Cap. 3 Functia de transfer Laplace

1. Cap. 1 Sisteme si semnale Cap. 2 Functia de transfer Fourier Cap. 4 Raspunsul la semnal treapta. Sisteme de ordinul 1 Cap. 5 Sisteme de ordin superior Cap. 6 Reactia negativa Cap. 7 Amplificatoare operationale Cap. 8 Aplicatii liniare ale AO • Imaginea Laplace a semnalelor Cap. 3 Functia de transfer Laplace • Functia de transfer Laplace • Calculul raspunsului

2. Numai semnale cauzale ! In acord cu modul în care se efectuează un experiment. Raspunsul stationarizat – trecerea la limita cu

3. Transformarea Laplace unilaterala Variabila s este complexa. Aceeasi dimensiune ca w - frecventa circulara

4. Imaginea Laplace este analitica in dreapta unei abscise de convergenta. Singularitatile (in stinga acestei abscise) nu sunt esentiale ci sunt de tip pol Polii sunt situati toti in dreapta abscisei de convergenta

5. Daca x(t) este cauzal si X(s) are toti polii in semiplanul sting (axa imaginara face partedin domeniul de convergenta atunci Imaginea Fourier se obtine din imaginea Laplace (valorile de pe axa imaginara

6. Im s 0 Im s 0 Re s Exemple Re s H(w) exista numai in sensul distributiilor (contine doua functii d)

7. Proprietati ale transformatei Laplace

8. Imagini Laplace Observatie: imaginile Laplace sunt rapoarte de polinoame.

9. h(t) y(t) x(t) Sistem liniar x(t) este cauzal y(t) este cauzal h(t) este cauzal (altfel sistemul nu ar fi realizabil) X(s), H(s), Y(s)

10. Functia de transfer Laplace Calculul ei direct din ecuatiile diferentiale

11. Calculul ei direct din topologia circuitului Impedante complexe pentru inductor pentru condensator Impedanta vazuta la intrare

12. Pentru sisteme liniare cu constante concentrate funcţia de transfer este un raport de polinoame cu coeficienţi reali. zerouri Un polinom de ordin n are n radacini. poli K este real Coeficientii sunt reali Polii si zerourile sunt fie reale, fie perechi complex conjugate

13. Im s 0 Re s Im s 0 Re s Pina la o constanta multiplicativa reala, functia de transfer este unic determinata de harta poli-zerouri

14. h(t) y(t) x(t) Sistem liniar Transformare Laplace directa x(t) X(s) Y(s)=X(s)H(s) x(t) Transformare Laplace inversa Y(s) o integrală efectuată pe un anumit drum în planul complex

15. Semnale de test Imaginile sunt rapoarte de polinoame H(s) este un raport de polinoame Y(s)=X(s)H(s) Y(s) este un raport de polinoame Poate fi scris ca suma de fractii simple (teorema dezvoltarii) Fiecare termen este inversat Laplace separat si rezultatele sunt adunate.

16. grad A grad B Teorema dezvoltarii

18. Pol real simplu Un singur termen simulare

19. Pereche de poli complex conjugati Doi poli simpli diferiti dar complex conjugati Doi termeni diferiti in x(t) Termenii sunt complex conjugati, e util sa-i adunam intre ei Un singur termen real (de doua ori mai mare decit partea reala)

20. simulare

21. Pol real dublu (doi poli reali identici) doi termeni Pol real triplu (trei poli reali identici) trei termeni

23. Pentru ca toti termenii din y(t) sa se stinga in timp este necesar ca toti polii lui Y(s) sa fie in semiplanul sting Polii lui Y se obtin prin reuniunea polilor semnalului cu cei ai functiei de transfer Y(s)=X(s)H(s) Toti polii semnalului sa fie in semiplanul sting Toti polii lui H(s) sa fie in semiplanul sting Daca H(s) are toti polii in semiplanul sting, toti termenii lor se sting in timp. Daca semnalul de intrare este marginit si semnalul de iesire este marginit. Sistemul este stabil. Daca H(s) are cel putin un pol in semiplanul drept, termenul sau creste nemarginit. Iesirea creste nemarginit pentru orice semnal de intrare. Sistemul este instabil.

24. Im s stabilitate instabilitate Re s 0 instabilitate stabilitate

25. Sistem la limita stabilitatii H(s) are poli simpli pe axa imaginara Daca semnalul de intrare nu are poli care sa coincida cu acestia polii lui H(s) de pe axa imaginara produc • functii treapta daca sunt reali • oscilatii de amplitudine constanta daca sunt complecsi Intrare marginita, iesire marginita

26. Sistem la limita stabilitatii (continuare) H(s) are poli simpli pe axa imaginara Semnalul de intrare are poli care sa coincida cu acestia, Y(s) are poli dubli pe axa imaginara Pol dublu in origine (integrator excitat cu semnal treapta) Pereche dubla pe axa imaginara (oscilator la limita stabilitatii excitat cu sinus la rezonanta) Intrare marginita, iesire nemarginita

27. Efectul zerourilor Pozitia zerourilor nu afecteaza tipul termenilor Pozitia zerourilor afecteaza coeficientii termenilor Modificind pozitia zerourilor, unii termeni devin mai mari si altii mai mici. Semnul unui termen se poate modifica (termenul se inverseaza)

29. Limitari in utilizarea functiei de transfer Sistemul trebuie să fie liniar Sistemul trebuie să fie invariant în timp Sistemul trebuie să fie inert Sistemul trebuie să fie cu parametri concentraţi (fac excepţie numai sisiemele cu parametri distribuiţi a căror comportare este o întîrziere pură) Semnalul de intrare trebuie să aibă o imagine Laplace care să fie un raport de polinoame (o sumă de termeni de tipul celor din teorema dezvoltării). Altfel, procesarea sa se reprezintă mai comod prin convoluţia în domeniul timp Sistemul trebuie să fie de o complexitate rezonabilă (un număr de poli mai mic decît şase)