集合的基本概念

集合的基本概念 1-2 ＠陳曉惠

集合的性質 集合的定義交集、聯集、差集、宇集、補集集合的表示法集合的相等應用—排容原理基本測驗 ▂學習內容◥

一、定義 • （1）集合（set）：由一群具有特別用意，並可明確 • 區隔之事物的聚集，看作一個整體，稱為 • 一個集合。 • ★表示：A,B,C… • （2）元素： • 集合中所有組成的分子，稱為集合之元素。 • ★表示：a,b,c… ＊若a是集合S中的一個元素，以“"表示。 aS

二、集合的表示法 • （1）列舉法（表列法） • 把集合的每一個元素一一列舉出，再用括起來。 { } eg. A={ 1,2,3,4,5} B={1,3,5,7,9} （2）描述法（構式法）把集合中的元素，用共同的特徵把它描述出來。 • eg. A={所有正偶數} ={0,2,4,6,8…} • B={ x | x2 = 4 } ={-2,2} • C={ 2n+1| n任意整數} ={…-1,1,3,5…}

三、集合的相等 兩個集合A , B中的元素若完全相同，稱此二集合相等，＊記作：A=B。 補充： A={ 1, 2, 3 } = B={ 3, 2, 1 } A={ 1, 1, 3 } = B={ 1, 3 } eg. A＝B A={ x | x2-2x-3=0 } , B = { } 3, -1

B A 四、集合的性質（1）子集合設A, B為二集合，若A集合中a  B則稱A為B的『』或『』；B為A的。母集子集部分集合圖式法：讀法：記法： • A包含於B A  B B包含A B  A • ＊A是它本身的子集，也是本身的母集。 "A A " 且 " A A " • ＊若A  B 且 AB 即存在有B元素不屬於A，則稱A為B的『真子集』。 • ＊（A  B 且 AB）  （A=B）

A 1 2 3 4 四、集合的性質（2）空集合空集合。若一集合中空無一物（沒有元素），則稱此為＊表示法： { } or  • * { }  { 0 }  { } • { 0 }：以0為元素所成的集合。 • { }：以  為元素所成的集合。 eg. 設A= { 1,2,3 }，則A的部分集合有 23 = 8  {1} {2} {3} { 1,2 } { 2,3 } { 1,3 } { 1,2,3 }

C {所有的自然數（正整數）}={1,2,3…} {所有的整數}= {…-3,-2,-1,0,1,2,3…} {所有的實數}= {實數線上的數} 四、集合的性質 B ＊遞移律：若A B且B C，則A  C。＊特定集合： N = Z = Q = R = A {所有的有理數}= { x | x=m/n , m,n  N, n0 }

四、集合的性質 ＊實數的子集 閉區間：[ a , b ] = { a  x  b, x R} 開區間：( a , b ) = { a＜x＜b, xR } 半開區間： *左閉半開： *左開右閉： [ a , b ) = { a  x ＜ b, x R} ( a , b ] = { a ＜ x  b, x R}

A∩B ={ x | x A且 x B } A B 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • （1）交集（） ∩ • 由二集合A,B的共同元素所組成的集合，稱A與B的交集。 A∩B ={ 2,3 }

AUB ={ x | x A 或 x B } A B 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • （2）聯集（ U） • 由二集合A, B的所有元素所組成的集合，稱A與B的聯集。 AUB = {1,2,3,4,5}

A A B B 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • ＊交集與聯集的性質 • 反身律：A∩ A = A = A UA • 交換律：A∩ B = B ∩ A , A UB = B UA • 結合律：(A∩ B) ∩ C = A ∩ (B∩ C) = A ∩ B∩ C • ( A U B)UC = A U( B U C) = A UB U C • 分配律：A ∩ (B U C) = (A∩ B) U (A∩ C) • A U(B∩ C) = (A U B) ∩(A U C) •  A ∩ B = A UB  A=B

五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • （3）差集 { x | x A 但 xB } • 設A,B為二集合，則A-B= • B-A= { x | x B 但 xA } 圖示法： B B A A • eg. A={ 1,2,3,4 } , B = { 2,4,6,8 } • A-B = B-A= { 1,3 } { 6,8 }

U A’ A’ ={ x | x U 但 x A} A 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • （4）宇集（ U, W ） • 所有欲討論的範圍內最大的集合，稱為宇集。 • 一般以" U "or " W "表示。 • （5）補集（餘集）（ A’ , AC , ） • 設U為宇集，A U，定義：A的補集A’=U-A • A’也可以AC, 表示。

U A’ A U A’ B’ A B 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • ＊宇集與補集的性質 •  A∩ A/ =  /= U • A UA/ = U U/=  • （A/）/ = A •  A , B U A B  A/ B/ • 笛摩根定理 • (A∩ B) / = A/ U B/ • (A U B) / = A/∩ B/

= 六、應用-排容原理＊以｜S｜or n(S)表示集合S的元素個數。（1）｜A UB｜＝｜A｜＋｜B｜－｜A∩B｜｜A｜＋｜B｜｜A∩B｜

A A B B C C 六、應用-排容原理（2）｜A UB U C｜＝｜A｜＋｜B｜＋｜C｜－｜A∩B｜－｜B∩C｜－｜C∩A｜ +｜A∩ B∩C｜ = - - - + ｜A∩B｜｜A∩C｜｜B∩C｜｜A∩ B∩C｜｜A｜ +｜B｜ +｜C｜

七、基本測驗 集合的元素集合的表示法集合的運算補集合＠http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/

A B C A B C A B C A B C A B C 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • ＊交集與聯集的性質 • 結合律：(A∩ B) ∩ C = A ∩ (B∩ C) = A ∩ B∩ C

A B C A B C A B C A B C A B C 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • ＊交集與聯集的性質 • 結合律： • ( A U B)UC = A U( B U C) = A UB U C

A B C A B C A B C A B C A B C 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • ＊交集與聯集的性質 • 分配律：A U(B∩ C) = (A U B) ∩(A U C)

A B C A B C A B C A B C A B C 五、交集、聯集、差集、宇集、補集 • ＊交集與聯集的性質 • 分配律：A ∩ (B U C) = (A∩ B) U (A∩ C)

集合的基本概念