Números Complexos

1. Números Complexos Definição: Um número complexo z pode ser definido como um par ordenado (x, y) de números reais x e y, z = (x, y) (1) sujeito às regras e leis de operações dadas a seguir (2) a (5). (2) (x, 0) = x o par (x, 0) é identificado como o número real x; (0, 1) = i é chamado de unidade imaginária; (x, y) representam a parte real e a parte imaginária, isto é, R(z) = x e Y(z) = y.

2. (3) (x1, y1) = (x2, y2) <=> x1 = x2 e y1 = y2 Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) então (4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2) (5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1) (6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito como a soma de um número real e um número complexo puro z= (x, y) = x+ yi Como consequencia da equação (6), pode se escrever a fórmula (5) como: (x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2 y1)i

3. Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0) Calcular z1 + z2 , z1 x z2 e z12 Solução: z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1) z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3) z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)

4. 2 - Propriedades Subtração (inverso da adição) z1 - z2 = z3 z1 =z2 + z3 ou (x2 , y2) +(x3 , y3) = (x1 , y1) Assim, z1 - z2 = (x1 - x2, y1- y2) = (x1 - x2) + (y1- y2)i Divisão (inversa da multiplicação) (z1 / z2) = z3 se z1 = z2 z3, (z2 0) ou (x2 x3 - y2 y3 , x2 y3 + x3 y2) = (x1 , y1)

5. Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo em relação a x3, y3, temos: z1/ z2 = (x1 x2 + y1 y2)/ (x22+y22 ) + (x2 y1 - x1 y2)i / (x22+y22 ), z2  0. Assim z1/ z2 = z1(1/ z2), 1/(z2 z3) = (1/z2) (1/z3), (z2  0 z3  0) Exemplo: Determine o valor da expressão: [(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i = [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i = [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i

6. Leis para adição e subtração: a) z1 + z2= z2+ z1 (comutativa) b) z1 + (z2+ z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa) c) z1 (z2z3) = (z1 z2)z3 (associativa) d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z3 (distributiva)

7. 3 - Representação gráfica Cada número complexo corresponde a um único ponto, e reciprocamente, no plano cartesiano xy. Exemplo: O número z = -2 + i é representado por

9. 4 - Conjugados complexos Chama-se conjugado do número complexo z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y) Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então z1 + z2 = x1+ x2 - (y1 + y2)i = (x1- y1i) + (x2 - y2i) = z1 + z2 Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos conjugados. - ------- -- --

10. E também valem: z1 - z2 = z1 - z2 z1 z2 = z1 z2 (z1 / z2) = z1 / z2 e ainda: z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu conjugado é um real; z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo e seu conjugado é um imaginário puro; Usando conjugado, pode-se fazer a divisão de dois complexos multiplicando o numerador e o denominador pelo seu conjugado. _____ __ __ ____ _ _ __ ____ __ _ _

11. 5 - Valores absolutos Se x e y são reais, chama-se valor absoluto ou módulo de um número complexo z = x + yi ao real não negativo Assim, Associado a cada número complexo z há 3 números reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam

12. |z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2 e as condições |z| |R(z)| R(z) e |z| |I(z)|  I(z) e que zz = x2 + y2 = |z|2 |z| = |z||z1 z2| = |z1| |z2| |z1 / z2| = |z1| / |z2|, z2 0 e as desigualdades |z1 + z2|  |z1| + |z2| |z1 - z2| | |z1| - |z2| | _ __

13. Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12- 5i Calcule:

14. 6 - Forma polar Sejam r e  as coordenadas polares do ponto representado z, Figura a seguir, onde r  0. Então x = rcos  e y = rsen  e z pode ser escrito como z = r (cos  + i sen ) onde Isto é r = |z| e  é o argumento de z denotado por argz. Quando z  0,  pode ser determinado por tg  = y/ x.

15. Exemplo: Seja Então:

16. 7 - Produto, Potência e Quociente O produto de dois números complexos z1 = r1 (cos 1 + i sen 1) e z2 = r2 (cos 2 + i sen 2) é z1 z2 = r1 r2 [cos (1+2 )+ i sen (1 +2 )]. Logo, arg(z1 z2 ) = arg(z1) + arg(z2) Assim, z1 z2 ...zn = r1 r2 ...rn [cos (1+2 +...+n ) + + i sen (1+2 +...+n )]. Se z = r (cos  + i sen ) e n  Z+,

17. zn = r n (cos n + i sen n). Se r = 1 temos o Teorema De Moivre (cos + i sen) n = cos n + i sen n. O quociente de dois números complexos é dado por (z1/ z2) = (r 1/ r2) [cos (1- 2) + i sen (1- 2)], r2  0. Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação (1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos () - i sen ()] (caso particular). Logo z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-n) + i sen (-n)]

18. Exemplos: Dados os números

19. 8 - Extração de raizes Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zon = z. Podemos escrever z0 = r0 (cos 0 + isen 0) ou r0n = (cos no + isen n0) = r(cos  + i sen ) Se os ângulos são dados em radianos,

20. Onde k = 0, 1, ...(n-1). São os valores de z1/n. Exemplo: Calcular as raizes cúbicas de 8. Neste caso temos os valores z = 8, r = 3 e  = 0. Para k = 0, z0 = 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2 k = 1, z0 = 81/3 [cos (2/3) +i sen (2/3)] = -1 + 31/2i k=2, z0 = 81/3 [cos (4/3) +i sen (4/3)] = 1 - 31/2i

21. 9 - Regiões no plano complexo • A origem z = 0, bem como cada ponto do círculo unitário • |z| = 1, é um ponto de fronteira de qualquer um dos seguintes conjuntos • 0 < |z| < 1 ou 0 < |z|  1

22. Funções Analíticas 1- Funções de uma variável complexa. Se para cada z  S, o valor de uma segunda variável complexa w é determinado, então w é uma função da variável complexa z no conjunto S: w = f(z). Uma função é dita univalente em S se ela tem um valor correspondente a cada valor de z em S. Exemplo: Quais os domínios de cada uma das funções a seguir f1(z) = z3 +2zi - 2 Neste caso é o plano complexo inteiro.

23. f2(z) = |z|. Aqui também é o plano complexo inteiro. f3(z) = 1/(z2+1). Neste caso f3 não está definida em z =  i. Se u e v são funções representando a parte real e a imaginária respectivamente, então: f(z) = u(x,y) + iv(x,y) Exemplo: Se f(z) = z2 = (x+yi)2, então u = x2 - y2 e v = 2xy. Se n é um inteiro não negativo e se a0 a1...an são constantes complexas, a função P(z) = a0 +a1z +...+anzn, an  0 é um polinômio em z, de grau n.

24. 2- Transformação: A função z+2 pode ser vista como uma translação de cada ponto z à posição w = z+2, duas unidades à direita de z. A função w = z leva cada ponto z na reflexão z desse ponto no eixo real. - - A função w = (x2 + y2)1/2 -iy leva os pontos de cada círculo x2 + y2 = c, c  0, em alguns pontos da reta u = c, pois u = (x2 + y2)1/2 . 3 - Limites: Seja f uma função definida em todos os pontos de uma vizinhança de um ponto z0. Lim f(z) = w0 z-->zo

25. Isto significa que, para cada número positivo , existe um número positivo  tal que |f(z) - w0| <  sempre que |z - z0| < , z  z0.

26. Exemplo sobre a determinação de limites. Seja lim f(z) = lim (z2 - 1) / (z - 1) = 2 z-->1 z-->1 Prova: Para z = 1, f(z) não existe. Para z  1, temos f(z) = z + 1. Assim, |f(z) - 2 | = |z +1 -2| = |z - 1|. Logo |f(z) - 2| <  sempre que 0 < |z -1| < . Daí a condição de limite é satisfeita bastando que  = . Quando o limite de uma função f existe em z0, esse limite tem um único valor.

27. Teorema: Sejam f e F funções cujos limites existem em z0: lim f(z) = w0, lim F(z) = W0 z--> z0 z--> z0 Então: lim [f(z) + F(z)] = w0 + W0, lim[f(z)F(z)] = w0W0 z--> z0 z--> z0 E se w0  0, lim [f(z) / F(z)] = w0 / W0 z--> z0 O limite de um polinômio P(z) = a0 + a1z +...+anzn é o valor desse polinômio em z0, para todo z0, lim P(z) = P(z0). z--> z0

28. 4 - Continuidade Uma função f é contínua num ponto z0 se, e somente se, todas as 3 condições a seguir forem satisfeitas: a) f(z0) existe; b) lim f(z) existe e c) lim f(z) = f(z0) z-->z0 z-->z0 Como consequencia, se duas funções são contínuas, sua soma e produto também o são, e o seu quociente é contínuo, exceto nos pontos z, para os quais o denominador se anula. Logo a condição c) acima pode ser escrita como: |f(z) - f(z0)| <  sempre que |z - z0| < . Para cada número positivo  existe um número  satisfazendo a condição acima.

29. Função contínua de função contínua é contínua. Assim, se g(z) é contínua e f é contínua em g(z) então f(g(z)) é contínua em z0. 5 - A derivada A derivada f ’, ou df /dz, de f em z0 é, então, definida por se o limite existe.

30. Exemplo: Seja f(z) = z2. Mostre que f ’(zo) = 2z0 em qualquer z0. Sabemos que

31. 6 - Fórmulas de derivação A diferença fundamental entre a derivada nos reais e nos complexos é que nos complexos o lim na definição de f ’(z) é de dimensão dois. Assim temos: d(c) / dz = 0, c --> constante d(z) / dz = 1 d(cw) / dz = c (dw / dz). Se as derivadas w1’(z) e w2’(z) de duas funções w1 e w2 existem, então d(w1 + w2 ) / dz = d(w1) / dz + d(w2 ) / dz = w1’(z) + w2’(z) d(w1 w2 ) / dz = w1(z) w2’(z) + w1’(z) w2(z)

32. E, se w2(z)  0, d(w1 / w2 ) / dz = [w2(z) w1’(z) - w1(z) w2’(z)] / [w2(z)]2 Para a função composta w1(w2), com w1’(t) existe em t = w2(t) e w2’(z) então, d[w1(w2)] / dz = [dw1 / dw2] [dw2 / dz] Exemplo: Se w1 = z5 e w2 = 2z + 1, então d(2z+1)5 / dz = d(w25) / dz = 5w24 dw2 / dz = 10(2z+1)4.