1 / 45

METODE NUMERIK

METODE NUMERIK. DERET TAYLOR & ANALISIS GALAT. Prinsip perhitungan dalam numerik. Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus “tidak ada algoritma untuk segalanya” Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil. OUTLINE. Penyajian Bilangan

axelle
Download Presentation

METODE NUMERIK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. METODENUMERIK DERET TAYLOR & ANALISISGALAT

  2. Prinsip perhitungan dalam numerik • Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus “tidak ada algoritma untuk segalanya” • Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan error kecil

  3. OUTLINE • PenyajianBilangan • AngkaSignifikansi • TeoremaDeret Taylor • Konsepgalat

  4. Penyajian bilangan Bilangan ada 2: • Eksak • Tidak eksak • Perhitungan matematika tidak eksak , e, • Perhitungan desimal yang berulang 0.3333…. • Hasil perhitungan deret tak hingga e • Hasil pengukuran

  5. Floating point • f.p x = a x bn • a = matise (0 ≤ a ≤ 1) • b = basis • n = eksponen (bilangan bulat) Dalam alat hitung elektronik biasanya digunakan basis b = 10

  6. Desimal dan angka signifikan • Misal x = 0.05  2 desimal 1 angkasignifikan x = 0.30  2 desimal 2 angkasignifikan Angkasignifikanadalahangka 0 yang diabaikanuntuk yang beradadibelakangsedangkandihitunguntukangka 0 yang berada di depan

  7. AngkaSignifikan • Komputasithdsuatubilangan Bilanganhrsmeyakinkan ? • Konsepangkasignifikan  keandalansebuahnilainumerik • Banyakangkasignifikan  banyaknya digit tertentuygdptdipakaidenganmeyakinkan • Selainangkasignifikan, jgadaangkataksiran • Angka 0 (nol) tdksllpastimjdangkasignifikan, why? • Ketidakpastian kepastian, jkpakainotasiilmiah How? 0,000123  mengandung 3 AS (nolbknmerupakan AS) 0,00123  mengandung 3 AS (nolbknmerupakan AS) 12.300  Tidakjelasberapa AS, karenamshditanyakannolitu berartiatautidak…! 1,23 x 104  mengandung 3 AS (memakainotasiilmiah) 1,230 x 104  mengandung 4 AS (memakainotasiilmiah) 1,2300 x 104  mengandung 5 AS (memakainotasiilmiah)

  8. Angkasignifikansi • Nilaisignifikanadalahsuatunilaidimanajumlahangkaditentukansebagaibatasnilaitersebutditerimaatautidak. Sebagaicontohperhatikannilaipadapenggaris:

  9. AngkaSignifikan • Nilai yang ditunjuktidaktepatpadaangka yang ditentukankarenaselisih 1 strip, dalamkejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60. • Bilapenggaristersebutdilihatdenganskalalebihbesarpadadaerah yang ditunjukolehjarum : • Dari gambarini, dengannilaisignifikan 10-1 (0,1) makadiperolehnilainya 59 atau 59,5.

  10. “AS akan memberikan kriteria untuk merinci seberapa keyakinan kita mengenai hasil pendekatan dalam metode numerik” “AS memberikan pengabaian dari angka signifikan sisa utk besaran-besaran yang spesifik yang tidak bisa dinyatakan secara eksak krn jumlah digit yang terbatas”  (kesalahan pembulatan/round-off-error) AngkaSignifikan Dua arti penting angka signifikan

  11. Aritmatika dalam floating point • Penjumlahan /pengurangan • Ubahbilangankef.p • Ubaheksponenmengikutieksponen yang besar • Jumlahkan/kurangkan • Sesuaikandesimal/a.s yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0.00014 x 103 = 0.00 x 103 x + y = 0.12 x 103 + 0.00 x 103= 0.12 x 103 = 120

  12. Perkalian/pembagian Ubahbilangankef.p Untukperkalian : jumlahkaneksponendankalikanmatise Untukpembagian : kurangkaneksponendanbagikanmatise Tulishasildalamf.psesuaidengandesimal yang diminta Contoh. x = 123.75 dan y = 0.14 (2 desimal) x = 0.12375 x 103 = 0.12 x 103 y = 0.14 = 0. 14 x 100 x . y = (0.12 x 103) . (0.14 x 100)= 0.0168 x 103 = 0.02 x 103 = 20

  13. Akurasi Dan Presisi

  14. Akurasi Dan Presisi • Nilaipresisimengacupadajumlahangkasignifikan yang digunakandansebaranbacaanberulangpadaalatukur. • Nilaiakuratatauakurasimengacupadadekatnyanilaipendekatanyang dihasilkandengannilaiacuanataunilaieksak. Misalkannilaieksakdiketahui½, sedangkanhasilpendekatanadalah 0.500001 makahasilinidikatakanakuratbilatorelansinya10-4. • Dari keadaanakuratdanpresisiini, akanmunculapa yang dinamakankesalahan(error).Dalamanalisanumerik, dimanapenyelesaiandihitungmenggunakannilai-nilaipendekatan, error menjadihal yang sangatpentingdandiperhatikan.

  15. AnalisisGalat • Galatberasosiasidenganseberapadekatsolusihampirandengansolusisejatinya • Bagaimanagalattimbul • Bagaimanamenghitunggalat

  16. Alur perhitungan Sumber-sumber galat : Galat yang ada pada input : Chopping error Rounding error Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak Input Proses Output

  17. Galat yang ada pada proses : Rambatan galat Rumus/metode/algoritma tidak tepat Kesalahan alat Human error Galat pada output : Chopping error Rounding error

  18. Misal x adalahnilaieksakdan x* adalahnilaipendekatan/hampiranmakagalat = x – x* Galatabsolut ? a = |x – x*| Galatabsolutrelatif ? Galatrelatifsejati r =

  19. Misalnilaisejati 10/3 dannilaihampiran 3.333 • Hitunggalat, galatmutlakgalatrelatif, dangalathampiran! Galat = 10/3-3.333 = 10/3-3333/1000 = 1/3000= 0.000333… Galatmutlak=|0.000333…| = 0.000333… Galatrelatif = (1/3000)/(10/3) = 1/10000 = 0.0001

  20. Galat RelatifHampiran • Dalampraktektidakdiketahuinilaisejati x, karenaitugalatseringkalidinormalkanterhadapsolusihampirannya, sehinggaseringdisebutgalatrelatifhampiran (ERA) • PendekatanLelaran (iteration) • 𝞮.ra = • Iterasiberhentijika |ERA| < Es

  21. Contoh soal Misalkanprosedurlelaran Xr+1 = ( Misalkan x0 (nilaisejatidugaanawal) 0.94 danEs yang diinginkanadalah 0.000065 .berapakahnilaisejati yang dapatdipakaiuntukpengukuran?

  22. Deret Taylor • Fungsikompleks disederhanakandenganbentukpolinom • Galatpadasolusinumerikharusdihubungkandenganseberapatelitipolinommenghampirifungsisebenarnya • Tool untukmembuatpolinomhampiranadalahderettaylor

  23. Definisi Andaikan f danturunannya f’, f’’, f’’’ dst di dalamselang [a,b]. Misalkan x0makauntuknilainilai x disekitar x0 dan x 𝞮 [𝑎,𝑏] , f(x) dapatdiperluas (diekspansi) kedalamderettaylor : +…+… x x0

  24. Definisi • Derettaylor = takberhingga • Jika a = 0 makaakanmenjadideretMacLaurin

  25. contoh • Hampiri fungsi f(x) = sin x kedalamderettaylor di sekitar xo = 1 • f(x) = sin x • f’(x) = cos x • f’’(x) = - sin x • f’’’(x) = -cos x • Dst…. ++…

  26. contoh • Bila dimisalkan x-1 = h, maka = 0.8415 + 0.5403h-0.4208 - 0.0901

  27. Karenasuku-sukuderet Taylor tidakberhinggabanyaknya, maka -untukalasanpraktisderet Taylor dipotongsampaisukuordetertentu. Deret Taylor yang dipotongsampaisukuordeke-n dinamakanderet Taylor terpotongdandinyatakanoleh: yang dalamhalini, disebut galat atau sisa (residu).

  28. Dengandemikianderet Taylor yang dipotongsampaisukuordeke-n dapatditulissebagai yang dalamhalini,

  29. Sebagaicontoh, sin(x) padaContoh 2.1 jikadihampiridenganderet Taylor orde4 di sekitar x0 = 1 adalah:

  30. Contoh. • DeretMacLaurin

  31. Uraikancos(x) dalamderetMaclaurin! f(x) = cos(x), f ‘(x) = -sin(x), f “(x) = -cos(x), f “’(x) =sin(x), f’’’’(x) = cos(x), danseterusnya. DeretMaclaurin=

  32. Deret Taylor & Deret MacLaurin • Deret Taylor di titik a • Jika a = 0 makaakanmenjadideretMacLaurin

  33. Deret Taylor danderetMacLaurindapatdigunakandalamperhitunganuntukmencegahhilangnyaangkasignifikan Contoh. Untuk x = 0.5 maka sin 0.5 – 0.5 = 0.02057 (4 a.s) Diperoleh 0.02031 (4 a.s)

  34. Macam-macam galat • Chopping error Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta Contoh. x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal x* = 0.378x103 galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103| = 0.000456x103 = 0.456

  35. Round off error Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai Contoh. x = 0.378546x103dibulatkan menjadi 3 desimal x* = 0.379x103 galat a = |x – x*| = |0.378546x103 – 0.379x103| = 0.000454x103 = 0.454

  36. Truncation error Galat yang munculakibatpemotongan proses hitungtakhingga, misalderet Taylor, deretMacLaurin Contoh.

  37. GalatPemotongan(Truncation error) • Galatpemotonganmengacupadagalat yang ditimbulkanakibatpenggunaanhampiransebagaipengganti formula eksak, maksudnyaEkspresimatematika yang kompleksdigantidengan formula yang sederhana • Banyakmetodenumerikdiperolehdenganpenghampiranfungsiderettaylor. (pemotongannyapadaordetertentu)

  38. menghampirigalatpemotonganinidenganrumussukusisa • Nilai Rn yang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita tidak mengetahuinilaic sebenarnyaterkecualiinformasibahwac terletakpadasuatuselangtertentu. Karenanyatugaskitaadalahmencarinilaimaksimumyang mungkindari|Rn|untukc dalamselang yang diberikanitu, yaitu:

  39. Contoh Gunakanderet Taylor orde 4 di sekitar x0 = 1 untukmenghampiriln(0.9) danberikantaksiranuntukgalatpemotonganmaksimum yang dibuat • Penyelesaian: Tentukanturunanfungsif(x) = ln(x) terlebihdahulu f(x) = ln(x)  f(1)=0 f ’(x) = 1/x  f ‘(1)=1 f “(x) = -1/f “(1) = -1 f ‘’’(x) = 2/f ‘’’(1) = 2

  40. DeretTaylornyaadalah

  41. dannilai Max |24/c5} di dalamselang 0.9 < c < 1 adalahpadac = 0.9 (denganmendasaripadafaktabahwasuatupecahannilainyasemakinmembesarbilamanapenyebutdibuatlebihkecil), sehingga • Jadiln(0.9) = -0.1053583 dengangalatpemotonganlebihkecildari 0.0000034.

  42. Galattotal • Galatakhirataugalat total ataupadasolusinumerikmerupakanjumlahgalatpemotongandangalatpembulatan. MisalnyapadaContohsebelumnyakitamenggunakanderetMaclaurin orde-4 untukmenghampiricos(0.2) sebagaiberikut:

  43. Nested form • Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat • Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3 f(0.25) = 4.521875 • Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4))) • f(0.25)=3.896875 • Galat yang terjadi 0.625

  44. Hilangnya angka signifikan • Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik • Contoh. 13 = 13.0000 6 a.s 6 a.s 0.0385 3 a.s

More Related