CORSO DI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE ANNO ACCADEMICO 2009-2010

1. CORSO DI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE ANNO ACCADEMICO 2009-2010 COLLEGAMENTI IN FIBRA OTTICA Prof. Carlo Regazzoni D.I.B.E.-Università di Genova

2. RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI [1] P. Mandarini, “Comunicazioni Elettriche”, Vol. I e II, Editrice Ingegneria 2000, Roma: 1989. [2] M. Luise, “Sistemi di Trasmissione su fibra ottica”, Edizioni ETS, Pisa: 1996. [3] G. Bonaventura, “Verso una rete tutta ottica”, Mondo Digitale, anno IV n.3, settembre 2005, pp. 32-43 D.I.B.E.-Università di Genova

3. PARTE PRIMA: GENERALITA’ SULLA TRASMISSIONE A FIBRA OTTICA D.I.B.E.-Università di Genova

4. FIBRE OTTICHE: GENERALITA’ La trasmissione di segnali elettrici mediante fibre ottiche è realizzabile applicando ad un estremo della fibra una sorgente di luce (infrarosso: 0.52.0m di lunghezza d’onda) in grado di variare la potenza istantanea di emissione proporzionalmente al segnale da trasmettere, e collegando l’altro estremo della fibra ad un fotodiodo, in grado di generare una corrente proporzionale alla potenza luminosa (istantanea) ricevuta. D.I.B.E.-Università di Genova

5. Note Storiche sulle Fibre Ottiche 1500 : Murano(Venezia) utilizzo della propagazione guidata della luce nel vetro per fini artistici 1950 : Van Heel,Hopkins e Kanapy della Corning Glass (U.S.A) sviluppano il fiberscope per usi medicali; Kanapy introduce in letteratura il termine fibra ottica 1960 : sviluppo delle sorgenti ottiche LED e LASER 1970 : Corning Glass commercializza le prime fibre ottiche step-index multimodo , attenuazione  20dB/km 1980 : uso massivo delle comunicazioni ottiche D.I.B.E.-Università di Genova

6. Canale di comunicazione in Fibra Ottica • Caratteristiche fondamentali di una linea di trasmissione in fibra ottica • Mezzo di trasmissione:fibra in vetro-silice o fibra di plastica(tipo nylon) • Diametro fibra 125 micron (standard) • Attenuazione 0.2 -5 dB/km ( fibra in vetro-silice mono-multinodo) indipendente dalla frequenza di modulazione; elevata distanza fra amplificatori di linea per rigenerare il segnale (> 100km per fibre in vetro-silice monomodo). -Propagazione guidata ,segnale ottico, trasmissione digitale- D.I.B.E.-Università di Genova

7. Vantaggi: • Elevata capacità di trasmissione ( alcune decine di Gbit/s); • Immunità da interferenze elettromagnetiche; • Elevata sicurezza dei dati trasmessi (bassa probabilità di intercettazione). • b)Svantaggi: • Trasmissione di informazioni (segnali ottici), non di potenza. • Gli amplificatori di linea dovrebbero essere alimentati tramite linea di alimentazione (ottica o elettrica) separata dalla fibra ottica di comunicazione, oppure tramite batteria. D.I.B.E.-Università di Genova

8. Comunicazione in Fibra Ottica 103 108 10 11 1015 1020f[Hz] VLF VHF EHF ottica raggi X Telefonia radio,tv radar -Onde el.m. nelle T.L.C.- Rosso arancio giallo verde blu violetto f[1015Hz] Segnale ottico Infrarosso (I.R.) visibile UltraVioletto(U.V.) c/f[10-6m=m] D.I.B.E.-Università di Genova

9. Efficienza di una linea in fibra ottica • Un parametro di efficienza globale di una linea di trasmissione è dato dal prodotto tra la velocità massima di trasmissione ottenibile su un dato canale B, utilizzando una data tecnica di modulazione e la massima distanza L che è possibile coprire a tale velocità: Grafico di d al variare delle tecnologie D.I.B.E.-Università di Genova

10. Banda a disposizione in una linea a fibra ottica • La banda a disposizione in una fibra ottica è dell’ordine di alcuni terahertz (ovvero 1012 Hz), circa dieci volte superiore a quella disponibile nelle comunicazioni radio. • Questa grande disponibilità di banda consente di trasmettere ad altissima velocità e questo giustifica il grafico riportato nella slide precedente (in teoria è possibile arrivare a trasmettere ad un rate pari ad alcuni Tb/s). • La trasmissione su collegamento hertziano subisce minori attenuazioni rispetto alla trasmissione su fibra ottica per lunghe distanze (e quindi si può trasmettere al rate atteso a maggiore distanza), ma la velocità consentita su fibra è così elevata da far sì che il prodotto d sia considerevolmente più elevato. D.I.B.E.-Università di Genova

11. Schema generale di un sistema di trasmissione numerica su fibra • La modulazione-dati è impressa con la tecnica On-Off-Keying(OOK), ovvero presenza/assenza di segnale in uscita dal modulatore, a seconda che venga trasmesso un bit a “1” o un bit a “0”. • La sorgente luminosa è in questo caso un diodo LASER, che viene acceso alla massima potenza, oppure spento. D.I.B.E.-Università di Genova

12. Schema generale di un sistema di trasmissione numerica su fibra (continuazione) • Il segnale ottico prodotto dal LASER ad una certa lunghezza d’onda l0 viene quindi accoppiato alla fibra ottica. La fibra si comporta come una guida d’onda ottica. • Il segnale trasmesso viene quindi raccolto dall’estremità terminale della fibra da un dispositivo detto fotorivelatore, che è un altro diodo a semiconduttore, il quale restituisce una corrente elettrica proporzionale all’intensità del segnale luminoso ricevuto. • Il segnale viene poi amplificato, integrato (onde eliminare i disturbi indotti dal processo di fotorivelazione) ed infine rigenerato da un sogliatore (hard limiter), che restituisce il segnale trasmesso. • Questo tipo di sistema è detto a rivelazione diretta e costituisce lo schema-base della quasi totalità dei sistemi di trasmissione in fibra attualmente in esercizio. D.I.B.E.-Università di Genova

13. Generazione di sistemi ottici di trasmissione • La prima generazione di sistemi ottici (fine anni ‘70) faceva uso di componenti optoelettronici in GaAs (Arseniuro di Gallio), che funzionavano alla lunghezza d’onda di 0.85mm (prima finestra) e di fibre ottiche di tipo multimodo, ossia in grado di far transitare il segnale secondo diverse modalità di propagazione. • La seconda generazione di sistemi ottici (anni ‘80) è caratterizzata da una lunghezza d’onda di 1.3mm (II finestra) e da fibre il cui modo di propagazione è unico (fibre monomodo). • La terza generazione di sistemi ottici (anni ‘90) utilizza la zona di funzionamento della fibra ottica a minima attenuazione (III finestra, l0 = 1.55mm per un’attenuazione di 0.25dB/Km). D.I.B.E.-Università di Genova

14. La quarta generazione di sistemi ottici (attualmente in uso) mira ad incrementare la capacità aumentando la sensibilità dei ricevitori attraverso diverse tecniche di rivelazione del segnale (sistemi coerenti, o sistemi con amplificatore ottico). • I sistemi futuri di quinta generazione (sistemi solitonici) si avvarranno delle proprietà di propagazione non lineare del segnale ottico per controbattere la distorsione cromatica ed aumentare la banda utile di trasmissione. Finestre di funzionamento dei sistemi di trasmissione su fibra D.I.B.E.-Università di Genova

15. PARTE SECONDA: CARATTERISTICHE TRASMISSIVE DELLE FIBRE OTTICHE D.I.B.E.-Università di Genova

16. Segnale Ottico a) monocromatico distribuzione spettrale : () 0(0) =c/f potenza ottica : b)policromatico distribuzione spettrale () potenza ottica : D.I.B.E.-Università di Genova

17. Riflessione e rifrazione in una fibra ottica • Una fibra ottica è sostanzialmente una guida d’onda di materiale vetroso, il cui fenomeno di guida avviene sulla base di variazioni dell’indice di rifrazione all’interno del materiale. • Queste variazioni provocano riflessioni e rifrazioni del segnale ottico trasmesso, che ne determinano la propagazione. • I fenomeni di propagazione del segnale su fibra ottica possono essere studiati mediante due approcci differenti: • Approccio basato sull’ottica geometrica (semplificato); • Approccio basato sulle equazioni di Maxwell (formale). Vedremo, in seguito, sotto quali condizioni i due approcci sopra elencati possono efficacemente descrivere i fenomeni di propagazione del segnale ottico. D.I.B.E.-Università di Genova

18. Parametri caratteristici dell’ottica geometrica • c = velocità di propagazione del raggio luminoso nel vuoto • u = velocità di propagazione del raggio luminoso nel mezzo Indice di rifrazione L’indice di rifrazione è un parametro caratteristico del mezzo di propagazione del segnale ottico. Esempi :aria n  1 acqua n  1.3 vetro-silice n  1 cristallo n  1 diamante n  1 D.I.B.E.-Università di Genova

19. Riflessione e rifrazione di un raggio luminoso Nel caso in cui un raggio luminoso a si trova ad attraversare una supeficie di interfaccia tra due mezzi con una brusca variazione dell’indice di rifrazione (es vetro-aria), si ha la situazione schematizzata nella figura sottostante: a = raggio incidente a’ = raggio riflesso nel mezzo 1 b = raggio rifratto (trasmesso) nel mezzo 2 j1 = angolo di incidenza j2 angolo di rifrazione Legge di Snell D.I.B.E.-Università di Genova

20. Riflessione e rifrazione di un raggio luminoso • Riferendosi all’esempio della slide precedente, dove n2<n1, si può osservare che il raggio rifratto tende ad allontanarsi dalla normale, poiché: e quindi: • Aumentando l’angolo di incidenza, si dovrebbe arrivare ad una situazione in cui • In questo caso, il raggio rifratto non si produce e si ha il fenomeno della riflessione totale; • L’angolo di incidenza (detto angolo critico) oltre il quale si ha il fenomeno della riflessione totale è quello per cui: D.I.B.E.-Università di Genova

21. Applicazione dei concetti teorici su riflessione e rifrazione del raggio luminoso alla trasmissione ottica • Dai concetti teorici precedentemente espressi, si può intuire grossolanamente il principio di funzionamento della guida d’onda in fibra ottica. • I raggi in fibra che incidono sull’interfaccia vetro-aria (mezzo 1: vetro, mezzo 2: aria) con un angolo maggiore di jc sono riflessi totalmente e restano confinati indefinitamente all’interno della fibrastessa, così come schematizzato nella figura sottostante: D.I.B.E.-Università di Genova

22. Fibre Ottiche a riflessione totale • Molti tipi di fibra ottica di utilizzo commerciale non si discostano di molto dal principio di funzionamento ideale precedentemente menzionato. • La realizzazione pratica di tali fibre prevede il controllo degli indici di rifrazione di entrambi i mezzi coinvolti nel fenomeno della riflessione totale, quindi uno dei due mezzi non può essere l’aria (come ipotizzato in precedenza per il mezzo 2). • Nella realtà le fibre a riflessione totale sono costituite da un cilindro interno, detto nucleo (core), che corrisponde al materiale 1 dell’esempio precedente ed un guscio cilindricoesterno di materiale vetroso, detto mantello (cladding), che corrisponde al materiale 2. • In generale sia il mantello che il nucleo sono costituiti da materiali vetrosi a diverso indice di rifrazione, ma non mancano fibre in materiale plastico, dai costi ridotti, ma con caratteristiche di propagazione peggiori rispetto alle fibre in vetro. D.I.B.E.-Università di Genova

23. Fibra Ottica a riflessione totale-Struttura- a)sezione trasversale b)sezione longitudinale Cladding (mantello) n2 Core (nucleo) n1>n2 Diametro nucleo 50mm Diametro mantello 125mm D.I.B.E.-Università di Genova

24. Fibre Step-Index • Le fibre step-index sono caratterizzate da una discontinuità a gradino dell’indice di rifrazione tra nucleo e mantello. • E’ possibile studiare le proprietà di propagazione del segnale mediante le regole dell’ottica geometrica, solo per le fibre step-index a nucleo largo, ovvero caratterizzate da un raggio del nucleo molto maggiore della lunghezza d’onda del segnale luminoso (cioè l<<50mm). • La fibra step-index a nucleo largo è il tipo di fibra più semplice da realizzare, ma presenta, come vedremo, alcuni inconvenienti che la rendono poco adatta alle applicazioni pratiche. D.I.B.E.-Università di Genova

25. Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell’ottica geometrica • Consideriamo una fibra step-index a nucleo largo ed esaminiamo, secondo i principi dell’ottica geometrica, la propagazione di un raggio meridionale (ovvero giacente su di un piano passante per l’asse della fibra stessa). • Consideriamo un raggio proveniente da una sorgente di segnale, che incide l’interfaccia nucleo-mantello con un angolo inferiore a jc. Tale raggio sarà parzialmente rifratto nel mantello e la porzione riflessa, a sua volta rifratta, fino a che il raggio non si esaurisce dopo poche riflessioni interne successive • In questo caso si dice che il raggio non viene accettato dalla fibra. D.I.B.E.-Università di Genova

26. Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell’ottica geometrica Angolo di accettazione della fibra ottica • Si definisce pertanto un cono di accettazione della fibra, che contiene tutti i raggi che riescono a propagarsi per riflessione totale del nucleo. • Il vertice del cono di accettazione giace su un diametro della sezione del nucleo (vedi figura sottostante) e l’angolo al vertice qa è detto angolo di accettazione della fibra ottica. D.I.B.E.-Università di Genova

27. Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell’ottica geometrica Relazione tra angolo di accettazione ed indici di rifrazione (1) • Consideriamo un raggio che subisce una riflessione interna totale (ovvero j1 > jc). • Riferendosi alla figura della slide precedente, l’angolo q1 (complementare di j1) è l’angolo sotto cui viene rifratto un raggio meridionale entrato in fibra, e che forma con la medesima un angolo q tale che: • n0 è l’indice di rifrazione del mezzo esterno alla fibra (aria), che è circa uguale ad 1. Poichè q1 è complementare di j1 si avrà che: D.I.B.E.-Università di Genova

28. Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell’ottica geometrica Relazione tra angolo di accettazione ed indici di rifrazione (2) • Poiché deve essere j1 > jc (condizione di riflessione totale), si ha che: • da questo consegue che: • da cui: • Quindi i raggi che si presentano alla bocca della fibra con un angolo qminore di qa, definito sopra, subiranno una riflessione totale da parte della fibra e si propagheranno attraverso la fibra stessa. Altrimenti non saranno accettati dalla fibra e verranno “dispersi” nel mantello. D.I.B.E.-Università di Genova

29. Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell’ottica geometrica Apertura numerica di una fibra ottica • Sovente, invece di qa viene fornito il valore del suo seno, valore che è chiamato apertura numericaNA (o semplicemente apertura) ovvero: • Tanto maggiore è l’apertura numerica della fibra, tanto più ampio è il cono di accettazione dei raggi. Con i valori tipici delle fibre per telecomunicazioni, ovvero n1 = 1.50 ed n2 = 1.47 si ottiene: D.I.B.E.-Università di Genova

30. Esempio di core e cladding in vetro : n0 = n2 1.50; n11.48 Cladding n1 qm c 90°-c Asse ottico Core n2 Mezzo n0< n2 Angolo di accettazione : qm = Apertura numerica : N.A. = n0sin qa = Esempio aria/core e cladding in vetro : n0 1 ; n2 1.50 ; n1 1.48 . N.A. = =  0.24 qa = arcsin 0.24  14° m D.I.B.E.-Università di Genova

31. Esercizio 1 Progettare una fibra ottica con core in vetro (n2 = 1.48) ed angolo di accettazione qm= 20 ° rispetto ad una sorgente ottica operante in aria (n01) Cladding n1 = ? aria qm c Asse ottico Core n2 = 0.48 Mezzo n0 1 Soluzione : occore utilizzare un cladding con indice di rifrazione n21.44 D.I.B.E.-Università di Genova

32. La Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index a nucleo largo • La dispersione intermodale è l’inconveniente delle fibre step-index a nucleo largo. • Supponiamo di avere due raggi meridionali incidenti sulla bocca della fibra, uno con l’angolo di incidenza minimo (q= 0) e l’altro massimo (q= qa), comeindicato nella figura sottostante. D.I.B.E.-Università di Genova

33. La Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index a nucleo largo • I due raggi viaggiano all’interno del nucleo alla stessa velocità di propagazione v = c/n1, ma coprono una stessa distanza L, misurata lungo l’asse della fibra, attraverso due percorsi diversi, che hanno lunghezza totale diversa. • In particolare, il raggio 1 percorre una traiettoria di lunghezza d1 = L, mentre la traiettoria del raggio 2 è lunga d2 = (L / sin jc). Se i due raggi sono entrati in fibra allo stesso istante, giungono al punto a distanza L sulla fibra negli istanti: • L’intervallo di tempo che intercorre tra i due istanti è pari a: Variazione relativa dell’indice di rifrazione D.I.B.E.-Università di Genova

34. La Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index a nucleo largo • Questo fenomeno di ritardo temporale tra i diversi raggi prende il nome di dispersione intermodale. Infatti i vari cammini percorsi dai raggi possono essere considerati come modi di propagazione dell’onda luminosa all’interno della fibra. • Ad ognuno di questi modi può essere associata una velocità di propagazione lungo l’asse della fibra pari a: • che dipende dall’angolo di incidenza j del raggio sull’interfaccia nucleo-mantello e quindi dalla natura del modo. • Per questo motivo le fibre step-index a nucleo largo sono anche fibremultimodo e sono caratterizzate dalla dispersione intermodale. D.I.B.E.-Università di Genova

35. Effetti della Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index Multimodo sulle trasmissioni numeriche • La dispersione intermodale si rivela dannosa quando il ritardo relativo massimoDt nella propagazione dei modi diviene confrontabile con le costanti di tempo del segnale trasmesso in fibra. • Se viene lanciato in fibra un impulso di durata T mediante uno dei raggi più lenti (ovvero con angolo di incidenza esterno q= qa), la durata di tale impulso, osservato alla distanza L sulla fibra sarà pari a T+Dt. • Quando Dt diviene confrontabile con T, l’impulso trasmesso si “allarga” e tende ad “invadere “gli intervalli di segnalazione adiacenti (vedi figura sotto). Si determina quindi interferenza inter-simbolica (ISI) D.I.B.E.-Università di Genova

36. Effetti della Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index Multimodo sulle trasmissioni numeriche • La dispersione intermodale impone quindi un limite superiorealla velocità di trasmissione, che deve essere scelta in modo tale da non avere ISI. In pratica: • Considerando la banda di trasmissione B circa uguale al bit-rate Rb, si ottiene inoltre che: • Introducendo il parametro di capacità d=BL, si ottiene infine: • Con i valori di n1 ed n2 usuali (1.50 ed 1.47 rispettivamente) si ottiene un valore della capacità di 10Mb/s*Km, che è un valore alquanto modesto. D.I.B.E.-Università di Genova

37. Fibre ad indice graduato (Graded-Index) • Per ovviare ai problemi di dispersione intermodale tipici delle fibre step-index multimodali, si possono fabbricare fibre di differente tipo. • Restando nell’ambito delle fibre a nucleo largo, si sono realizzate fibre il cui indice di rifrazione del nucleo varia gradatamente tra un valore massimon1 ed il valore del mantellon2, man mano che ci si sposta dal centro della fibra verso il mantello. • Questo tipo di fibra è detto ad indice graduato (graded index). D.I.B.E.-Università di Genova

38. Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione • Nelle fibre graded-index i raggi non subiscono una riflessione brusca all’interfaccia nucleo-mantello, ma vengono “incurvati” dalla variazione graduale dell’indice di rifrazione del nucleo. • La principale legge di variazione di n con la distanza radiale r è il cosiddetto profilo a: n n2 n1 r • a è il raggio del nucleo e a è un parametro definito in sede di lavorazione. • Le traiettorie di propagazione possono essere ricavate mediante il principio di Fermat, secondo il quale il percorso scelto da un raggio per propagarsi tra un punto P1 di partenza ed un punto P1 di arrivo è quello che minimizza il tempo totale di percorrenza. D.I.B.E.-Università di Genova

39. Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione • Il tempo dt necessario a percorrere un tratto di lunghezza elementare ds, relativo al generico punto r, caratterizzato da indice di rifrazione n(r) è pari a: • Considerando il principio di Fermat, la traiettoria seguita dal raggio è tale da minimizzare l’integrale curvilineo: che è proporzionale al tempo di propagazione totale. D.I.B.E.-Università di Genova

40. Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione • Il principio di Fermat può essere riformulato in maniera differenziale (equazione di Eulero-Lagrange), ovvero: • Adottando un sistema di riferimento come quello della figura sottostante, tale equazione può essere semplificata nella seguente maniera, per ottenere l’equazione cartesianay(z) del raggio luminoso: (distanza radiale) Ove n è funzione di r, secondo il profilo a D.I.B.E.-Università di Genova

41. Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione • Sostituendo n(r) precedentemente indicata, con a = 2 (profilo parabolico) e considerando D<<1 (condizione verificata nella pratica), si trova l’equazione di un oscillatore armonico, la cui soluzione è la seguente: • Ove y0 e y’0 sono la posizione e la direzione iniziale del raggio. Due raggi che partono dalla stessa posizione, ma con direzioni iniziali differenti si propagano seguendo traiettorie diverse, che seguono un andamento sinusoidale con diverse ampiezze (vedi figura slide precedente). • In questo modo la dispersione intermodale viene attenuata, in quanto, per effetto della graduazione dell’indice di rifrazione, i raggi che si allontanano maggiormente dall’asse seguendo traiettorie più lunghe, si trovano a transitare in zone della fibra caratterizzate da un indice di rifrazione più piccolo, rispetto a quello che si ha in vicinanza dell’asse. • L’allungamento della traiettoria è quindi compensato da una maggiore velocità di propagazione. In pratica la risposta della fibra viene “equalizzata”. D.I.B.E.-Università di Genova

42. Fibre Graded-Index: incremento delle prestazioni rispetto alle fibre step-index • Sfortunatamente, i risultati dell’analisi mostrata in precedenza, valgono solo per i raggi meridionali, cosicché un certo grado di dispersione è presente anche nelle fibre graded-index. • Si può dimostrare che le fibre a profilo a presentano presentano un ritardo differenziale minimo pari a: quando si sceglie: Questo è il motivo per cui si sceglie a=2,come già accennato. La dispersione minima conduce ad un valore massimo della capacità per fibra multimodo graduata pari a: Valori tipici: 4Gbit/s*Km D.I.B.E.-Università di Genova

43. Fibre monomodali a nucleo stretto • Il rimedio più efficace per risolvere il problema della dispersione intermodale sarebbe, teoricamente, quello di inibire la propagazione dei modi multipli in fibra, lasciando un solo modo fondamentale. • Sfortunatamente questa condizione, detta di monomodalità, non può essere ricavata mediante l’approccio semplificato dato dall’ottica geometrica, usato per la fibra multimodo. • La monomodalità richiede una configurazione della fibra a “nucleo stretto” (<<50mm), in modo tale che le dimensioni caratteristiche della fibra risultino confrontabili con la lunghezza d’onda del segnale (0.8 -1.6mm). • In queste condizioni si deve ricorrere ad un approccio più formale per studiare le caratteristiche di propagazione del segnale attraverso la fibra ottica: ovvero l’approccio basato sulle equazioni di Maxwell. D.I.B.E.-Università di Genova

44. Propagazione di un’onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) • Precisiamo innanzitutto la notazione adottata. Adottando il formalismo degli equivalenti in banda-base di segnali passabanda (o inviluppi complessi), un campo elettrico generico può essere espresso come: Vettore posizione Equivalente in banda-base rispetto alla frequenza f0del campo elettrico. • Nel caso di campo monocromatico si ha che: D.I.B.E.-Università di Genova

45. Propagazione di un’onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) • L’analisi della propagazione del segnale ottico in una fibra di tipo step-index parte dalle equazioni di D’Alembert delle onde: • Riscrivendo tali equazioni attraverso l’inviluppo complesso di un campo monocromatico (altrimenti detto fasore) in un materiale dielettrico omogeneo, isotropo e senza perdite, otteniamo la cosiddetta equazione di Helmoltz: è una qualsiasi tra le sei componenti dei vettori complessi è il numero d’onda nel vuoto dell’oscillazione accoppiata alla fibra. n è l’indice di rifrazione nel mezzo. D.I.B.E.-Università di Genova

46. Propagazione di un’onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) • In un sistema di riferimento a coordinate cilindriche (r,f,z), avente asse z coincidente con l’asse longitudinale della fibra nella direzione di propagazione dell’onda, l’equazione di Helmoltz diventa: z (i) con n=n1 se (nucleo) e n=n2 se (mantello) • A questo punto si richiede che la soluzione dell’equazione (i) abbia la seguente forma: (ii) • che, in ogni punto della fibra, fissati r e f, rappresenta un’onda progressiva lungo l’asse z, con coefficiente di propagazioneb da determinarsi. D.I.B.E.-Università di Genova

47. Propagazione di un’onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) • Sostituendo (ii) in (i) si ottiene: (iii) • Il termine che moltiplica la funzione F è una costante rispetto alla coordinata f. Per cui la (iii) può essere spezzata in due equazioni differenziali ordinarie per le funzioni F(f) e F(r). Poiché la funzione F deve risultare periodica di periodo 2p nella variabile f, l’equazione relativa deve essere scritta nella seguente maniera: (iv) • ove m è una costante intera arbitraria per rispettare la condizione di periodicità. D.I.B.E.-Università di Genova

48. Propagazione di un’onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) • L’equazione per F(r) è allora un’equazione del secondo ordine di Bessel: (v) • Affinché l’onda sia confinata all’interno del nucleo (ossia venga guidata), la costante di propagazione b deve soddisfare le seguenti due condizioni: (costante di propagazione minore del numero d’onda del nucleo) (costante di propagazione maggiore del numero d’onda del mantello) (Verificheremo dopo perché) • E’ quindi conveniente definire due nuove costanti: (nel nucleo) (nel mantello) D.I.B.E.-Università di Genova

49. Propagazione di un’onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) • L’equazione (v) assumerà quindi due forme diverse, una relativa al nucleo della fibra ottica ed una relativa al mantello, ovvero: (v.i) (v.ii) • Le equazioni (v.i) e (v.ii) ammettono diversi tipi di soluzioni generali, dette funzioni di Bessel, che sono definite in forma numerica. • Si devono scartare le funzioni di Bessel che non sono limitate in r=0 (poiché il campo elettrico assume valori finiti in tale punto). Così come si devono scartare le funzioni di Bessel che non sono limitate per r tendente all’infinito, poiché si richiede che il campo si esaurisca interamente nel mantello (supposto di spessore infinito). D.I.B.E.-Università di Genova

50. Propagazione di un’onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Funzioni di Bessel di prima specie D.I.B.E.-Università di Genova