracamy cukierków do pudełka po wylosowaniu mamy następujące drzewo stochastyczne:

  41. Jak obliczono poszczególne prawdopodobieństwa? W pudełku mamy 10 cukierków: 6 czekoladowych i 4 krówki. Prawdopodobieństwo wylosowania cukierka czekoladowego za pierwszym razem wynosi 6/10, natomiast krówki 4/10. Po pierwszym losowaniu zostaje 9 cukierków. A ile jest wśród nich krówek i czekoladowych? To zależy od tego, czy za pierwszym razem wylosowano krówkę, czy cukierka czekoladowego, stąd 4 różne przypadki. a) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch krówek (zdarzenie A). Zobaczmy na nasze drzewko i zastosujmy regułę iloczynów:

  42. b) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania cukierków o różnych smakach (zdarzenie B). Zobaczmy na nasze drzewko. Dwie gałęzie odpowiadają naszemu zdarzeniu. Obliczamy prawdopodobieństwo każdej z gałęzi i potem stosujemy regułę sum:

  43. Zadania różne

  44. Zadanie 1 Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia „szóstki” w losowaniu sześciu liczb spośród 49, jeśli kupujemy jeden zakład? Rozwiązanie:

  45. Zadanie 2 Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia „piątki” w losowaniu sześciu liczb spośród 49, jeśli kupujemy jeden zakład? Rozwiązanie:

  46. Zadanie 3 Rzucając czworościenną symetryczną kostką, możemy otrzymać jedną z liczb 1,2,3 lub 4 (liczba przy wierzchołku). Gracz rzucający dwukrotnie taką kostką, jeśli suma wyrzuconych oczek jest większa od 5. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej. I II Rozwiązanie:

  47. Zadanie 4 P P Wejście Wpuszczony do labiryntu szczur, dochodząc do rozwidlenia dróg, dwa razy częściej skręca w lewo niż w prawo. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dotrze do pokarmu(oznaczonego na rysunku literą P)

  48. P P Wejście Rozwiązanie

  49. b) Inny szczur wpuszczony do tego samego labiryntu, dochodząc do rozwidlenia dróg, skręca w prawo w x% przypadków. Oblicz x, jeśli prawdopodobieństwo tego, że dotrze do pokarmu, jest równe P P Wejście

More Related