FI I– 9 I ndukčnost. Energie magnetického pole. Střídavé proudy.

1. FII–9 Indukčnost. Energie magnetického pole. Střídavé proudy.

2. Hlavní body • Přenos energie. • Překonávání momentu síly a elektromotorického napětí, • Foucaultovy proudy. • Vlastní indukčnost. • Střídavé proudy. Střední hodnoty • Popis obvodů RLC pomocí komplexního aparátu.

3. Přenos energie • Elektromagnetická indukce je základem výroby a přenosu elektrické energie. • Výhoda je, že elektrická energie je výráběna v elektrárnách, efektivně a na vhodném místě a potom je relativně snadno přenášena na místo spotřeby, které může být značně vzdáleno. • Princip lze ukázat na naší vodivé tyčce.

4. Pohyblivá vodivá tyč VIII • Nejsou-li kolejnice propojeny, není pro pohyb tyčky třeba dodávat práci, protože po dosažení rovnovážného napětí , netečeproud. • Kdyby ale tyčkou procházel dolů proud I, bude na ni působit síla směrem doleva v klidu i v pohybu, jak jsme již ukázali : F = BIL.

5. Pohyblivá vodivá tyč IX • Když tyčkou pohybujeme a propojíme kolejnice rezistoremR, poteče proud daný Ohmovým zákonem I = /R. • V důsledku platnosti principu superpozice, působí na tyčku výše uvedená síla a pohybujeme-li tyčkou proti této síle rychlostí v, musíme dodat výkon : P = Fv = BILv = I, který je přesně roven výkonu, jenž se na odporu R změní v teplo.

6. Překonávání momentu síly I • Lze očekávat, že podobně jako je nutné překonávat sílu při translačním pohybu tyčky, je nutné při její rotaci překonávat momentsíly. • Můžeme to ukázat na otáčející se vodivé tyčce. Musíme změnit translační veličiny na rotační : P = Fv = T

7. *Překonávání momentu síly II • Ukažme nejprve, že prochází-li tyčkou délky L, která se může otáčet kolem jednoho svého konce v homogenním magnetickém poli o indukci B, proud I, působí na ni momentsíly. • Na každý kousek dr tyčky působí zřejmě síla. Pro určení momentu síly musíme vzít v úvahu také její vzdálenost od osy otáčení a tedy integrovat.

8. *Překonávání momentu síly III • Otáčíme-li tyčkou a propojíme-li její konce rezistorem R, poteče proud I = /R. V důsledku principu superpozice musíme tím pádem při rotaci překonávat moment síly. Rotujeme-li tyčkou s úhlovou rychlostí  musíme dodatvýkon : P = T = BIL2/2 = I, který je opět roven výkonu, jenž se na rezistoru R změní v teplo.

9. Elektromotorické napětí I • Z výše uvedeného vidíme, že rotační pohyb vede k obdobným závěrům jako translační. Proto se můžeme bez újmy na obecnosti vrátit k vodivé tyčce, pohybující se přímočaře po kolejnicích. • Připojme nyní ke kolejnicím vnější zdroj. Poteče proud, daný napětím tohoto zdroje a rezistancí obvodu a na něm bude závislé síla, která bude na tyčku působit.

10. Elektromotorické napětí II • Poté, co se dá tyčka do pohybu, objeví se v obvodu, stejně jako když tyčkou pohyboval vnější činitel, elektromotorickénapětí. Jeho velikost závisí na dosažené rychlosti a jeho polarita je opačná k polaritě napětí zdroje, podle Lentzova zákona. Nazýváme ho elektromotorické proti napětí. • Výsledný proud je superpozicí původního proudu a proudu způsobeného elektromotorickým proti napětím.

11. Elektromotorické napětí III • Než se dá tyčka do pohybu, bude (rozběhový) proud největší I0 = U/R. • Za pohybu bude proud podle Kirchhoffova zákona dán : I = (U - )/R = (U – vBL)/R • Proud tedy zjevně závisí na rychlosti tyčky.

12. Elektromotorické napětí IV • Kdyby tyčka nebyla nijak zatížena, zrychlovala by až do rovnováhy indukovaného napětí s napětím zdroje. V tomto momentě mizíproud a tedy i síla a tyčka se dále pohybuje rovnoměrně. • Nyní také snadno rozumíme tomu, proč se přetížený motor, když se příliš zpomalí, může spálit, příliš velkým proudem.

13. *Foucaultovy proudy I • Zatím jsme uvažovali jednorozměrnou tyčku zcela ponořenou do homogenního magnetického pole. • Je-li ale vodič třírozměrný a neníúplně ponořen nebo pole neníhomogenní, objevuje se nový jev, zvaný Foulcautovyproudy.

14. *Foucaultovy proudy II • Novým jvem je, že indukované proudy nyní tečou uvnitř vodiče. Způsobují síly, které kladou odporpohybu. Ten je buď tlumen nebo musí být dodávánvýkon k jeho udržení. • Foucaultovy proudy mohou být využity například k plynulémubrždění některých pohybů.

15. *Foucaultovy proudy III • Foucaultovy proudy způsobují vyvíjení tepla, takže jsou zdrojem ztrátvýkonu. Proto mosí být maximálně eliminovány speciální konstrukcí jader elektromotorů a transformátorů. Využívá se například konstrukce z navzájem izolovaných plechů.

16. Vlastní indukčnost I • Viděli jsme, že po připojení volné vodivé tyčky, ponořené do magnetického pole, se objevuje elektromotorické napětí, které má opačnou polaritu než napět budící. • Dokonce i kousek vodiče bez vnějšího magnetického pole se bude chovat kvalitativněstejně.

17. Vlastní indukčnost II • Máme-li takový vodič, kterým již protéká jistý proud, je vlastně ponořen ponořen do magnetického pole generovaného tímto proudem. • Chceme-li v tomo okamžiku změnit proud, musíme změnit magnetické pole a tím i magnetický tok a objevuje se elektromotorické napětí, způsobující proud jehož účinky působí proti této změně.

18. Vlastní indukčnost III • Lze očekávat, že elektromotorické napětí indukované v tomto případě závisí na: • geometrii vodiče a vlastnostech okolního prostoru • rychlosti změny proudu • Bývá zvykem tyto jevy oddělit a první skupinu zahrnout do veličiny zvané (vlastní)indukčnostL.

19. Vlastní indukčnost IV • Potom můžeme zákon indukce jednoduše psát :  = - L dI/dt • Jsme v obdobné situaci jako jsme byli v elektrostatice. Tam jsme používali kondenzátory, abychom vytvořili elektrické pole v určitém prostoru. Nyní používáme cívky, abychom vytvořili pole magnetické. • Cívky maji obvykle tvar solenoidu nebo toroidu.

20. Vlastní indukčnost V • Máme-li solenoid s N závity, jimiž prochází magnetický tok, můžeme popsat indukčnost a elektromotorické napětí jako: L = N/I  = - N d/dt = - L dI/dt • Jednotkou indukčnosti je 1 henry 1H = Vs/A = Tm2/A (Tm2 = 1 Wb)

21. Vlastní indukčnost VI • Magnetický tok závity závisí na proudu a geometrii. V případě solenoidu délky l a průřezu S a materiálu s relativní permeabilitou r platí: L = r0N2S /l • V elektronice a elektrotechnice se používají součástky, jejichž funkcí je mít indukčnost – cívky.

22. Transformátor I • Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí dvě nebo více cívek stejný magetický tok. Cívka, ke ktreré je připojeno vstupní napětí a která tedy tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. • Transformátory se užívají hlavně k převodunapětí a k přizpůsobenívnitřníhoodporu.

23. Transformátor II • Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, majícími N1 a N2závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelnýproud. • Každým závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se na něm elektromotorické napětí 1: 1 = - d/dt

24. Transformátor III • Připojíme-li k primární cívce napětí U, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu: U1 = N11 • Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů: U2 = N21

25. Transformátor IV • Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů : U1/N1= U2/N2 • Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 1.

26. Transformátor V • Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízkou 1. • Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci. P = U1I1 = U2N1I1/N2 = U2I2 I1N1= I2N2 R1/N12 = R2/N22

27. Energie magnetického pole I • Indukčnost klade odpor změnám protékajícího proudu. Znamená to, že k dosažení určitého proudu, je potřeba vykonat jistou práci. Tato práce se přemění do potenciálníenergiemagnetickéhopole, které nám ji vrací, když proud snižujeme. • Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.

28. Energie magnetického pole II • Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunavat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí : P = I = ILdI/dt  dW = Pdt = LIdI • Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat : W = LI2/2

29. Hustota energie magnetického pole I • Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém. • Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu : • Známe vztahy pro indukčnost L a indukci BL = 0N2S/l B = 0NI/l  I = Bl/0N

30. Hustota energie magnetického pole II • Protože Slje objem solenoidu, kde lze očekávat rozprostřenou většinu energie, můžeme ½ B2/0přiřadit hustotěenergiemagnetického pole. • Tento výraz platí i obecně.

31. *RC, RL, LC and RLC Circuits • Často je nutné najít, jak závisí hodnoty veličin při změnách na čase. Například při nabíjení a vybíjení kondenzátoru nebo cívky. • U obvodů LC se objevuje nový jevoscilace.

32. Obvod RC I • Mějme kondenzátor Cnabitý na napětí Uc0 a začněme ho vybíjer v čase t = 0přes rezistor R. • V každém okamžiku je kondenzátor zdrojem v obvodu a platí Ohmův zákon : I(t) = Uc(t)/R • To vede nadiferenciálnírovnici.

33. Obvod RC II • Všechny veličiny Q, U a Iexponenciálně klesají s časovou konstantou . • *Připojme stejný kondenzátor a rezistor ke zdroji s napětím V0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona: I(t)R + Vc(t) = V0 což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.

34. Obvod RC III • Nyní Q a Urostou exponenciálně do saturace a proud klesá exponenciálně jako v předchozím případě.Vše probíhá s časovou konstantnou.

35. Harmonický střídavý proud • Prakticky důležitý je střídavý proud harmonického průběhu. Jeho proud a napětí lze vyjádřit jako goniometricou nebo-li harmonickou[sin(), cos() exp(i)] funkci času : U(t)=U0sin(t + ) I(t)=I0sin(t + )

36. Střední hodnota I • Střední hodnota <f>časově proměnné funkce f(t)je konstantní hodnota, která má během jistého času stejnéintegrálníúčinky jako časově proměnná funkce. • Například střední proudje stejnosměrný proud, který by přenesl za dobu stejný náboj jako proud střídavý.

37. Efektivní hodnoty I • Při studiu obvodů střídavého proudu je potřeba ještě jeden druh středních hodnot: protéká-li střídavý proud rezistorem, dochází k tepelným ztrátám bez ohledu na jeho směr, protože tyto jsou úměrné čtverci proudu.

38. Efektivní hodnoty II • Efektivní hodnotafrmsčasově proměnné funkcef(t)je konstantní hodnota, která má za jistou dobu stejné tepelnéúčinkyjako časově proměnná funkce. • Budeme například napájet žárovku jistým časově proměnným proudem I(t). Potom, když teče žárovkou stejnosměrný proud o efektivní hodnotěIrms, bude žárovka zářit se stejným jasem.

39. Obecné střídavé obvodyI • Komplexní aparát : • Popisuje napětíU, proudyI, impedanceZ aadmitanceY = 1/Zpomocí komplexních čísel. • Pootm platí obecný komplexní tvar Ohmova zákona : U = ZI • Seriovákombinace : Zs = Z1 + Z2 + … • Paralelníkombinace :Yp = Y1 + Y2 + …

40. Obecné střídavé obvodyII • Tabulka komplexních impedancí a admitancí. jje imaginární jednotkaj2 = -1: • R: ZR = R YR = 1/R • L: ZL = jL YL = -j/L • C: ZC = -j/C YC = jC

41. RC seriově • Ilustrujme použití aparátu na seriové kombinaci RC : • ProudI, společný pro oba R a C, považujeme za reálný. Z = ZR + ZC = R – j/C |Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2 tg = –1/RC < 0 … kapacitní

42. RLC seriově I • Mějme R, L a C zapojené do serie: • ProudI, společný všem R , L, C opět považujme za reálný. Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C) |Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2 • Obvod bude mít buď charakter indukčnosti : L > 1/C …  > 0 • nebo kapacity : L < 1/C …  < 0

43. RLC seriově II • Nový jev resonancenastává když : L = 1/C  2 = 1/LC • Při této podmínce totiž mizí imaginární část a obvod se chová jako čistá rezistance : • Z, Umají minimum, I maximum • Rezonanci lze naladit změnou L, Cnebof !

44. *RLC in Parallel I • Let’s have a R, L and C in parallel: • Let now V, common for all R , L, C be real. Y = YR + YC + YL = 1/R + j(C - 1/L) |Y| = (1/R2 + (C - 1/L)2)1/2 • The circuit can be either inductance-like if: L > 1/C …  > 0 • or capacitance-like: L < 1/C …  < 0

45. *RLC in Parallel II • Again the effect of resonance takes place when the same condition is fulfilled: L = 1/C  2 = 1/LC • Then the imaginary parts cancel and the whole circuit behaves as a pureresistance: • Y, I have minimum, Z,V have maximum • It can be reached by tuning L, C or f !

46. Resonance • General description of the resonance: • If we need to feed some system capable of oscillating on its frequency 0 then we do it most effectively if our frequency matches the 0 and we are in phase. • Good mechanical example a swing. • The principle is used in e.g. in tuning circuits of receivers.

47. Rotating Conductive Rod • Torque on a piece dr which is in a distance r from the center of rotation of a conductive rod L with a current I in magnetic field B is: • The total torque is: ^

48. RC Circuit I • We use definition of the current I = dQ/dt and relation of the charge and voltage on a capacitor Vc = Q(t)/C: • The minus sign reflects the fact that the capacitor is being discharged. This homogeneous differential equation can be easily solved by separating the variables.

49. RC Circuit II • We have defined a time-constant  = RC. We can integrate both sides of the equation: • The integration constant can be found from the boundary conditions Q0 = CVc0 :

50. RC Circuit III • By dividing this by C and then by R we get the time dependence of the voltage on the capacitor and the current in the circuit.: ^