Análise Fatorial

1. Análise Fatorial Factor analysis

2. Análise Fatorial Objetivo: Estudar a estrutura de dependência existente em um conjunto de variáveis através da criação de fatores que, eventualmente, expressam constructos subjacentes aos dados. Spearman (1904) - medida de inteligência

3. Análise Fatorial Situação comum: observar grande número de variáveis • Como caracterizar a amostra • Como descrever a inter-relação entre as variáveis

4. Constructos Definir o que e como medir • nível de ansiedade • satisfação • bem-estar • percepção

5. Exemplo: Escala IDATE-T

6. Matriz de Correlação

7. Modelo de Análise Fatorial Variáveis originais X1 X2  Xp Fatores comuns 1 2  m AF m < p

8. Modelo de Análise Fatorial 1, …, m: fatores comuns 1, …, p: fatores únicos ou específicos

9. Modelo de Análise Fatorial Modelo na forma matricial: X -  = +  X = (X1, X2, …, Xp)T, = (1, 2, …, m)T,  = (1, 2, …, p)T

10. Modelo esquematizado e1 X1 1 e2 X2 2 m ep Xp

11. Características impostas ao modelo • Os fatores únicos são não correlacionados. • Os fatores comuns e únicos são não correlacionados entre si. • Os fatores comuns são não correlacionados (esta suposição pode ser abandonada em alguns tipos de AF). • As variâncias dos fatores comuns são iguais a 1.

12. Análise do modelo Ci2 = comunalidade ou variância comum i = especificidade

13. Análise do modelo Ci2 = comunalidade ou variância comum: expressa o quanto da variabiliade de Xi é explicada pelo modelo (se Var (Xi)=1 pode ser encarada como uma proporção) i = especificidade: expressa o quanto da variabilidade de Xi não é explicada pelo modelo. Um bom modelo deve apresentar uma comunalidade alta para todas as variáveis

14. Alguns métodos de estimação • Máxima verossimilhança: supõe que os dados seguem uma distribuição normal multivariada. • Método da componente principal: baseia-se na análise de componentes principais.

15. Método da componente principal Modelo: X = + e Decomposição espectral de : ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

16. Método da componente principal

17. Métododamáximaverossimilhança Suposição:distribuição normal Estimação dos parâmetros  = T+  Restrição: T-1: diagonal

18. Resultado importante  = T+  = T  T +  = (T)(T)T +  = T TT T+  = T+  = 

19. Rotação VARIMAX Há infinitas matrizes que resultam na mesma matriz T. Essas matrizes podem ser obtidas através da rotação de uma solução inicial (por exemplo, oriunda do método das componentes principais). Problema: Como escolher uma boa solução?

20. Rotação - Interpretação geométrica 2 Exemplo: Solução com dois fatores 1e 2definem um plano 1* e 2* , obtidos através de uma rotação ortogonal dos eixos, definem o mesmo plano. Logo representam uma solução equivalente. 2* 1* 1

21. Quantos fatores usar? • Critério de Kaiser • Porcentagem da variância total explicada • Atingir comunalidade fixada • Critério scree-test • Métodos inferenciais

22. Autovalores Componentes

23. Exemplo

24. Autovalores

25. Comunalidades 2 fatores

26. Cargas Fatoriais

27. Gráfico das Cargas Fatoriais 2 1

28. Rotação 2 1

29. Cargas Fatoriais Rotacionadas

30. Cargas Fatoriais Rotacionadas

31. Interpretação • Fator 1: Satisfação pessoal • Fator 2: Dificuldade em lidar com problemas

32. EscoresFatoriais • Métodos dos mínimosquadradosponderados xi -  = i+ i Minimizar: (xi -  - i)T-1 (xi -  - i) EMQ(fi) = (T-1)-1T-1 (xi - )

33. Escores Fatoriais • Métodosdaregressão e  : distribuição normal ER(i) = T (T + )-1 (xi - )

34. Viabilidade da AFmatriz anti-imagem Coeficiente de correlação parcial entre os pares, excluindo-se o efeito das demais variáveis. Esperam-se valores baixos.

35. Viabilidade da AF Coeficiente KMO: Kaiser-Meyer-Olkin a2ij é a correlação parcial entre Xi e Xj, eliminado o efeito das demais variáveis

36. Interpretação da KMOEscala IDATE: 0,841

37. Viabilidade da AF MSA: Measure of sampling adequacy a2ij é a correlação parcial entre Xi e Xj, eliminado o efeito das demais variáveis

38. Interpretação da MSA Para o exemplo IDATE

39. Avaliação do ajuste do modelo resumo: raiz do quadrado médio residual

40. Exemplo IDATERQMR = 0.106

41. 1 1 X1 X1 10 10 X10 X10 1 1 13 13 X13 X13 16 16 X16 X16 9 9 X9 X9 11 11 X11 X11 2 2 17 17 X17 X17 18 18 X18 X18

42. Comentários Sucesso • Número pequeno de fatores • fatores interpretáveis Insucesso • Tamanho insuficiente da amostra • variáveis com fraca dependência • estrutura não homogênea (grupos)