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TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE

TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE. Transformée de Fourier Discrète introduction. Transformée de Fourier Discrète Théorème de Shannon. Signal à bande limitée X(f)=TF (x(t)) ; X(f)=0 pour -fmax < f < +fmax

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TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE

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Presentation Transcript

  1. TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE transformée de fourier discréte

  2. Transformée de Fourier Discrèteintroduction transformée de fourier discréte

  3. Transformée de Fourier DiscrèteThéorème de Shannon • Signal à bande limitée • X(f)=TF (x(t)) ; X(f)=0 pour -fmax < f < +fmax • pour échantillonner le signal x(t) sans perdre d ’information (ie, reconstruction sans erreur), il faut que : • sinon on observe un repliement de spectre X(f) x(t) +fmax -fmax t f transformée de fourier discréte

  4. Transformée de Fourier Discrètepériodisation de la TFC par échantillonnage temporel transformée de fourier discréte

  5. Transformée de Fourier Discrèterepliement de spectre dans le domaine fréquentiel transformée de fourier discréte

  6. Transformée de Fourier Discrètedéfinition transformée de fourier discréte

  7. Transformée de Fourier Discrète propriétés transformée de fourier discréte

  8. Transformée de Fourier Discrètediscrétisation T/F=Périodisation T/F (1) transformée de fourier discréte

  9. Transformée de Fourier Discrètediscrétisation T/F=Périodisation T/F (2) • TEMPS FREQUENCE • continu continu • non périodique - Fourier Continue • continu discret • périodique - Série de Fourier • discret continu • Fourier - périodique • discret discret • périodique - périodique • T.Fourier Discrète transformée de fourier discréte

  10. Transformée de Fourier Discréterésolution fréquentielle • x(nT) signal • n = [-N/2, N/2-1]  N points • T période d ’échantillonnage, • fe=1/ T fréquence d ’échantillonnage. • fe1/(2fmax) Shannon • X(m f) = TFD [(x(n T)] • N points en fréquence • f = 1/N T résolution en fréquence • si N  f  • si N f  transformée de fourier discréte

  11. Transformée de Fourier Discrètesignaux de longueur finie: fenêtres (1) transformée de fourier discréte

  12. Transformée de Fourier Discrètesignaux de longueur finie: fenêtres (1) • Exemple de troncature d’un signal par une fenêtre rectangulaire N/2 0 transformée de fourier discréte

  13. Transformée de Fourier Discrèteeffet d ’une fenêtre rectangulaire sur une sinusoïde (2) transformée de fourier discréte

  14. Transformée de Fourier Discrèteeffet d ’une fenêtre de Hanning sur une sinusoïde (3) transformée de fourier discréte

  15. Transformée de Fourier Discrèteeffet des fenêtres sur une sinusoïde (4) transformée de fourier discréte

  16. Transformée de Fourier Discrèterésumé : échantillonnage temps/fréquence/fenêtre • temps fréquence Convolution/fenêtre (fuites) Multiplication/fenêtre transformée de fourier discréte

  17. Transformée de Fourier Discrèteétude de l ’effet de convolution :Fenêtre rectangulaire(1) wr(nT)=1 pour n=[0,N-1] Wr(mf)= sin(N.2.pi.mf)/sin(2.pi.m. f) pour m=[0,N-1] transformée de fourier discréte

  18. Transformée de Fourier Discrèteconvolution par une fenêtre rectangulaire: sinusoïde(2) • Cas d ’une sinusoïde : • N points, T période d ’échantillonnage, • fe=1/ T, f=1/ NT • la TFD sera définie pour 0, f, 2. f , 3.f,….k. f …N/2. f • soit x(n T ) = a.sin(2.pi.f0.n/N) • cas 1: f0 = k. f • cas 2: k.f  f0  (k+1).f transformée de fourier discréte

  19. Transformée de Fourier Discrèteconvolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(3) W(k-1) W(k) W(k+1) X(k f) f(k)=f0 f(k-1) f(k+1) transformée de fourier discréte

  20. Transformée de Fourier Discrèteconvolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(4) W(k-1) W(k) W(k+1) X(k f) f(k) f(k-1) f(k+1) transformée de fourier discréte

  21. Transformée de Fourier DiscrèteFenêtres et leur transformée de Fourier résumé (1) Rectangulaire Hanning Blackman Gaussienne transformée de fourier discréte

  22. Transformée de Fourier Discrètepropriétés des fenêtres : résumé (2) • Fenêtre 1er lobe décroissance largeur lobe • secondaire lobes secondaires principal • (dB) (dB/décade) (*f) • Rectangulaire -13 -20 1. • Hanning -32 -60 1.5 • Hamming -43 -20 1.36 • Kaiser-Bessel -69 -20 1.8 • Flattop -93 0 3.7 • Gaussienne -69 -20 1.9 • rectangulaire : bonne résolution en fréquence, dynamique faible • Hanning : compromis (utilisée en analyse du bruit et vibrations) transformée de fourier discréte

  23. Transformée de Fourier DiscrèteAlgorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(1) •  N Multiplications complexes, (N-1) additions pour chaque m •  N² multiplications complexes • exemple : N= 1000 pts  1.000.000 (X) !! • Algorithme FFT • N=2k   N.log2(N)= k.N • exemple : N=1024  10. 000 (X) • Plusieurs types d ’algorithmes transformée de fourier discréte

  24. Transformée de Fourier DiscrèteAlgorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(2) • Principe : • plusieurs algorithmes et architectures associés permettent de réaliser les calculs en temps réel. transformée de fourier discréte

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