Gerenciamiento Técnico de Proyectos

1. Gerenciamiento Técnico de Proyectos Clase Nro 16 b Elementos de Estadísitica – Nociones de Probabilidad

2. Probabilidad La probabilidad es una medida de la posibilidad de ocurrencia futura de un evento. • Puede asumir sólo valores entre 0 y 1 • Un valor cercano a cero significa que el evento es poco posible que ocurra. Un valor cercano a uno indica que es muy probable que ocurra. • Hay tres definiciones de probabilidad: clásica, empírica y subjetiva. Clase 16b - Nociones de probabilidad

3. Definicionescontinuación • La definición Clásica se aplica cuando hay n resultados equiprobables (que tienen la misma probabilidad de ocurrencia). • La definición Empírica se aplica cuando la cantidad de veces que el evento ocurre se divide por la cantidad total de observaciones. • La probabilidad Subjetiva se basa en cualquier información disponible. Clase 16b - Nociones de probabilidad

4. Definicionescontinuación • Un experimento es la observación de cierta actividad o el acto de tomar alguna medida. • Una observación es el particular resultado de un experimento. • Un evento es el conjunto de resultados de un experimento. Clase 16b - Nociones de probabilidad

5. Eventos Mutuamente Excluyentes • Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera de ellos implica que ninguno de los otros puede suceder al mimo tiempo. • Dos o más eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia de otro Clase 16b - Nociones de probabilidad

6. Eventos Colectivamente Exhaustivos Dos o más eventos son colectivamente exhaustivos si al menos uno de ellos debe ocurrir cuando se realiza un experimento. Clase 16b - Nociones de probabilidad

7. Ejemplo 1 Un dado se lanza una vez. • El experimento es lanzar el dado. • Los resultados posibles son los números 1, 2, 3, 4, 5, 1 6. • Un evento es la ocurrencia de un número par. Es decir, anotaremos los resultados 2, 4, y 6. Clase 16b - Nociones de probabilidad

8. Ejemplo 2 Durante su carrera, la profesora Varela ha calificado con 10 a 186 de 1200 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno en su clase reciba un 10 como calificación el próximo año? • Este es un ejemplo de probabilidad empírica. • Para encontrar la probabilidad de que un alumno reciba un 10: Clase 16b - Nociones de probabilidad

9. Probabilidad Subjetiva Algunos ejemplos de probabilidad subjetiva son: • estimar la probabilidad de que Boca Juniors gane el torneo apertura este año. • estimar la probabilidad de que la tasa de interés para prestamos hipotecarios alcance al 8 por ciento. Clase 16b - Nociones de probabilidad

10. Reglas Básicas de Probabilidad Si dos eventos AyBson mutuamente excluyentes, la regla especial de suma indica que la probabilidad de que ocurra A o que ocurra B es igual a la sima de sus respectivas probabilidades: P(A o B) = P(A) + P(B) Clase 16b - Nociones de probabilidad

11. Ejemplo 3 Una compañía de aviación ha suministrado la siguiente información sobre sus vuelos de Boston a Nueva York: Clase 16b - Nociones de probabilidad

12. Ejemplo 3 continuación • Si A es el evento de un vuelo llegando en forma anticipada, entonces P(A) = 100/1000 = 0,10. • Si B es el evento de un vuelo llegando tarde entonces P(B) = 75/1000 = 0,075. • La probabilidad de que un vuelo llegue tarde o en forma anticipada es: P(A o B) = P(A) + P(B) = 0,10 + 0,075 =0,175. Clase 16b - Nociones de probabilidad

13. Regla del Complemento La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que un evento ocurra restando la probabilidad de que el evento no ocurra a 1. Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) es el complemeto de A, P(A) + P(~A) = 1 o P(A) = 1 - P(~A). Clase 16b - Nociones de probabilidad

14. A ~A Regla del Complemento continuación • Un diagrama de Venn ilustrando la regla del complemento aparece como: Clase 16b - Nociones de probabilidad

15. Ejemplo 4 Con los datos del ejemplo 3 y usando la regla del complemento encontrar la probabilidad de que un vuelo llegue anticipadamente (A) o tardeo (B) Si C es el evento de un vuelo llegando en horario, entonces P(C) = 800/1000 = 0,8. Si D es el evento de un vuelo cancelado, entonces P(D) = 25/1000 = 0,025. Clase 16b - Nociones de probabilidad

16. D 0,025 C 0,8 ~(C o D) = (A o B) 0,175 Ejemplo 4 continuación P(A or B) = 1 - P(C or D) = 1 - [0,8 +0,025] =0,175 Clase 16b - Nociones de probabilidad

17. La Regla General de la Suma Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(AyB) Clase 16b - Nociones de probabilidad

18. B A and B A La Regla General de la Suma • El diagrama de Venn que ilustra la regla: Clase 16b - Nociones de probabilidad

19. TV 175 Ambos 100 Stereo 320 Ejemplo 5 En una muestra de 500 estudiantes, 320 dicen tener un stereo, 175 dicen tener un TV y 100 dicen tener ambos: Clase 16b - Nociones de probabilidad

20. Ejemplo 5 continuación • Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ese estudiante tenga solo un stereo, sólo una TV o ambos, stereo y TV? P(S) = 320/500 = 0,64. P(T) = 175/500 = 0,35. P(S y T) = 100/500 = 0,20. Clase 16b - Nociones de probabilidad

21. Ejemplo 5 continuación • Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ese estudiante tenga un stereo o un TV? P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = 0,64 +0,35 – 0,20 = 0,79. Clase 16b - Nociones de probabilidad

22. Probabilidad Conjunta La probabilidad conjunto mide la chance de que dos o más eventos ocurran simultáneamente. • Un ejemplo sería el evento en que un estudiante tenga un stereo y un TV. Clase 16b - Nociones de probabilidad

23. Regla Especial de la Multiplicación La regla especial de la multiplicación requiere que ambos eventos A and B sean independientes. • Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad de ocurrencia del otro. • La regla se traduce en: P(A y B) = P(A)*P(B) Clase 16b - Nociones de probabilidad

24. Ejemplo 6 Cristina posee dos acciones, IBM y General Electric (GE). La probabilidad de que la acción de IBM aumente su valor el próximo año es de 0,5 y la probabilidad de que la acción GE aumente su valor el próximo año es de 0,7. Asumiendo que las dos acciones se comportan en forma independiente, ¡cuál es la probabilidad de que ambas aumenten? P(IBM y GE) = (0,5)*(0,7) = 0,35. Clase 16b - Nociones de probabilidad

25. Ejemplo 6 continuación ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de esas acciones aumente su valor durante el próximo año? (Significa que una de ellas o ambas pueden aumentar.) P(al menos una) = = (0,5)*(0,3) + (0,5)*(0,7) +(0,7)*(0,5) = 0,85. Clase 16b - Nociones de probabilidad

26. Probabilidad Condicional La probabilidad condicional es la probabilidad que que un evento particular ocurra, cuando otro evento y ha ocurrido. • La probabilidad del evento Adado que el eventoB ha ocurrido se escribeP(A|B). Clase 16b - Nociones de probabilidad

27. Regla General de la Multiplicación La regla general de la multiplicación se emplea para encontrar la probabilidad conjunta de ocurrencia de dos eventos. La regla establece que para dos eventos A y B, la probabilidad de que ambos eventos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de ocurrencia del evento A por la probabilidad condicional de B dado que A ha ocurrido. Clase 16b - Nociones de probabilidad

28. Regla General de la Multiplicación La probabilidad conjunta , P(AyB) está dada por la siguiente fórmula: P(Ay B) = P(A)*P(B/A) o P(AyB) = P(B)*P(A/B) Clase 16b - Nociones de probabilidad

29. Ejemplo 7 El rector de la escuela de negocios de la universidad del salvador ha recolectado la siguiente información sobre los alumnos no graduados de su escuela: Clase 16b - Nociones de probabilidad

30. Ejemplo 7 continuación Si un estudiante es elegido al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea femenino (F) y estudie economía (A) P(A y F) = 110/1000. Si un estudiente es de sexo femenino, ¿cuál es la probabilidad de que ella estudie economía P(A|F) = P(A yF)/P(F) = [110/1000]/[400/1000] = 0,275 Clase 16b - Nociones de probabilidad