Introdução a Lógica Matemática

1. Introdução a Lógica Matemática João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática - 2007/1

2. Conteúdos de ILM • História da lógica. • A Lógica proposicional. • A Lógica de Boole e os circuitos lógicos. • A Lógica e a teoria dos conjuntos. • A Lógica e ossilogismos categóricos. • Lógica e cálculo de predicados– 1ª ordem. • Introdução à lógica "Fuzzy" ou difusa. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 2

3. Objetivos Gerais • Desenvolver o raciocínio dedutivo, indutivo e lógico matemático. • Descrever e aplicar a lógica proposicional e a álgebra booleana. • Desenvolver aplicações da lógica de predicados. • Conhecer aspectos básicos da lógica difusa. Introdução a Lógica Matemática - 2006/1 – p. 3

4. Estudar Lógica... para quê? • Pensar “corretamente” encadeando o raciocínio. • Formalizar o raciocínio lógico: tornar explícito aquilo que é implícito. • Facilitar a programação lógica: Circuitos lógicos, Fluxogramas, Modelagem de dados, Linguagens de montagem e linguagens estruturadas de computação. • Solucionar problemas com uso de técnicas de inteligência artificial: Lógica “fuzzy”, Redes Neurais, Algoritmos genéticos. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 4

5. História e evolução da lógica • A lógica iniciou-se com Aristóteles (384-322 A.C.), em sua obra Organum (“ferramenta”) estabeleceu os princípios gerais e sólidos que domina o pensamento ocidental há mais de 2 mil anos. • Os filósofos gregos utilizavam a Lógica em suas discussões sob formas de sentenças afirmativas ou negativas. • Leibniz, por volta de 1666, a utilizou em vários trabalhos chamando-a de calculus ratiotinator originando a idéia da lógica matemática. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 5

6. História e evolução da lógica • Euler, no século XVIII, fez a 1a representação gráfica entre sentenças (proposições). • Entre 1847 a 1859 DeMorgan e Boole publicaram vários tratados e livros que deram uma base algébrica e formal para a lógica. • Em 1879, Fregue provoca uma revolução ao desenvolver um sistema de representação simbólica: a lógica de predicados. • Em 1937/1938 Nakashima e Shannon aplicam a álgebra de Boole em circuitos com relés dando origem ao 1o computador eletro-mecânico. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 6

7. História e evolução da lógica • A representação gráfica de Euler é ampliada por Venn no século XIX, Veitch em 1952 e Karnaugh em 1953 (mapas Veitch- Karnaugh). • Na década de 60 Zadek estabeleceu a base formal da teoria de conjuntos para a lógica “fuzzy” ou difusa. “A Lógica tem por objeto o estudo das leis gerais do pensamento e as formas de aplicá-las corretamente na investigação da verdade”. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 7

8. Evolução da lógica: argumentos • Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de conhecimentos anteriores considerados verdadeiros (axiomas), permitiam obter novos conhecimentos (novas verdades): • Essa forma de encadeamento é chamado, em Lógica, de argumento. Argumento é coleção de informações (sentenças ou proposições) em que uma delas, chamada conclusão, é obtida a partir das outras, chamadas premissas. • As afirmações envolvidas são chamadas proposições; • Usualmente, a proposição derivada é chamada conclusão, e as demais, são as premissas. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 8

9. Evolução da lógica: argumentos • Em um argumento válido, as premissas são provas da verdade da conclusão. • Eis um exemplo de argumento válido: Se eu ganhar na Loteria, serei rico Eu ganhei na Loteria Logo, sou rico • Como a conclusão “sou rico” é uma decorrência lógica das duas premissas, esse argumento é considerado válido. “A Lógica formal se preocupa com o relacionamento entre as premissas e a conclusão, com a estrutura e a forma do raciocínio, e não com seu conteúdo”. “O objeto da Lógica é determinar se a conclusão é ou não uma conseqüência lógica das premissas”. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 9

10. Evolução da lógica: argumentos • A validade do argumento está ligada à forma pela qual ele se apresenta, como mostrado no enunciado: Se eu ganhar na Loteria, serei rico Não ganhei na Loteria Logo, não sou rico • Embora seja semelhante ao anterior, tem outra forma, e, nessa forma, a conclusão não se segue logicamente das premissas, portanto, não é um argumento válido. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 10

11. Argumentos: dedução e indução • Argumentos dedutivos: as premissas fornecem uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. • Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão. • Argumentos indutivos: as premissas nem sempre apresentam provas da veracidade da conclusão, mas, apenas indicações dessa veracidade: Joguei uma pedra no lago, e a pedra afundou; Joguei outra pedra no lago e ela também afundou; Joguei mais uma pedra no lago, e também esta afundou; Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar. “ Eles não são válidos ou inválidos, mas costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas”. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 11

12. Proposições e Predicados • Como a Lógica das proposições singulares é mais simples que a lógica que trata também com conjuntos de objetos, o estudo é separado em duas partes: • O Cálculo Proposicional, ou Lógica Sentencial, que se ocupa das proposições singulares. Se o cão é mamífero, então mama; PremissaSe A, então B O cão é mamífero; PremissaVale para A Logo, o cão mama. ConclusãoEntão, vale B • O Cálculo de Predicados, ou Lógica dos Predicados, que trata dos conjuntos de objetos e suas propriedades. Todos os homens são mortais. PremissaTodo B é A Sócrates é um homem. PremissaAlgum B é C Logo, Sócrates é mortal. ConclusãoLogo, algum C é A. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 12

13. A Lógica e seus “Princípios” • A Lógica Formal repousa sobre três princípios fundamentais. São eles: • Principio da Identidade: toda proposição é idêntica a si próprio, (se uma afirmação é verdadeira, ela é um axioma). • Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode, simultaneamente, ser verdadeira e falsa. Isto é, de duas afirmações contraditórias, uma necessariamente é falsa. • Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição é verdadeira ou falsa, não existindo uma terceira opção. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 13

14. Proposições: linguagem e dicotomia • A lógica estuda a validade de argumentos. • A linguagem utilizada é fundamental, pois por meio dela expressamos as idéias em nossos raciocínios. • O mundo apresenta situações dicotômicas, com duas condições ou dois estados que mutuamente se excluem: Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 14

15. Proposições e conectivos • Conectivos são expressões usadas para,a partir de proposições conhecidas, gerar novas proposições. • Em geral usam-se letras latinas A, B, C,... (a,b,c,..) para indicar proposições arbitrárias. Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 15

16. Tabelas-verdade • Tabela-verdade é uma forma de representar todas as combinações lógicas possíveis. Assim dados dois interruptores/portas lógicas a e b, teremos: • 1) s = a 2) s = a + b (a ۷b) 3) s = a • b (a ۸b) • Exemplos/Exercícios (p. 20, 21 e 22 - Daghlian) Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 18