1 / 163

Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010

POGLAVJE 5. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010. Do sedaj smo preučevali kinematiko kontinuuma, opis stanja napetosti in zapis petih zakonov klasične termodinamike in mehanike za kontinuum. - ohranitev mase ohranitev gibalne količine ohranitev vrtilne količine

nira
Download Presentation

Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. POGLAVJE 5 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  2. Do sedaj smo preučevali kinematiko kontinuuma, opis stanja napetosti in • zapis petih zakonov klasične termodinamike in mehanike za kontinuum. • - ohranitev mase • ohranitev gibalne količine • ohranitev vrtilne količine • ohranitev energije • entropijsko neenačbo Opisane enačbe niso dovolj za popis obnašanja specifične snovi pod vplivom sil. Iz izkušenj vemo, da je vpliv enakih sil npr. na železo drugačen kot npr. vpliv enakih sil na vodo. Vpliv sil pa je lahko celo odvisen od smeri in velikosti sil. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  3. Velik razred snovi, pri katerih deformacija izgine s tem, ko izgine vpliv sil, imenujemo elastični materiali. Nad neko velikostjo sil ostrane permanentna deformacija. V tem primeru se snov obnaša plastično. V tem poglavju obravnavamo: - konstitucijske zveze za linearno elastično snov. - nekatere izbrane probleme s področja linearnih elastičnih snovi. - razred problemov z ravninskimi deformacijami in napetostmi. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  4. 5.1 MEHANSKE LASTNOSTI Najprej obravnavajmo nekaj tipičnih laboratorijskih mehanskih eksperimentov. Iz snovi izrežemo prizmatični vzorec s prečno površino . Snov statično obremenimo s silo v osni smeri, velikosti . Merimo podaljšek v osni smeri . 0A - linearni elastični režim. Vzorec se po vplivu sile povrne v 0 ABBC - plastični režim. Vzorec se po vplivu sile povrne v točko C Snov se po plastični deformaciji običajno utrdi. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  5. V smislu od laboratorijskih razmer čimbolj neodvisnega popisa problema, rišemo naslednjo krivuljo napetost osna relativna deformacija Napetost v odvisnosti od relativne osne deformacije. Naklon daljice 0A imenujemo Youngov modul. za jekla MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  6. Deformacije kovin v elastičnem režimu so relativno majhne, reda velikosti Pri nateznem poskusu pa lahko merimo tudi spremembo prečne dimenzije vzorca v odvisnosti od sile. Relativna prečna (radialna) deformacija je Eksperimenti pokažejo, da je razmerje v primeru majhnih deformacij (se skrči, zato minus) Razmerje imenujemo Poissonovo število in ga označimo z Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  7. Tipično Poissonovo število za železo je 0,3. • V primeru, ko ima vzorec, ki ga obravnavamo, različne lastnosti glede • na orientacijo, iz katere je bil izrezan iz bloka, je material anizotropen. • Tipični primeri anizotropnih snovi so • les • valjana jeklena plošča • biološka tkiva • V nasprotnem primeru je material izotropen. V primeru, ko ima vzorec, ki ga obravnavamo, različne lastnosti glede na položaj iz katerega je bil izrezan iz bloka, je snov nehomogena. Npr. ulita jeklena brama. V nasprotnem primeru je snov homogena. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  8. Nadalje lahko snov testiramo s hidrostatično napetostjo. V tem primeru je napetost oblike Količino za jekla imenujemo elastični modul. Naslednji poskus nam da novo snovno konstanto. Krožni valj z dolžino zvijemo za kot ko uporabimo navor . Strižni modul definiramo kot za jekla MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  9. V nadaljevanju nas zanima, koliko takšnih neodvisnih eksperimentov lahko naredimo za elastično snov. Koliko neodvisnoh snovnih lastnosti lahko pripišemo snovi, ki se obnaša elastično? MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  10. 5.2 LINEARNA ELASTIČNA TRDNINA V prejšnjem poglavju obravnavani eksperimenti imajo naslednje skupne štiri značilnosti • Zveza med silo in deformacijo je linearna. • Hitrost uporabe sile ne vpliva na deformacijo. • Po odstranitvi sile deformacija povsem izgine. • Deformacija je zalo majhna. Zgornje značilnosti uporabimo za definicijo linearno elastične ali Hookove snovi. Osnovna predpostavka za takšno snov je Pri čemer je Cauchijev napetostni tenzor Infinitezimalni deformacijski tenzor Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  11. Če je relacija med Cauchijevim napetostnim tenzorjem in infinitezimalnim deformacijskim tenzorjem linearna, lahko zapišemo Opisanih devet enačb lahko v kompaktni obliki zapišemo kot Tenzorja in sta tenzorja drugega reda. Tenzor je tenzor četrtega reda, ki ga imenujemo tenzor elastičnosti. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  12. Tenzor elastičnosti se transformira iz baze v bazo kot Če je telo homogeno je neodvisen od položaja. V tem poglavju obravnavamo zgolj homogena telesa. V celoti tenzor vsebuje 81 (9x9) koeficientov. Ker je tenzor simetričen, lahko vedno kombiniramo dva člena v en člen. Na ta način postane en neodvisen koeficient. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  13. Zaradi simetrije infenitezimalnega deformacijskega tenzorja mora imeti tenzor elastičnosti naslednjo lastnost Na ta način zmanjšamo število neodvisnih koeficientov iz 81 na 54. Zaradi simetrije Cauchijevega napetostnega tenzorja mora imeti tenzor elastičnosti naslednjo lastnost Sledi Ta enačba zmanjša število neodvisnih koeficientov iz 54 na 36. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  14. Nadalje predpostavimo, da je koncept elastičnosti povezan z obstojem notranje energije, imenovane tudi energijska funkcija deformacije, ki je pozitivno definitna funkcija deformacijskih komponent Zaradi te predpostavke lahko pokažemo Na ta način nadalje zmanjšamo število neodvisnih koeficientov elastičnega tenzorja s 36 na 21. Če nadalje predpostavimo, da je snov izotropna, nam preostaneta samo 2 neodvisna koeficienta. V primeru anizotropne monoklinične snovi imamo 13 neodvisnih koeficientov. V primeru anizotropne ortotropne snovi 9 koeficientov in v primeru anizotropne transverzno izotropne snovi 5 koeficientov. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  15. SPECIFIČNA OBLIKA ELASTIČNEGA TENZORJA ZA IZOTROPNO SNOV Identični tenzor je edini izotropni tenzor drugega reda. Iz njega lahko naredimo naslednje izotropne tenzorje četrtega reda. Elastični tenzor izrazimo s tremi izotropnimi tenzorji četrtega reda Kjer so konstante. Zaradi zgornje oblike lahko zapišemo Označimo in dobimo ali dilatacija MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  16. V brezkoordinatni obliki lahko zapišemo Po komponentah lahko zapišemo Zgornje enačbe predstavljajo konstitucijske zveze za linearno elastično trdnino. Konstanti Določimo ju z eksperimenti. imenujemo Laméjevi konstanti. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  17. 5.4 YOUNGOV MODUL, POISSONOVO RAZMERJE, STRIŽNI MODUL, TLAČNI MODUL Zvezo med napetostmi in deformacijami za elastično trdnino lahko zapišemo tudi v inverzni obliki. Se pravi, deformacijo v odvisnosti od napetosti. Dobimo (vaje): Izpeljemo (vaje) pa lahko tudi naslednjo zvezo V primeru, ko je samo ena pravokotna komponenta napetosti različna od nič, imenujemo takšno stanje napetosti enoosno. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  18. Enoosno stanje napetosti je dober približek nateznemu poslusu. Enoosno stanje napetosti v smeri lahko zapišemo Za Youngov modul in Poissonovo število dobimo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  19. Običajno enačbe z Youngovim modulom in Poissonovim številom ter drugo Laméjevo konstanto zapišemo v naslednji obliki MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  20. V zgornjih enačbah so tri snovne konstante. Vendar sta neodvisni konstanti samo dve. lahko izrazimo iz ali Dobimo pomembno zvezo Tako lahko napišemo samo z dvema konstantama MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  21. V primeru, da samo dve strižni napetosti nista enaki nič, imenujemo tovrstno stanje napetosti preprosti strig. V tem primeru imamo vidimo, da je druga Laméjeva konstanta strižni modul Tretje stanje napetosti imenujemo hidrostatična napetost. V tem primeru izpeljemo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  22. Elastični modul je definiran kot Vidimo, da so Laméjeve konstante, Youngov modul, strižni modul, Poissonovo število, in elastični modul vsi povezani! Samo dva od njih pa sta neodvisna pri izotropni elastični snovi! MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  23. Zbirka relacij med med Laméjevimi konstantami, Youngovim modulom, strižnim modulom, Poissonovim številom in elastičnim modulom. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  24. Zbirka elastičnih snovnih lastnosti za nekatere snovi Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  25. 5.5 POGLAVITNE ENAČBE INFINITEZIMALNE TEORIJE ELASTIČNOSTI Napišimo Cauchyjevo enačbo gibanja za katerokoli snov Enačba opisuje gibanje delca na položaju V primeru, da obravnavamo samo majhne premike, velja Iz enačbe izračunamo Zanemarimo majhne člene, pa velja Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  26. Diferencial deformiranega volumna izrazimo z diferencialom začetnega volumna (glej kinematiko) kot Zaradi tega sta končni in začetni gostoti oblike To seveda velja samo za majhne pomike. Zaradi tega enačba gibanja za majhne pomike postane MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  27. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  28. Kako ugotovimo ali polje premika ustreza elastični snovi? Polje premika opisuje možno gibanje elastične snovi z majhnimi deformacijami, če zadošča ** Kako ugotovimo, da predstavlja možno gibanje Najprej izračunamo Nato izračunamo Nato vstavimo premike in napetosti v enačbo ** in preverimo, ali velja. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  29. Rob se mora pri tem gibati kot veleva MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  30. 5.6 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNE SNOVI V tem poglavju izrazimo enačbe gibanja samo s komponentami premika. Te enačbe so poznane kot Navierove enačbe Zaradi tega Upoštevajmo in Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  31. Zardi tega enačba gibanja postane Tri komponente zgornje enačbe so oblike MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  32. Kjer velja V koordinatno invariantni obliki so Navier-ove enačbe gibanja oblike Ali MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  33. 5.7 NAVIER-OVE ENAČBE GIBANJA ELASTIČNEGA MEDIJA V CILINDRIČNIH IN SFERIČNIH KOORDINATAH Še ni opisano. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  34. 5.8 NAČELO SUPERPOZICIJE Imejmo dve polji premika zaradi volumskih sil Naj bosta ustrezni napetostna polji. Potem za elastični medij velja Seštevanje zgornjih dveh enačb da Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  35. Iz zgornje enačbe jasno sledi, da polje premika ustreza volumski sili ter napetosti Sile na površini, potrebne za vzpostavitev premika, so Opisano predstavlja princip superpozicije. Princip je praktičen, ker lahko problem razcepimo na več podproblemov in rešimo vsakega izmed podproblemov posebej. Na koncu pa rešitve seštejemo. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  36. RAVNINSKI ELASTIČNI VALOVI RAVNINSKI NEVRTINČNI VALOVI Še ni opisano. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  37. 5.10 RAVNINSKI IZOHORNI VALOVI Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  38. 5.11 ODBOJ RAVNINSKIH ELASTIČNIH VALOV Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  39. 5.12 VIBRACIJE NESKONČNE PLOŠČE Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  40. A.2 PREPROSTI NATEG, TORZIJA IN UPOGIBANJE 5.13 PREPROSTI NATEG Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  41. 5.13 PREPROSTI NATEG Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  42. 5.13 PREPROSTI NATEG Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  43. 5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  44. 5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  45. 5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA On the lateral surface, the unit normal vectoris given by; therefore, the surface traction on the lateral surface is , Thus on the lateral surface, Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  46. 5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA On the right end face, That is, On the left end face, , Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  47. 5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA On the faces, the components of the resultant force are given by Components of the resultant moment are given by The resulting moment is where Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  48. 5.14 TORZIJA KROŽNEGA VALJA The resultant moment on the left end face is clearly, a moment equal in magnitude andopposite in direction to that on the right end face so that indeed, the bar is in equilibrium, under a twisting action. We recall that Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  49. 5.15 TORZIJA NEOKROGLEGA VALJA: ST. VENANTOV PROBLEM Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

  50. 5.15 TORZIJA NEOKROGLEGA VALJA: ST. VENANTOV PROBLEM Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS ELASTIČNA TRDNINA / ELASTIC SOLID

More Related