6 La charge électrique et l’interaction électrostatique

1. 6 La charge électrique et l’interaction électrostatique 6.1.1La charge électrique : Les phénomènes électriques fondamentaux s’expliquent par l’existence de deux charges. Deux particules se repoussent, elles appartiennent à la même classe. Elles s’attirent si elles appartiennent à deux classes différentes. L’électron a une charge dite négative, (par convention) Le proton a une charge dite positive. Il existe le neutron qui lui n’a pas de charge.

2. 6.1.2Conservation de la charge : La charge électrique totale d’un système isolé, est la somme algébrique des charges positives et négatives. Cette charge totale ne change jamais. 6.1.3Quantification de la charge : Un nombre considérable d’expériences a montré que dans la nature, la charge électrique est toujours un multiple entier d’une charge élémentaire notée e, la charge de l’électron (mise en évidence par Millikan 1913) Pour nous nous considérerons les particules chargées comme des charges ponctuelles. 6.1.4Influence de la distance : L’interaction électrostatique est une interaction à grande distance, en effet pour deux charges ponctuelles la force varie en . Lorsque la distance augmente, la force décroît relativement lentement.

3. 6.1.5Loi de Coulomb: L’interaction entre 2 particules chargées au repos se manifeste par une force dont l’expression est: La constante La permittivité du vide

4. F21 F31 u31 u21 q2 q1 q3 F21 + F31 6.1.6Principe de superposition : C’est le principe de superposition

5. Dans un système de charges immobiles, l’interaction de deux quelconques d’entre elles est la même que si elles étaient seules. Ce principe est extrêmement important car il permet de ramener l’étude de l’interaction de deux systèmes de charges à celle de l’interaction de deux charges ponctuelles.

6. 6.1.7 Densité de charges : à l’échelle des charges ponctuelles (atomique) discontinue soit une petite portion d’un corps chargé, de volume Dtautour deM Dttrès petit à l’échelle du corps (élément différentiel) Dttrès grand à l’échelle atomique (distribution uniforme)

7. On appel densité volumique de charge r : r = DQ/Dt. rindépendant de la forme exacte de Dt . On obtient la charge totale en intégrant sur tout le volume. Pour calculer la force de Coulomb exercée sur une charge q0placée en P à une distance r, on remplace les sommes algébriques (principe de superposition) par des intégrales portant sur des charges élémentaires rdt.

8. Charge totale DQ àl’intérieur Ds e DS >> e2 Zone où sont concentrées les charges Il existe des situations où les charges sont concentrées au voisinage d’une surface, c’est à dire, réparties sur une épaisseur très faible par rapport aux dimensions du corps. Soit DQ DS Et donc : rq : On peut faire facilement le lien avec r. densité linéaire de charges :

9. 6.2.1Champ électrostatique : Pourdeux particules chargées. Reprenons la loi de Coulomb : Pour un ensemble de particules agissant sur une autre cette expression devient : (principe de superposition) si on enlève la charge q0 du point M, l’effet des autres, dans Dtautour de M, existe toujours. On introduit donc la notion de champ électrostatique. Le champ est une force par unité de charge sur q0 (due à toutes les autres charges, sources de champ). C’est un vecteur que l’on obtient en divisant la force de Coulomb par la charge q0 :

10. est la contribution de chaque charge dans le volume Dtautour du point M, le champ électrostatique apparaît comme une propriété locale de l’espace, c’est à dire à l’échelle microscopique. Rq: Si on connaît le champ électrique dans une région quelconque, il n’est pas nécessaire de connaître les sources du champ. Si on place une charge q dans cette région, l’expression de la force s’écrit donc :

11. Les lignes de champ:

12. 6.2.2 Cas d’une répartition continue de charge : M rdt u P dE Considérons une répartition continue de charges à l’intérieur d’un volume t, en chaque point M du volume t il existe une densité volumique de charge r(M) = dq/dtoù dq désigne la charge électrique contenue dans l’élément de volume dtentourant le point M. Le champ créé en un point P par une charge dq a pour expression :

13. 6.3 Deuxième propriété fondamentale : est à circulationconservative 6.3.1 La circulation du champ électrostatique Définition de la circulation d’un vecteur: On appelle circulation du vecteur (ou d’un vecteur en général) le long de la courbe G entre les points M1 et M2 l’intégrale: Une force est à circulation conservative, si le travail effectué par la force quand on déplace la particule de A vers B est indépendant du chemin suivi. Ceci est le cas pour les forces centrales dont les normes ne dépendent que de la distance entre les deux points et dont la direction est suivant la ligne qui les joint.

14. C’est le cas de la force électrostatique. Comme , la circulation de créé par une charge ponctuelle ne dépend pas du chemin. Sachant également qu’un champ électrostatique est la superposition de champs créés par des charges ponctuelles : La circulation du champ électrostatique entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi : 6.3.2 Définition du potentiel électrostatique

15. Unité : le volt (un travail de 1 Joule est nécessaire pour déplacer une charge de 1 Coulomb à travers une différence de potentiel de 1 Volt). 6.4.3 Dérivation du champ à partir du potentiel On en déduit que : • On dit que dérive du potentiel V, les surfaces V(x,y,z) = cte sont des surfaces équipotentielles. Les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles

16. Rq : Lorsqu’on déplace une charge sur une surface équipotentielle, on ne fournit aucun travail. En effet : 6.4.4 Potentiel d’une distribution de charge • Pour N charges, du principe de superposition du champ total (somme vectorielle des champs créés par N charges),on en déduit l’addition scalaire des circulations élémentaires Le potentiel total V est donc : et pour une densité volumique de charge :

17. 2.4.4.1 Le Dipôle électrique Potentiel électrostatique Soit deux charges égales et opposées +q et –q situées à une distance 2a sur l’axe x. Le potentiel en M est or

18. donc on obtient: et en se limitant au 2è ordre :

19. de même : on obtient donc : Nous avons fait un développement limité a l’ordre 2, c.a.d. une approximation, justifiée si M est loin du dipôle. Regardons, dans ce cas les termes r1r2 et r1-r2 de l’expression de V originale, r1r2 devient r2 etla différence r1-r2 est égale à la projection de l’une sur l’autre.

20. r1-r2donc A1H = a cosq

21. Le potentiel en M est donc, en introduisant le moment dipolaire P=q2a, avec Définitions : On appelle dipôle électrostatique le système constitué par deux charges opposées, placées en deux points dont la distance est très inférieure à toutes les autres distances considérées. On appelle moment dipolaire, le vecteur défini par :

22. L’énergie électrostatique 6.4.5.Energie potentielle électrostatique: Commençons à calculer le travail qui doit être fourni pour amener des charges dans un arrangement particulier. Soit deux charges q1 et q2 placées à très grande distance, donc sans interaction. Le travail a fournir est égal : (le signe – vient du déplacement négatif )

23. Le travail total pour assembler les trois charges, est donc : Nous appellerons U énergie potentielle électrostatique de cet arrangement particulier. Cette énergie potentielle n’est définie qu’à une constante additive près. L’extension à un nombre quelconque de charges : Le facteur ½ tient compte du fait que chaque couple ij est compté deux fois dans la double somme.

24. 6.4.6.Energie potentielle en fonction du potentiel V: U peut s’écrire : Dans le cas d’une distribution volumique de charges, on remplace la somme par l’intégrale sur tout le volume chargé :

25. 6.5Les condensateurs E = O E E0 E0 6.5.1.Définition Un condensateur est un système de deux conducteurs en influence. conducteur isolant + + + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + - - - - + + + +

26. 6.5.2. Capacité d’un conducteur isolé On appelle alors capacité du conducteur seul dans l’espace, le rapport: (l’unité est le Farad F) • qui est caractéristique de la géométrie du conducteur. 6.5.3.Les condensateurs Dans l’intervalle e entre P1 P2les lignes de champ (sauf sur les bords) partent perpendiculairement à P1 (s1>0) et arrivent normalement à P2 (s2<0).

27. P1 P2 V1 E0 +s -s V2 = 0 x 0 e Les équipotentielles sont des plans parallèles à P1 et P2. . Le champ est uniforme. Et , on en déduit que s est aussi uniforme sur P1 et P2: et la différence de potentiel U12 = V1-V2 entre P1 et P2 : donc Le coefficient C est appelé capacité du condensateur:

28. 6.5 4Energie d’un condensateur Si on décharge un condensateur en reliant électriquement les deux armatures, l’énergie potentielle électrique diminue. Le courant provoqué par le passage de la charge Q fournit toujours de l’énergie à l’extérieur, soit sous forme de chaleur, soit sous forme de travail. C’est cette énergie emmagasinée dans le condensateur, parce qu’il est chargé, qu’on appelle l’énergie du condensateur : Si on introduit la capacité C du condensateur telle que et U la différence de potentiel entre les deux armatures telle que Q=CU, on obtient:

29. 6.5 5Groupement de condensateurs - + U +Q -Q +Q -Q B1 A2 B2 A1 6.5 5 1Condensateurs en série: On branche entre A1 et B2 un générateur. L’ensemble A2 + B1 doit resté neutre. A1 prend la charge Q. Par influence B1 prend la charge –Q.Comme A2 + B1 est neutre, A2 prend la charge +Q.Et par influence B2 la charge –Q.

30. On a donc: Puisque or donc Les deux condensateurs en série sont équivalents à un condensateur de capacité C, telle que:

31. U + - +Q1 -Q1 B1 A1 -Q2 +Q2 A2 B2 6.5 5 2Condensateurs en parallèle : Les condensateurs en parallèle sont équivalents à un condensateur de capacité C telle que: