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Seguridad informática

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Seguridad informática. Matemática I. Alejandro Silvestri 2008. Presentación basada en el libro de W. Stallings, Cryptography and Network Security, 4º ed. Grupos y campos. Grupo.

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seguridad inform tica

Seguridad informática

Matemática I

Alejandro Silvestri

2008

Presentación basada en el libro de W. Stallings, Cryptography and Network Security, 4º ed.

grupo
Grupo
  • Es un conjunto discreto y finito de valores, sobre los que se define la adición con las siguientes características
    • Cerramiento
      • El resultado de una adición se encuentra dentro del grupo
    • Asociatividad
    • Elemento de identidad
      • 0+a = a+0 = a
    • Inversa
      • a+a’ = a’+a = 0
  • Grupo Abeliano
    • Conmutatividad de la adición
anillos
Anillos
  • Es un grupo abeliano en el que se define el producto, con las siguientes características
    • Cerramiento
    • Asociatividad
    • Leyes distributivas con la adición
  • Anillo conmutativo
    • Conmutatividad del producto
campos
Campos
  • Dominio integral es un anillo conmutativo con:
    • Elemento de identidad del producto
      • 1.a = a.1 = a
    • Divisores no cero
      • a.b = 0 => a=0 v b=0
  • Campo
    • Inversa del producto
      • Para todos los elementos excepto el cero
      • b=a-1 => a.b = 1
artim tica m dulo n
Artimética módulo n
  • La aritmética modular es una forma particular de campo o de dominio integral
    • sobre n enteros entre 0 y n-1
  • La operación amod b calcula el resto de a/b
  • Operaciones módulo n se indican con un (mod n) a la derecha
adici n y producto
Adición y producto
  • La adición se define a partir de la suma aritmética
    • c=a+b (mod n) : c=(a+b) mod n
  • El producto se define a partir de la multiplicación aritmética
    • c=a.b (mod n) : c=(a.b) mod n
    • a3 mod n = {[(a.a) mod n] . a} mod n
  • Resta
    • c=a–b (mod n) : c=(a-b) mod n
divisi n
División
  • c=a/b (mod n) ≠>c=(a/b) mod n
    • c = a.d (mod n)
    • d = b-1 (mod n)
  • En álgebra modular no todos los elementos de un dominio tienen inversa
    • Los valores sin inversas son los que tienen denominadores comunes con n
    • Si todos los elementos tienen inversa, se trata de un campo
      • Esto ocurre con n primo
  • La inversa no se determina a través de un cálculo directo, pero sí iterando con el algoritmo de Euclides extendido
logaritmo discreto
Logaritmo discreto
  • dloga,n(x)=k => ak=x (mod n)
  • Sólo existe si a es una raíz primitiva de n
  • No todos los enteros n tienen raíces primitivas
    • Los únicos son
      • 2
      • 4
      • pb
      • 2.pb
      • p es primo >2 y b es entero positivo
  • No es posible calcular en forma directa el logaritmo discreto
    • Se deben recorrer los valores buscando el resultado
algoritmo de euclides
Algoritmo de Euclides
  • Para encontrar el máximo divisor común (gcd) de dos valores
  • Es un algoritmo recursivo de recursividad finita, basado en la siguiente propiedad
    • gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)
    • para a>b
  • De esta manera se reducen sucesivamente las magnitudes de a y b
  • Cuando la iteración devuelve cero, el valor obtenido en la iteración anterior es el gcd.
c digo del algoritmo de euclides
Código del algoritmo de Euclides

EUCLID(a, b)

  • A = a; B = b
  • if B = 0 return A = gcd(a, b)
  • R = A mod B
  • A = B
  • B = R
  • goto 2
algoritmo de euclides extendido
Algoritmo de Euclides extendido
  • Una versión extendida del algoritmo de Euclides permite determinar la inversa módulo n de un número, a través de una serie de aproximaciones sucesivas
c digo de euclides extendido
Código de Euclides extendido

EXTENDED EUCLID[m(x), b(x)]

  • [A1(x), A2(x), A3(x)] = [1, 0, m(x)];
  • [B1(x), B2(x), B3(x)] = [0, 1, b(x)];
  • if B3(x) = 0 return A3(x) = gcd[m(x), b(x)]; no
  • inverse
  • if B3(x) = 1 return B3(x) = gcd[m(x), b(x)];
  • B2(x) = b(x)1 mod m(x)
  • Q(x) = quotient of A3(x)/B3(x)
  • [T1(x), T2(x), T3(x)] = [A1(x) Q(x)B1(x), A2(x)Q(x)B2(x), A3(x) QB3(x)]
  • [A1(x), A2(x), A3(x)] = [B1(x), B2(x), B3(x)]
  • [B1(x), B2(x), B3(x)] = [T1(x), T2(x), T3(x)]
  • goto 3
fast modular exponentiation algorithm
Fast Modular Exponentiation Algorithm
  • Calcula ab mod n

Resultado delFast ModularExponentiationAlgorithm para ab mod n

donde a = 7, b = 560 = 1000110000, n = 561

totiente de euler
Totiente de Euler
  • Φ(n)
    • Es la cantidad de valores entre 1 y n-1 relativamente primos con n (es decir gcd(n, k)=1
      • El valor k=1 se considera relativamente primo
    • Se define Φ(1) = 1
  • Propiedad
    • Sean p y q primos, p≠q
    • Φ(p) = p-1
    • Φ(p.q) = (p-1)(q-1)
teorema de euler
Teorema de Euler
  • Para a y n relativamente primos, y a<n
    • aΦ(n) = 1 (mod n)
    • Si p es primo:
      • a(p-1) = 1 (mod p)
  • Pequeño teorema de Fermat
    • an = a (mod n)
    • Si p es primo:
      • a(p-1) = 1 (mod p)
teorema chino del resto crt
Teorema chino del resto (CRT)
  • Sean
    • n y k enteros positivos
    • N el vector de divisores primos de n
    • K el vector de restos de k mod N
  • Se verifica que K y k mantienen una relación biyectiva
    • K contiene la información necesaria para reconstruir k
slide24
RSA
  • Med mod n = M
    • n = p.q p, q primos
    • e.d = Φ(n) = (p-1)(q-1)
      • => e.d mod Φ(n) = 1
  • => Mk.Φ(n)+1 mod n = M
    • => Mk.(p-1)(q-1)+1 mod n = M
  • Esto requiere que se cumplan
    • Mk.(p-1)(q-1)+1 mod p = M
    • Mk.(p-1)(q-1)+1 mod q = M
      • Por el teorema del resto chino:
      • X mod p ^ X moq q => X mod (p.q)
slide25
RSA
  • Mk.(p-1)(q-1)+1 mod p =

= M.MΦ(p).k(q-1) mod p =

= M mod p [MΦ(p) mod p]k(q-1)

      • Teorema de Euler MΦ(p) mod p = 1

= M mod p [1]k(q-1)

= M mod p

test de primalidad
Test de primalidad
  • Test iterativo probabilístico
    • Miller Rabin (1975)
    • Determina la primalidad relativa de un dato n a las potencias de un dato a
    • Probabilidad de primalidad: 75%
      • Si el algoritmo señala que el dato no es primo, es conclusivo
      • Si señala que el dato puede ser primo, tiene un 75% de probabilidad de acertar
  • Test determinístico
    • Agrawal, Kayal y Saxena (2002)
distribuci n de primos
Distribución de primos
  • La densidad de números primos entre los números enteros disminuye a medida que aumentan los enteros
  • Para un entero n, la separación promedio de números primos es

ln(n)

ad