第 2 章谓词逻辑

第2章 谓词逻辑

2.1 基本概念 2.2 谓词公式与翻译 2.3 自由变元和约束变元 2.4 谓词公式的解释与分类 2.5 谓词演算的等价式与蕴涵式 2.6 谓词演算中的公式范式 2.7 谓词演算的推理理论

2.1基本概念 著名的苏格拉底三段论推理：所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 2.1.1个体、谓词、命题的谓词形式 2.1.2量词

2.1.1 个体、谓词和命题的谓词形式 定义2.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体；用以刻画个体的性质或个体间关系的词称为谓词。注：个体可以是具体的事物，也可是抽象的概念。如张三、北京、计算机、大学生、精神等。 • 例1 (1)张三是大学生； (2)3大于5。个体：谓词： “张三”、“3”、“5” “…是大学生”（刻画个体“张三”的性质） “…大于…”（刻画个体“3”和“5”间关系）

有了个体和谓词的概念之后，可以进一步刻画命题的内在结构和命题之间的关系。有了个体和谓词的概念之后，可以进一步刻画命题的内在结构和命题之间的关系。 “张三是大学生”和“李四是大学生”之间的关系是无法表达的，现在可用谓词“…是大学生”及个体“张三”、“李四”刻画。例如 “张三和李四是表兄弟”，谓词“…和…是表兄弟”及个体“张三”、“李四”刻画。命题变元是真值不确定的陈述句，反映在上述结构中，就是由个体或谓词不确定来体现。

定义2.2 表示具体或特定个体的词称为个体常元，用小写字母a、b等表示。表示抽象或泛指个体的词称为个体变元，用x、y等表示。定义2.3 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常元，表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变元。谓词常元或谓词变元都用大写字母F、G等表示。例2(1)x是大学生； (2)3与5具有关系F。 x是个体变元 F是谓词变元

定义2.4 一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有序个体常元(如a1，a2，…，an)表示成P(a1，a2，…，an)，称为该原子命题的谓词形式。若x1、x2、…、xn为个体变元，称P(x1，x2，…，xn)为n元谓词或n元命题函数。一元谓词表达了个体的性质，而n元谓词表达了n个个体之间的关系。 n元谓词不是命题。只有当个体变元用特定的个体替代时，才成为一个命题。但个体变元的取值范围，对命题的真值极有影响。 F(x)表示x是大学生例如：

当取值范围限定为某大学的全体学生时，F(x)是真的，但当取值范围限定为某中学的所有学生时，则F(x)是假的。因此，在谓词逻辑中，我们要指定个体的取值范围。当取值范围限定为某大学的全体学生时，F(x)是真的，但当取值范围限定为某中学的所有学生时，则F(x)是假的。因此，在谓词逻辑中，我们要指定个体的取值范围。定义2.5 个体的取值范围称为个体域或论域；所有个体的取值范围称为全总个体域。注意：如果没有特别说明，个体的取值范围为全总个体域。

(4)F(a)G(b)，其中，F(x)：x出去，G(x)：x进来，a：你，b：我。(4)F(a)G(b)，其中，F(x)：x出去，G(x)：x进来，a：你，b：我。 (1)S(a)∧S(b)，其中S(x)：x是三好学生，a：张三，b：李四。 (2)Q(a)∨R(a)，其中，Q(x)：x是象棋迷，R(x)：x是围棋迷，a：赵斌。 (3)T(a,b)，其中，T(x,y)：x比y高，a：李林，b：张强。例3 将下列命题符号化： (1)张三和李四都是三好学生。 (2)赵斌是象棋迷或围棋迷。 (3)李林比张强高。 (4)如果你不出去，我就不进来。有了个体和谓词的概念之后，对有些命题仍然不能准确的符号化，如“所有人都是要死的”。原因是还缺少表示个体数量关系的词。下面我们再引入量词的概念。

2.1.2 量词 定义2.6 符号x表示“所有的x”、“每一个x”和“任意一个x”等词语，称x为全称量词；符号x表示“对某一个x”、“至少存在某个x”和“存在某个x”等词语，称x为存在量词。以上的x称为指导变元。全称量词和存在量词统称为量词。注：用个体、谓词和量词将命题符号化，可以刻画命题的内在结构以及命题之间的关系。

例4 用谓词和量词将下列命题符号化： (1)所有的人都是要死的。 (2)每个自然数都是实数。 (3)一些大学生有远大的理想。 (4)有的学生选修了人工智能课。 (3) (x)(P(x)∧Q(x))其中，P(x):x是大学生，Q(x):x有远大理想。 (4) (x)(F(x)∧T(x))其中，F(x):x是学生，T(x):x选修了人工智能课。 (2) (x)(N(x)R(x))其中，N(x):x是自然数，R(x):x是实数。 (1)(x)(S(x)L(x))其中，S(x):x是人，L(x):x是要死的。上述句子中，都没有指明个体的取值范围，因而都指全总个体域。但当个体域为一个特定的范围时，其符号形式将会有所不同。

例如: 在(1)中将个体域指定为所有人的集合，则(1)符号化为xL(x) 在(2)中将个体域指定为实数集时，则(2)符号化为xR(x)。我们把像上面例题中的S(x)、N(x)、P(x)、F(x)这种对个体变元变化范围进行限制的谓词称为特性谓词。在命题符号化时，一定要正确的使用特性谓词。

最后，还需要指出四点： (1)在不同的个体域内，同一命题的符号化形式可能不同，也可能相同。 (2)同一命题，在不同的个体域中的真值可能不同，也可能相同。 (3)全称量词后跟的是条件式，存在量词后跟的是合取式。 (4)P(x)不是命题，但前面加上量词后，xP(x)和xP(x)在给定论域内就有了真假，也就成了命题。

2.2 谓词公式与翻译 2.2.1谓词公式 2.2.2 谓词逻辑的翻译

2.2.1 谓词公式 n元谓词P(x1，x2，…，xn)称为谓词演算的原子公式，其中x1，x2，…，xn是个体变元。定义2.7 谓词公式的定义如下： (1)原子公式是谓词公式； (2)A和B是谓词公式，则A、A∧B、A∨B、AB和AB是谓词公式； (3)A是谓词公式，x是个体变元，则(x)A和(x)A都是谓词公式； (4)有限次使用(1)、(2)和(3)规则形成的有意义的符号串都是谓词公式。谓词公式也称为合式公式。

谓词公式中的某些括号也可以省略，其规定与命题公式相同，但量词后若有括号则不能省略。特别地，命题公式也是谓词公式，因此命题逻辑包含在谓词逻辑中。谓词公式中的某些括号也可以省略，其规定与命题公式相同，但量词后若有括号则不能省略。特别地，命题公式也是谓词公式，因此命题逻辑包含在谓词逻辑中。

2.2.2谓词逻辑的翻译 把一个文字叙述的命题，用谓词公式表示出来，称为谓词逻辑的翻译或符号化。例1用谓词和量词将下列命题符号化： (1)每一个有理数都是实数。 (2)尽管有些人聪明，但并不是所有的人都聪明。 (3)没有最大的自然数。 (4)今天有雨雪，有些人会跌跤。 (3) x(N(x)y(N(y)∧G(y，x)))，其中，N(x)：x是自然数，G(x，y)：x大于y。 (1)x(H(x)M(x))其中，H(x):x是有理数，M(x):x是实数。 (2) x(P(x)∧Q(x))∧(x(P(x)Q(x)))，其中，P(x)：x是人，Q(x)：x聪明。 (4) R∧Sx(M(x)∧F(x))，其中，R：今天有雨，S：今天有雪，M(x)：x是人，F(x)：x跌跤。

2.3由变元和约束变元 定义2.8 在一个谓词公式中，形如xA(x)或xA(x)的部分称为公式的x约束部分，A(x)称为量词x或x的辖域或作用域，x称为指导变元或作用变元。x在公式的x约束部分的任一出现都称为x的约束出现，x称为约束变元，若x的出现不是约束出现，称x为自由出现，x称为自由变元。注：判断量词的辖域要看其后是否跟的是括号，如是括号，则括号内的子公式为其辖域，否则量词邻接的子公式是其辖域。

例1指出下列谓词公式中量词的辖域及变元的约束情况： (1)x(P(x)yQ(x，y))。 (2)xy(P(x，y)∨Q(y，z))∧xR(x，y)。 (3)(x)(P(x)∧xQ(x，z)yR(x，y))∨Q(x，y)。 (1) x的辖域是(P(x)yQ(x，y))，y的辖域是Q(x，y)。x、y都是约束变元。 (3) x的辖域是P(x)∧xQ(x，z)yR(x，y)，x的辖域是Q(x，z)，y的辖域是R(x，y)，x和y都是约束变元，z是自由变元，但Q(x，z)中的x是受x的约束，而不是受x的约束。Q(x，y)中的x和y都是自由变元。 (2) x的辖域是y(P(x，y)∨Q(y，z))，y的辖域是P(x，y)∨Q(y，z)，x和y为约束变元，z为自由变元。x的辖域是R(x，y)，x为约束变元，y为自由变元。在整个公式中，x是约束出现，y既是约束出现也是自由出现，z是自由出现。定义2.9 任一谓词公式A，若A中无自由出现的个体变元，称A是封闭的谓词公式，简称闭式。

例2x(P(x)Q(x))和xy(P(x)∨Q(x，y))都是闭式，但x(P(x)Q(x， y))不是闭式。在谓词公式中，自由变元虽然可以出现在量词的辖域中，但它不受相应量词中指导变元的约束，因而可把自由变元看作公式的参数。另一方面，在谓词公式中，一个个体变元可以既是约束变元，也是自由变元。为了避免一个变元既是约束变元又是自由变元引起的混乱，可以对约束变元或自由变元进行改名，使得一个变元在一个公式中只呈现一种形式。

换名规则: 将量词辖域中某个约束出现的个体变元及相应指导变元，改成本辖域中未曾出现过的个体变元，其余不变。代入规则: 对某个自由出现的个体变元用与原公式中和所有个体变元不同的个体变元代入，且处处代入。注：换名规则用于约束变元，代入规则用于自由变元。例3将(x)(P(x)Q(x，y))∧R(x，y)中的约束变元改名。可改名为(z)(P(z)Q(z，y))∧R(x，y)，但不能改名为(y)(P(y)Q(y，y))∧R(x，y)或(z)(P(z)Q(x， y))∧R(x，y)。因为后两种更改都将使公式中量词的约束范围有所变动。解

例4将(x)(P(x)∧xQ(x，z)yR(x，y))∨Q(x，y)中的约束变元改名。例4将(x)(P(x)∧xQ(x，z)yR(x，y))∨Q(x，y)中的约束变元改名。解可改名为(u)(P(u)∧vQ(v，z)wR(u，w))∨Q(x，y)，但不能改名为(z)(P(z)∧xQ(x，z)yR(z，y))∨Q(x，y)或(x)(P(x)∧zQ(z，z)yR(x，y))∨Q(x，y)，因为后两种更改都将使公式中量词的约束范围有所变动。例5将(x)(P(x)Q(x，y))∧R(x，y)中的自由变元改名。对自由变元x施行代入，经代入后公式为：(x)(P(x)Q(x，y))∧R(z，y)，但不能是(x)(P(x)Q(x，y))∧R(y，y)，因为后一种代入与代入规则不符。解

2.4谓词公式的解释与分类 2.4.1谓词公式的解释 2.4.2谓词公式的分类

2.4.1谓词公式的解释 定义2.10 谓词公式的一个解释I(或赋值)由四部分组成： ①非空个体域D；②D中一些特定的元素；③D上一些特定的函数；④D上一些特定的谓词。例1给定解释I如下： (1)个体域为自然数集N。 (2)N中特定的元素a＝0。 (3)N上特定的函数f(x，y)＝x＋y，g(x，y)＝xy。 (4)N中特定的谓词F(x，y)为x＝y。

在解释I下，求下列公式的真值： (1)xF(g(x，a)，x)。 (2)xy(F(f(x，a)，y)F(f(y，a)x))。 (3)xyzF(f(x，y)，z)。 (4)xyF(f(x，y)，g(x，y))。 (5)F(f(x，y)，f(y，z))。解 (2)xy(F(f(x，a)，y)F(f(y，a)，x))xy((f(x，a)＝y)(f(y，a)＝x))xy((a＋x＝y)(a＋y＝x))xy((x＝y)(y＝x))T。 (1)xF(g(x，a)，x)xF(ax，x)x(ax=x)x(x0)F。 (3)xyzF(f(x，y)，z)xyz((f(x，y)＝z)xyz(x＋y＝z)T。 (4)xyF(f(x，y)，g(x，y))xy(f(x，y)＝g(x，y))xy(x＋y＝xy)F。 (5)F(f(x，y)，f(y，z)x＋y＝y＋zx＝z。由于(5)的真值不确定，因而，它不是命题。

2.4.2谓词公式的分类 定义2.11 设A是一谓词公式，如A在任何解释下都是真的，称A为永真式或逻辑有效式；如A在任何解释下都是假的，称A为矛盾式；若至少存在一个解释使A为真，称A是可满足式。由于谓词公式的复杂性和解释的多样性，真值表方法已无法使用，目前还没有判断谓词公式类型的一种统一可行的方法，只能对一些特殊的谓词公式进行判断。

定义2.12 A0是含命题变元p1、p2、…、pn的命题公式，A1、A2、…、An是n个谓词公式，用Ai处处代换pi，所得公式A称为A0的代换实例。定理2.1 (1)命题公式中永真式的代换实例在谓词公式中仍为永真式(或逻辑有效式)。 (2)命题公式中矛盾式的代换实例在谓词公式中仍为矛盾式。

例2 判断下列公式的类型(永真式、矛盾式、可满足式)： (1)xF(x)xF(x)。 (2)xF(x)(xyG(x，y)xF(x))。 (3)(F(x，y)R(x，y))∧R(x，y)。 (4)xyF(x，y)xyF(x，y)。解 (2)因为P(QP)P∨(Q∨P)(P∨P)∨QT，而xF(x)(xyG(x，y)xF(x))是P(QP)的代换实例，所以xF(x)(xyG(x，y)xF(x))为永真式。 (4)取解释I1为：个体域为自然数集合N；F(x，y)为x＝y。则：xyF(x，y)xyF(x，y)xy(x＝y)xy(x＝y)F 取解释I2为：个体域为自然数集合N；F(x，y)为x≤y。则： xyF(x，y)xyF(x，y)xy(x≤y)xy(x≤y)T 所以，xyF(x，y)xyF(x，y)为可满足式。 (3)因为(PQ)∧Q(P∨Q)∧QP∧Q∧QF，而(F(x，y)R(x，y))∧R(x，y)是(PQ)∧Q的代换实例，所以(F(x，y)R(x，y))∧R(x，y)为矛盾式。 (1)设I为任意解释。如果xF(x)在I下为真，则对于任意一个个体a都有F(a)为真，于是xF(x)为真，所以xF(x)xF(x)为真。如果xF(x)在I下为假，则xF(x)xF(x)为真。故xF(x)xF(x)为永真式。

2.5谓词演算的等价式与蕴涵式 2.5.1等价式 2.5.2蕴涵式

2.5.1等价式 定义2.13 设A和B是谓词公式，若AB为逻辑有效式，则称A和B是等价的，记为AB。下面给出一些常见的基本谓词公式等价式。若个体域为{a1，a2，…，an}，则有下式成立： (1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)； (2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)。

例1求下列各式的真值： (1)x(P(x)∨Q(x))，其中P(x)：x＝1，Q(x)：x＝2，个体域{1，2}。 (2)x(PQ(x))∨R(a)，P：3＞－2，Q(x)：x≤3，R(x)：x＞5，a：3，个体域{－2，3，5，6}。 (3)x(P(x)Q(x))∧T，P(x)：x＞1，Q(x)：x＝1，T任意永真式，个体域{1}。 (4)xy(x＋y＝4)，个体域为{1，2}。解 (2)x(PQ(x))∨R(a)((PQ(－2))∧(PQ(3))∧(PQ(5))∧ (PQ(6)))∨R(a)(T∧T∧F∧F)∨FF。 (1)x(P(x)∨Q(x))(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))(T∨F)∧(F∨T)T。 (4)xy(x＋y＝4)x((x＋1＝4)∨(x＋2＝4)) ((1＋1＝4)∨(1＋2＝4))∧((2＋1＝4)∨(2＋2＝4))F。 (3)x(P(x)Q(x))∧Tx(P(x)Q(x))P(1)Q(1)T。

定理2.2 量词否定的等价式。设A(x)是一个含个体变元x的谓词公式，则下列等价式成立： (1)(xA(x))x(A(x))。 (2)(xA(x))x(A(x)) 证明 (1)(xA(x))为真xA(x)为假a使A(a)为假a使A(a)为真x(A(x))为真，故(xA(x))x(A(x))。 (2)x(A(x))为假a使A(a)为假a使A(a)为真xA(x)为真(xA(x))为假，故(xA(x))x(A(x))。定理2.3 量词辖域收缩和扩张的等价式。设A(x)是一个含个体变元x的谓词公式，B是一个不含个体变元x的谓词公式，则下列等价式成立：

(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨B (2)x(A(x)∧B)xA(x)∧B (3)x(A(x)B)xA(x)B (4)x(BA(x))BxA(x) (5)x(A(x)∨B)xA(x)∨B (6)x(A(x)∧B)xA(x)∧B (7)x(A(x)B)xA(x)B (8)x(BA(x))BxA(x) 证明 (3)x(A(x)B) x(A(x)∨B) x(A(x))∨B xA(x)B x(A(x))∨B (xA(x))∨B

定理2.4 量词分配的等价式。设A(x)和B(x)都是含个体变元x的谓词公式，则下列等价式成立： (1)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)。 (2)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)。证明 (1)设I为任意解释如果x(A(x)∧B(x))在I下为真，则对于任意一个个体a都有A(a)与B(a)为真，于是xA(x)与xB(x)都为真，从而xA(x)∧xB(x)为真，因此x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)。

反之，如果xA(x)∧xB(x)在I下为真，则xA(x)与xB(x)都为真，于是对于任意一个个体a都有A(a)∧B(a)为真，所以x(A(x)∧B(x))为真，因此xA(x)∧xB(x)x(A(x)∧B(x))。反之，如果xA(x)∧xB(x)在I下为真，则xA(x)与xB(x)都为真，于是对于任意一个个体a都有A(a)∧B(a)为真，所以x(A(x)∧B(x))为真，因此xA(x)∧xB(x)x(A(x)∧B(x))。故x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)。定理2.5 设A(x，y)是含个体变元x和y的谓词公式，则下列等价式成立： (1)(x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y)； (2)(x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y)。

下面通过例子来说明定理2.5也是成立的。 例如，设A(x，y)表示x和y同姓，论域x是甲村的人，论域y是乙村的人。 (x)(y)A(x，y)：甲村与乙村所有的人都同姓。 (y)(x)A(x，y)：乙村与甲村所有的人都同姓。故(x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y)。 (x)(y)A(x，y)：甲村与乙村有人同姓。乙村与甲村有人同姓。 (y)(x)A(x，y)：故(x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y)。

例2证明x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)。 x(A(x)B(x)) x(A(x)∨B(x)) 证明 xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)xB(x)。

2.5.2蕴含式 定义2.14 设A和B是两个谓词公式，若AB为逻辑有效式，则称A蕴涵B，记为AB，称AB为蕴涵式。定理2.6 设A(x)和B(x)都是含个体变元x的谓词公式，则下列蕴含式成立： (1)xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x)) (2)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x) (3)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) (4)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)

证明 (1)若x(A(x)∨B(x))为假，则存在个体a使A(a)∨B(a)为假，于是A(a)和B(a)皆为假，xA(x)和xB(x)为假，从而xA(x)∨xB(x)假，所以xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))。 (3)因为x(A(x)B(x))∧xA(x) x((A(x)∨B(x))∧A(x)) x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x)xB(x) 所以x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)。

例3证明xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) 证明 xA(x)xB(x) xA(x)∨xB(x) xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x)) x(A(x)B(x)) 定理2.7 设A(x，y)都是含个体变元x和y的谓词公式，则下列蕴含式成立： (1)(x)(y)A(x，y)xA(x，x) (2)xA(x，x)(x)(y)A(x，y)

(3)(x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y) (4)(x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y) (5)(x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y) 证明 (1)设I为任意解释。如果xA(x，x)在I下为假，则存在一个个体a使得A(a，a)为假，于是(y)A(a，y)为假，从而(x)(y)A(x，y)为假，因此(x)(y)A(x，y)xA(x，x)。需要说明的是：定理2.7的逆不一定成立。下面以例子对(5)进行说明。

例如，设A(x，y)表示x和y同姓，论域x是甲村的人，论域y是乙村的人。例如，设A(x，y)表示x和y同姓，论域x是甲村的人，论域y是乙村的人。 (x)(y)A(x，y)：表示对于甲村的所有人，乙村都有人与他同姓。 (y)(x)A(x，y)：表示乙村与甲村有人同姓。显然(x)(y)A(x，y)(y)(x)A(x，y)成立，而其逆不成立。

例4 下列断言是否为真，为什么？ (1)xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x))。 (2)x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)。 (1)、(2)不成立。解 (1)设个体域为{1，2}，令P(x)：x＝1，Q(x)：x＝2 T xP(x)xQ(x) (P(1)∧P(2))(Q(1)∧Q(2)) F (P(1)Q(1))∧(P(2)Q(2)) x(P(x)Q(x)) 所以，该断言假。

(2)设个体域为{1，2}，令P(x)：x＝2，Q(x)：x＝2 x(P(x)Q(x)) (P(1)Q(1))∧(P(2)Q(2)) T xP(x)xQ(x) (P(1)∨P(2))(Q(1)∧Q(2)) F 所以，该断言假。

2.6谓词演算中的公式范式 2.6.1前束范式 2.6.2斯柯林范式

2.6.1前束范式 定义2.15 设A是谓词公式，如A具有形式(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)B，其中Qi为或，B为不含量词的公式，则称A为前束范式。例如，x(A(x)B(x))为前束范式，而xA(x)xB(x)不是前束范式。定义2.16 设A是具有形式为(Q1x1)(Q2x2)…(Qkxk)B的前束范式，若B为合取范式，则称A为前束合取范式，若B为析取范式，则称A为前束析取范式。定理2.8 任何谓词公式的前束范式都存在。

求一个谓词公式的前束范式的过程: (1)消去除、∧、∨以外的联结词； (2)消去； (3)使移至量词之后； (4)公式中所有变元均用不同的符号，要用到换名规则和代入规则； (5)扩大量词的辖域至整个公式之末。

例1求下列公式的前束范式： (1)xF(x)∧xG(x)。 (2)xF(x)yG(x，y)。 (3)xF(x)xG(x)。 (4)xF(x)xG(x)。 (5)(xP(x)∨yQ(y))xR(x)。解 (3)xF(x)xG(x)xF(x)∨xG(x)x(F(x)∨G(x))。 (5)(xP(x)∨yQ(y))xR(x)xy(P(x)∨Q(y))zR(z) xyz(P(x)∨Q(y)R(z))。 (1)xF(x)∧xG(x)xF(x)∧yG(y)xy(F(x)∧G(y))。 (4)xF(x)xG(x)xF(x)∨xG(x)xy(F(x)∨G(y))。 (2)xF(x)yG(x，y)xF(x)yG(z，y) x(F(x)yG(z，y))xy(F(x)G(z，y))。

在进行等值演算时，由于量词前移的顺序不同，因而可得到不同的前束范式。因此，给定公式的前束范式是不惟一的。例如，xy(F(x)∧G(y))和yx(F(x)∧G(y))都是xF(x)∧xG(x)的前束范式。在进行等值演算时，由于量词前移的顺序不同，因而可得到不同的前束范式。因此，给定公式的前束范式是不惟一的。例如，xy(F(x)∧G(y))和yx(F(x)∧G(y))都是xF(x)∧xG(x)的前束范式。另外还要注意，一个公式的各指导变元应是各不相同的，原公式中自由出现的个体变元在前束范式中仍然是自由出现的。

2.6.2 斯柯林范式 定义2.17 若B是A的前束范式且每个存在量词均在全称量词之前，则称B是A的斯柯林范式。例2求x((P(x)∨yQ(y，z))zR(y，z))的斯柯林范式。解 x((P(x)∨yQ(y，z))zR(y，z)) (x)((P(x)∧yQ(y，z))∨(z)R(y， z)) (x)((P(x)∧uQ(u，z))∨(v)R(y，v)) uvx((P(x)∧Q(u，z))∨R(y，v))。

第 2 章谓词逻辑