metode numerik
Download
Skip this Video
Download Presentation
Metode Numerik

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 35

Metode Numerik - PowerPoint PPT Presentation


  • 200 Views
  • Uploaded on

Metode Numerik. PENDAHULUAN. Komputer, Manusia, dan Persoalannya. Membantu manusia menanggulangi persoalan : Dalam kerja rutin (perkantoran, perbankan, dsb.) Dalam lingkungan (pencemaran, ramalan cuaca, dsb.) Dalam industri (sirkuit elektrik, kimia, perminyakan, dsb.)

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Metode Numerik' - natan


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
metode numerik

MetodeNumerik

PENDAHULUAN

komputer manusia dan persoalannya
Komputer, Manusia, dan Persoalannya
  • Membantu manusia menanggulangi persoalan :
    • Dalam kerja rutin (perkantoran, perbankan, dsb.)
    • Dalam lingkungan (pencemaran, ramalan cuaca, dsb.)
    • Dalam industri (sirkuit elektrik, kimia, perminyakan, dsb.)
    • Dalam sains (pergerakan benda ruang angkasa, dsb.)
  • Dng. modelling, persoalan tsb. dapat dituliskan dlm. bentuk formula matematis.
  • Manusia perlu jawaban formula matematis tsb., misal :
    • Bagaimana keadaan cuaca pada hari tertentu, kapan perembesan air laut mencapai titik tertentu pada suatu daratan, bagaimana penyebaran suatu wabah penyakit, bagaimana perilaku badan pesawat jika melewati kawasan yg. buruk, dsb.
  • Utk. dapat jawaban perlu metoda.
      • Model sederhana : jawaban eksak/dlm. simbol dapat dicari.
      • Model rumit : harus dicari jawaban dlm. bentuk numerik (angka) pada titik-titk tertentu dng. metode numerik.
beberapa model matematis
Beberapa Model Matematis
  • Sistem Persamaan Linear (SPL)
    • Bentuk Umum :

Cari vektor x berukuran N yg. memenuhi :

Ax = b

A : matriks berukuran N X N

b : vektor berukuran N

    • Contoh :
      • Cari x yang memenuhi :

x1 + x2 + 0x3 + 4x4 = 3

2x1 - x2 + 5x3 + 0x4 = 2

5x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5

-3x1 + 0x2 + 2x3 + 6x4 = -2

      • Untuk matriks A dng. sifat-sifat tertentu, metode pencarian solusinya berbeda.
      • Perbedaan ini mempertimbangkan : efisiensi waktu & pemakaian memori.
beberapa model matematis1
Beberapa Model Matematis
  • Sistem Persamaan Non-Linear (SPNL)
    • Bentuk Umum :

Cari x yg. memenuhi :

f1(x1,x2,...,xN) = 0

f2(x1,x2,...,xN) = 0

... = ...

fN(x1,x2,...,xN) = 0

    • Contoh :

x2 – x + y2 + z2 – 5 = 0

x2 + y2 – y + z2 – 4 = 0

x2 + y2 + z2 + z = 0

  • Persamaan Diferensial Parsial (PDP)
    • Bentuk Umum :

A, B, C : konstan

beberapa model matematis2
Beberapa Model Matematis
  • Contoh :

Model penyebaran temperatur steady-state pada bidang segiempat :

Uxx(x,y) + Uyy = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1

Syarat batas :

x = 0 : u(0,y) = f3(y) ; y = 0 : u(x,0) = f1(x)

x = 1 : u(1,y) = f4(y) ; y = 1 : u(x,0) = f2(x)

Solusinya diberikan dalam bentuk counter berikut :

beberapa model matematis3
Beberapa Model Matematis
  • Sistem persamaan Diferensial Biasa (PDB)
    • Bentuk Umum :

y’ = f(x,y), y(x0) = y0

didefinisikan pada interval [x0, xend], y dan f vektor berukuran N (besar sistem).

    • Contoh :

Model dinamika populasi dan sistem persamaan non-linier :

;

Nilai awal : untuk

Solusinya diberikan dalam bentuk gambar berikut :

beberapa model matematis4
Beberapa Model Matematis
    • PDB ada 2 macam :
      • PDB Stiff : beberapa komponen jawabannya mempunyai perbedaan nilai absolut yg. besar dibanding komponen lainnya.
      • PDB non-stiff : komponen solusinya satu dng. yg. lain besarnya tidak terlalu berbeda jauh.
    • PDB stiff memerlukan metode di mana setiap langkah proses memerlukan jawaban sistem persamaan non-linier.
  • Pemecahan suatu model bisa menghasilkan model lain, misal :
    • PDP bisa menjadi PDB
    • SPNL harus melalui proses SPL
metode numerik1
MetodeNumerik
  • Metodenumerikadalahteknik yang digunakanuntukmemformulasikanpersoalanmatematiksehinggadapatdipecahkandenganoperasiperhitungan/aritmetikabiasa (tambah, kurang, kali, danbagi).
  • Metodeartinyacara, sedangkannumerikartinyaangka. Jadimetodenumeriksecaraharafiahberarticaraberhitungdenganmenggunakanangka-angka.
metode numerik2
MetodeNumerik
  • Padaumumnyamencakupsejumlahbesarkalkulasiaritmetika yang sangatbanyakdanmenjenuhkan
  • Karenaitudiperlukanbantuankomputeruntukmelaksanakannya
motivasi
Motivasi

Kenapadiperlukan?

  • Padaumumnyapermasalahandalamsainsdanteknologidigambarkandalampersamaanmatematika
  • Persamaaninisulitdiselesaikandengan “tangan”  analitissehinggadiperlukanpenyelesaianpendekatannumerik
persoalan matematika
Persoalanmatematika

Bagaimanacaramenyelesaikannya ?

  • Tentukan akar2 persamaanpolinom

23.4x7 - 1.25x6+ 120x4 + 15x3 – 120x2 – x + 100 = 0

2. Selesaikansistempersamaan linier

1.2a – 3b – 12c + 12d + 4.8e – 5.5f + 100g = 18

0.9a + 3b – c + 16d + 8e – 5f - 10g = 17

4.6a + 3b – 6c - 2d + 4e + 6.5f - 13g = 19

3.7a – 3b + 8c - 7d + 14e + 8.4f + 16g = 6

2.2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7.5f + 18g = 9

5.9a + 3b + 11c + 9d - 5e – 25f + 10g = 0

1.6a + 3b + 1.8c + 12d - 7e + 2.5f + g = -5

metode analitik versus metode numerik
Metode Analitik versus Metode Numerik
  • Pertama, solusidenganmenggunakanmetodenumerikselaluberbentukangka. Bandingkandenganmetodeanalitik yang biasanyamenghasilkansolusidalambentukfungsimatematik yang selanjutnyafungsimateamatiktersebutdapatdievaluasiuntukmenghasilkannilaidalambentukangka.
  • Kedua, denganmetodenumerik, kitahanyamemperolehsolusi yang menghampiriataumendekatisolusisejatisehinggasolusinumerikdinamakanjugasolusihampiran(approxomation) atausolusipendekatan, namunsolusihampirandapatdibuatseteliti yang kitainginkan. Solusihampiranjelastidaktepatsamadengansolusisejati, sehinggaadaselisihantarakeduanya. Selisihinilah yang disebutdengangalat (error).
metode analitik versus metode numerik1
Metode Analitik versus Metode Numerik
  • Kebanyakanpersoalanmatematikatidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitik.
  • Metodeanalitikdisebutjugametode exact yang menghasilkansolusi exact (solusisejati).
  • Metodeanalitikiniungguluntuksejumlahpersoalan yang terbatas.
  • Padahalkenyataanpersoalanmatematisbanyak yang rumit, sehinggatidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitik.
metode analitik vs metode numerik
MetodeAnalitikvsMetodeNumerik
  • Kalau metode analitik tidak dapat diterapkan, maka solusi dapat dicari dengan metode numerik.
  • Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan biasa (+, - , / , *)
perbedaan metode numerik dan metode analitik
PerbedaanMetodeNumerikdanMetodeAnalitik
  • Metode Numerik
    • Solusi selalu berbentuk angka
    • Solusi yang dihasilkan solusi pendekatan sehingga terdapat error
  • Metode Analitik
    • Solusi dapat berupa fungsi matematik
    • Solusi yang dihasilkan solusi exact
contoh kasus metode numerik
ContohkasusMetodeNumerik
  • Pemodelantumpahanminyak, peringatandinipenanggulangan, dananalisistingkatkerusakanlingkungan di indonesia
  • Prakiraancuaca
  • Pergerakanbenda-bendalangit
contoh
Contoh
  • Selesaikan integral di bawah ini
  • Metode Analitik
contoh1
Contoh
  • Metode Numerik
  • Error = |7.25-7.33| = 0.0833
motivasi metode numerik di bidang rekasaya termodinamika
MotivasiMetodeNumerik di BidangRekasayaTermodinamika
  • Contoh

Sebuah bola logamdipanaskansampaipadasuhu 100C, kemudianpadasaat t=0, bola itudimasukkankedalam air yang bersuhu 30C. Setelah 3 menit, suhu bola berkurangmenjadi 70C. Tentukansuhu bola setelah 22,78 menit. Diketahuitetapanpendinginan bola logamtersebutadalah 0,1865

Hukumpendinginan Newton, lajupendingian bola setiapdetiknyaDT/dt= -k(T-30)

Dengan k=tetapanpendinginan bola logam

slide21

Metode analitismatematikawan

Penyelesaian = metodekalkulusdiferensial

Solusi umum

Nilaiawal yang diberikanadalah T(0) = 100, denganmenggunakannilaiawalsolusikhususpersamaandiferensialadalah = 31 C

Jadisuhu bola setelah 22.78 menitadalah31 C

motivasi dari persamaan non linear 2
Motivasi Dari Persamaan Non Linear 2

Dari suatuperhitungantentangkebutuhanakanproduksi optimal suatukomponenstrukturdidapatpersamaanbiaya yang dibutuhkanuntukpengadaaanproduksidalamsatuharisebagaiberikut:

dengan

C = biaya per hari

N = jumlah komponen yang diproduksi

slide26

Contoh

  • Suatupengirimanbarang yang memproduksicoklatdengancampurankrem, cofeedankacang, denganberlapiscoklatcerahdanpekat. Bilasebuahkotakdiambilsecaraacak , serta X dan Y masing-masingmenyatakanproporsicampurankremberlapiscoklatcerahdanpekatdenganfungsipadatgabungannyaadalah :
  • a. Tunjukkan
  • b. Cari P[(X,Y)єA] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x < ; < y < }
slide27

Jawab:

a.

b. P[(X,Y)єA] = P ( 0 < x < ; < y < )

motivasi untuk interpolasi
Motivasiuntukinterpolasi

Sejumlahuangdidepositokandengantingkatbungatertentu. Tabelberikutmenguraikanperkiraaanuangdepositopadamasa yang akandatang, berupanilaiuangpada 20 tahunmendatangdibandingkandengannilaisekarang.

motivasi interpolasi
MotivasiInterpolasi

JikaRp. 100.000.000,- didepositokansekarangdengansukubunga 23,6%, berapanilaiuangtersebutpada 20 tahun yang akandatang. Gunakaninterpolasi linear, kuadratik, dan Lagrange bagipenyelesaian, kemudianbandingkanhasilperhitunganketigametodetersebut.

peranan komputer dalam metode numerik
Peranan Komputer dalam Metode  Numerik
  • Program = FORTRAN, PASCAL, C, C++, BASIC, dansebagainya.
  • aplikasi = MathLab, MathCad, Maple, Mathematica, Eureka, dansebagainya
penyelesaian persoalan numerik
Penyelesaian persoalan numerik
  • Identifikasimasalah
  • Memodelkanmasalahinisecaramatematis
  • Menyederhanakan model
  • FormulasiNumerik

- Identifikasimetodenumerik yang diperlukanuntukmenyelesaikannyadengantaksirananalisisgalatawal (yaitutaksirangalat, penentuanukuranlangkah)

  • Pertimbanganmemilihmetode: apakahmetodetersebutteliti, mudahdiprogram?
  • Menyusunalgoritmadarimetode yang dipilih
  • Pemrograman=Implementasimetodeinidalamkomputer
  • Operasional=ujicoba
  • Evaluasi
metode numerik vs analisis numerik
MetodeNumerikVSAnalisisNumerik
  • AnalisisNumerik = kajianbarusetelahmetodenumerik analisisuntukmengetahuimetodenumerik yang digunakanapakahsudahmemberikansolusihampiran yang paling tepat
  • Metode = algoritmapersoalanmasalahsecaranumerik
  • Analisis = analisametode
ad