1 / 66

MATEMATIKAI PARADOXONOK

MATEMATIKAI PARADOXONOK. KPSZTI 2011. NOV. 11. A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE. Önellentmondás: hétköznapi: „Most hazudok.” (még jobb: „Most őszinte voltál?” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen) halmazelméleti: katona borbély Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van.”

mya
Download Presentation

MATEMATIKAI PARADOXONOK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. MATEMATIKAI PARADOXONOK KPSZTI 2011. NOV. 11.

  2. A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE • Önellentmondás: • hétköznapi: „Most hazudok.” (még jobb: „Most őszinte voltál?” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen) • halmazelméleti: katona borbély • Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van.” • Meghökkentő eredmény • Logikai: Minden krétai hazudik – mondja egy krétai. • Infinitezimális: nyílvessző és a céltábla • Statisztikai/valószínűségi: ezekről lesz szó

  3. 10 paradoxon • Születésnap • Simpson • Szerencsejátékok • Monty Hall • Választási • Jákob és Lábán • Bertrand • Titkárnő-házasodási • Kockázási

  4. 9 paradoxon – 9 matekóra • Egyszerűek: alap matek • Meglepőek • Célközönség: mérnökpalánták

  5. TITKÁRNŐ-PARADOXON (1966)

  6. A feladat titkárnői álláshirdetésre sok a jelentkező nincs idő mindegyiket meghallgatni Hány jelöltet elég behívni interjúra, hogy a lehető legjobbat vegye föl a cég?

  7. Konkrét feladat 10 jelentkező 5 jelöltet már elutasítottunk megállapodás: a következőt felvesszük, aki jobb minden korábbinál Mekkora a valószínűsége, hogy lesz ilyen?

  8. DOLLY Ő a legjobb Baj lehet: korán döntünk (ál Dolly) pl. a 7. jobb, mint az első 5, de Dolly – aki még jobb – csak a 8. lesz A korai döntést ki kell zárni

  9. Hányadik Dolly?

  10. összesen 37% annak a valószínűsége, hogy a felét elutasítva és a következő legjobbat választva az összes közül a legjobbra találunk.

  11. A feladat módosítása és általánosítása Ha az első 2 titkárnő elutasítása után döntünk: Ha n jelölt közül az első k elutasítása után döntünk:

  12. Hány jelöltet utasítsunk el?

  13. A p(k,10) grafikon

  14. Van-e maximuma a p(k,n) függvénynek? Van (emelt szintű matek):

  15. A megoldás 100 jelentkező közül az első 37-et kell elutasítani, majd ezt követően az első olyat felvenni, aki jobb az első 37-nél VAGY ha nincs ilyen, akkor a 100.-at

  16. Gyakorlati alkalmazhatóság • Nyilván nem így választunk titkárnőt (nem hívunk be mindenkit, nem mondunk rögtön nemet, önéletrajz stb.) • Matterhorn esete

  17. Házasodási probléma (1984) A feladat átfogalmazása: az első valahány kérő után igent mondunk (magyar szakirodalom: Szindbád-probléma) Baj: nem tudjuk előre a kérők számát

  18. Udvarló-idő függvény Feltételezett görbe esetén: görbe alatti terület 37 % - ánál kell most is dönteni

  19. SIMPSON-PARADOXON (1951)

  20. 1. Diszkriminációs probléma Egy nagyvállalatot diszkriminációval vádolnak feminista szervezetek, miszerint kisebb százalékban vettek fel nőt, mint férfit. Védekezésképpen a cég nyilvánosságra hozza két áruházuk kimutatását, melyben az áll, hogy több nőt vettek fel, mint férfit.

  21. Győr-soproni nők és férfiak

  22. Mitől paradoxon? Külön-külön: nők > férfiak („elnőiesedik a szakma”) Együtt: férfiak > nők (feminista érv) Mikor léphet föl? Ha egy csoportot kétféleképpen is felbontunk (Győr-Sopron, ill. férfiak-nők) két vagy akár több részre Leírás: Simpson (1951) Valóság: Berkeley-egyetem (70-es évek) női egyenjogúsági kérdés

  23. Mi az oka? Most: egyenetlen volt a jelentkezés Győr: 250 hely, 600 jelentkező 2,4-szeres túljelentkezés A jelentkezők 17%-a nő Sopron: 20 hely, 220 jelentkező 11-szeres túljelentkezés A jelentkezők 45%-a nő: „bátrabbak” voltak a soproni nők

  24. 2. H1N1-probléma

  25. Mitől paradoxon? Nyilván nem reprezentatív a minta: férfi (500) > nő (120), aki nem oltatta be magát beoltott (620) > nem beoltott (200) Férfinak és nőnek egyaránt megéri, de „embernek” nem! (Orosz Gyula)

  26. Példagyár

  27. Mekkora lehet n? Ahonnan 400 < n < 580 adódik.

  28. Koordináta-rendszer Meredekség: felvételi arány

  29. SZÜLETÉSNAP-PARADOXON

  30. Alapfeladat: Hány fős társaság esetén lesz valószínűbb az, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? Tippelj!

  31. 1. segédfeladat: Hány fő esetén lesz biztos, hogy lesz két olyan ember, akinek egy napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!) Skatulyaelv alapján nyilván: 366 fő esetén

  32. 2. segédfeladat: Egyszerűsítsük le a feladatot egyhétre: Hány fő esetén lesz biztos, hogy a hét ugyanazon napjára (hétfő, kedd stb.) esik két ember születésnapja? Hasonlóan, nyilván: 8 fő esetén

  33. 3. segédfeladat Mi a valószínűsége annak, hogy 6 fő közül 2-nek ugyanarra a napra (a hét ugyanazon napjára) esik a születésnapja? Értelmezés: legalább 2-nek

  34. Megoldás kedvező eset: összes – rossz

  35. Táblázat a p(n) függvényhez

  36. A p(n) grafikon

  37. 4. segédfeladat Vissza az eredeti éves feladathoz: Hány fős társaság esetén lesz 96% a valószínűsége annak, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)

  38. Összes – rossz

  39. Ábrázolás helyett táblázat

  40. Próbálgatás

  41. Megoldás éves feladat: 48 fő esetén lesz 96 % a valószínűsége annak, hogy ketten ugyanazon a napon születtek hetes feladat: 6 fő esetén lesz 96 % ez a valószínűség

  42. A p(n) grafikon

  43. Mitől paradoxon? Nagy n-re: p(n) közelítőleg konstans • p = 100%: n = 366 esetén • p = 99%: n = 57 esetén (84%-kal kisebb!) Kis n-re: p(n) függvény nagyon meredek • Az eredeti feladat (p > 50%) megoldása is meglepő: 23 fő (ellenőrizhető egy osztályban vagy egy konferencián)

  44. VÁLASZTÁSI PARADOXONOK

  45. 1. Családi kirándulás Az apának van kedve kirándulni, de ideje nincs, a gyereknek fordítva, az anyának kedve és ideje is van. Hogyan döntsenek „demokratikusan”?

  46. Kiértékelés

  47. Bíró-paradoxon • kollektív döntések meghozatala esetén • probléma: mi szerint összegezzünk? • premisszák (kedv, idő) • konklúziók (voks)

  48. 2. Elnökválasztás 3 jelölt (A, B, C) közül választunk 7 szavazó 4 ABC, 3 BCA szavazat Kérdés: lehetséges-e, hogy bizonyos pontozásnál • A nyer, • B nyer, • C nyer, • A és B holtversenyben nyer?

  49. Megoldás

  50. Mitől paradoxon? • majdnem tetszőleges sorrend előállítható • utólag befolyásolhatjuk a választás eredményét, ha nem tisztázzuk előre a pontozást • megnyugtató: C nem nyerhet

More Related