MULTIVARIABILNI SISTEMI

1. MULTIVARIABILNI SISTEMI III. PROBLEM sistem treh povezanih shranjevalnikov Miha Križaj Grega Valenčič Ljubljana 11.3.2004

2. CILJI • realizacija modelov • analiza odprtozančnega delovanja • implementacija enostavnih metod za načrtovanje regulatorjev • implementacija zahtevnejše metode za načrtovanje regulatorjev • analiza zaprtozančnega delovanja

3. FIZIKALNI MODEL • vhoda: napetosti na črpalkah prvega in tretjega shranjevalnika • izhoda: napetosti na senzorjih drugega in tretjega shranjevalnika

4. LINERIZIRANI MODEL V PROSTORU STANJ • Lineariziran opis problema je skoraj identičen kot pri prvem problemu razlikuje se samo izhodna matrika sistema C

5. NELINEARNI MODEL

6. ANALIZA - INTERAKTIVNOST • vhod u1 ima vpliv na oba izhoda • na izhod y1 ima u1 večji vpliv

7. ANALIZA - INTERAKTIVNOST • u2 ima na oba izhoda približno enak vpliv • sistem je interaktiven

8. ANALIZA – PRIMERJAVA ODZIVA LINEARNEGA IN NELINEARNEGA MODELA • odziva linearnega in nelinearnega modela se dobro prilegata

9. ANALIZA – MATRIKI PRENOSNIH FUNKCIJ • polinomska oblika • faktorizirana oblika

10. ANALIZA – OBLIKE ZAPISA MVS • v prostoru stanj • z diferencialnim operatorjem • zapis z Rosenbrockovo sistemsko matriko • zapis z matriko ulomkov • diferencialne enačbe • matrika prenosnih funkcij • bločni diagram • diagram poteka signalov • simulacijske sheme

11. ANALIZA – POLI IN STABILNOST • poli sistema -0.03882276008368 -0.01746396338439 -0.00201327653194 • poli ležijo v levi polravnini – sistem je stabilen

12. ANALIZA – NIČLE SISTEMA • ničle elementov: I. -0.02120000000000 II. 1.0e+012 * 2.67381712276736 -0.00000000000001 III. 1.0e+005 * 0.00000007812500 + 4.43528163393874i 0.00000007812500 - 4.43528163393874i IV. -0.03248206732685 -0.00461793267315 • prenosnih ni • vhodnih in izhodnih raztavljajočih ni (sist. je spoz. in vod.) • sistemskih ni (ni prenosnih, niti raztavljajočih)

13. ANALIZA – SPOZNAVNOST IN VODLJIVOST • Rank osnovne matrike sistema (število stanj sistema) = 3 • Rank vodljivostne matrike = 3 • Rank spoznavnostne matrike = 3 • Sistem je spoznaven in vodljiv, ker sta ranka obeh matrik enaka številu stanj sistema

14. ANALIZA – FUNKCIONALNA IN IZHODNO FUNKCIONALNA VODLJIVOST • Za funkcionalno vodljivost je potreben in zadosten pogoj, da je pripadajoča matrika prenosnih funkcij nesingularna - determinanta matrike prenosnih funkcij je drugačna od nič - sistem je funkcionalno vodljiv. • Sistem je izhodno funkcionalno vodljiv, če je funkcionalno vodljiv in če prenosne ničle ne ležijo v desni polovici ravnine S - Sistem je funkcionalno vodljiv in nima prenosnih ničel - sistem je izhodno funkcionalno vodljiv.

15. ANALIZA – DETEKTIBILNOST, STABILIZABILNOST, ITERAKTIVNOST GLEDE NA VHODE IN IZHODE • sistem je detektabilen, ker je vodljiv • sistem je stabilizabilen, ker je spoznaven • ker so v matriki prenosnih funkcij izvendiagonalni členi drugačni od nič je sistem interaktiven na vhode. • vsako začetno stanje vpliva na oba izhoda zato je sistem interaktiven.

16. UGLAŠEVANJE M.V. PI REGULATORJA – DAVIDSON* *Primer in razlaga uglaševanja po tej metodi je podrobno predstavljena v skripti: MULTIVARIABILNI SISTEMI, Predstavitev, analiza in načrtovanje skozi primere, Maja Atanasijević-Kunc na strani 114.

17. UGLAŠEVANJE M.V. PI REGULATORJA – PENTTINE-KOIVO* *Primer in razlaga uglaševanja po tej metodi je podrobno predstavljena v skripti: MULTIVARIABILNI SISTEMI, Predstavitev, analiza in načrtovanje skozi primere, Maja Atanasijević-Kunc na strani 128.

18. UGLAŠEVANJE M.V. PI REGULATORJA – MACIEJOWSKI* *Primer in razlaga uglaševanja po tej metodi je podrobno predstavljena v skripti: MULTIVARIABILNI SISTEMI, Predstavitev, analiza in načrtovanje skozi primere, Maja Atanasijević-Kunc na strani 130.

19. UGLAŠEVANJE PI REGULATORJA – 2 UNIVARIABILNA REGULATORJA

20. UGLAŠEVANJE M.V. PI REGULATORJEV – REGULIRNI SIGNALI

21. UGLAŠEVANJE M.V. PI REGULATORJEV – KOMENTAR • uporabili smo razmeroma enostavne metode • tudi uporaba dveh univariabilnih reguluatorjev dosega presenetljivo dobro regulacijo • iz odziva sodeč se je za najboljšo izkazala regulacija po metodi Penttinen-Koivo

22. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – ODZIV (ZAPIS V PROSTORU STANJ) • vidimo, da regulatorja prav tako delujeta tudi, če sta zapisana v prostoru stanj

23. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – POLI IN NIČLE Penttine-Koiv • Poli: -0.0184 + 0.0200i -0.0184 - 0.0200i -0.0012 -0.0106 + 0.0156i -0.0106 - 0.0156i • Ničle: -0.0012 -0.3880 Dva unvar. reg. • Poli: -0.0964 -0.0148 + 0.0146i -0.0148 - 0.0146i -0.0101 -0.0049 • Ničle: -0.0050 -0.0111 • vidimo, da so poli negativni torej sta sistema stabilna • preden smo dodali regulator nismo imeli prenosnih ničel, očitno regulator doda dve prenosni ničli

24. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – DIAGONALNA DOMINANTNOST sistem z P.K. je diagonalno dominanten pri nižjih frekvencah sistem z univariabilnima regulatorjema je diagonalno dominanten

25. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – MATRIKE MAKSIMALNIH PRENIHAJEV Mp[%] sistema z Penttine-Koivo regulatorjem (lin.model): Mp[%] sistema z Penttine-Koivo regulatorjem (nelin.model): Mp[%] sistema z univar. regulatorjema (lin.model): Mp[%] sistema z univar. regulatorjema (nelin.model): Matrika pogreškov je enaka [0,0;0,0], ker imamo PI regulator, in imamo pole v levi polravnini isto velja tudi za nelinearni model.

26. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – CELOSTNOST (LIN. MODEL)

27. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – CELOSTNOST (NELIN. MODEL) Vidimo, da pri izpadu ene zanke se regulacija obstoječe prav tako praktično uniči. Za to sistem ni celosten.

28. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – ISTOLEŽNI ODZIVI LINEARNEGA IN NELINEARNEGA MODELA

29. REGULATOR PO METODI RAZSTAVLJANAJAV KOMBINACIJI Z UV REGULATORJEM • Ker so izvendiagonalni členi matrike prenosnih funkcij različni od nič, v sistemu obstajajo križne povezave • Sistem je mogoče razstaviti ob uporabi povratnih vezav iz spremenljivk stanj, ker je sistemsko pogojena matrika razstavljanja B* nesingularnadet(B*)= 1.0465*10 –6 • Razstavljajoča indeksa sta: d1=1 in d2=0 (sistem ima en dvojni pol)

30. REGULATOR PO METODI RAZSTAVLJANAJAV KOMBINACIJI Z UV REGULATORJEM • Stanja sistema so že izhodi sami, kar precej zmanjša kompleksnost problema • Strukturo regulatorja za razstavljanje predstavlja naslednja bločna shema

31. RAZSTAVLJANJE - UGLAŠEVANJE REGULATORJA • Izračun matrik G0 in F0 za premik zaprtozančnih polov v izhodišče • Določitev matrike F1 za premik polov v želeno (stabilno) lego:

32. RAZSTAVLJANJE - UGLAŠEVANJE REGULATORJA • Nastavimo marike M0, M1 in Γ: • Izračunamo še matirki F in G:

33. RAZSTAVLJANJE - UGLAŠEVANJE REGULATORJA • Zaprtozančni sistem v prostoru stanj ima obliko • Razstavljen sistem nima križnih povezav (izvendiagonalni členi matrike so nič), zato lahko uporabimo dva UV regulatorja • Za UV regulatorja sva uporabila parametre: K1 = 1, I1 = 0.015inK2 = 1, I2 = 0.02

34. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – ODZIV • Odziv linearnega in nelinearnega modela, razstavljenega iz spremenljivk stanj, v kombinaciji z uporabo dveh univariabilnih PI regulatorjev

35. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – POLI IN NIČLE • Poli ZZ (z univariabilnim regulatorjem) sistema so: -0.0136 -0.0132 + 0.0163i -0.0132 - 0.0163i -0.0200 -0.0200 • Prenosni ničli tega sistema pa sta (zaradi PI regulatorja): -0.0200 -0.0150 • Ker vsi poli ležijo v levi s-polravnini, je zaprtozančni sistem stabilen

36. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – DIAGONALNA DOMINANTNOST • Obravnavani sistem jestolpno diagonalno dominanten na izbranem frekvenčnem območju

37. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – MATRIKE MAKSIMALNIH PRENIHAJEV • Mp[%] sistema z razstavljanjem za linearni model: • Mp[%] sistema z razstavljanjem za linearni model:

38. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – CELOSTNOST • Izpad prve in druge zanke za linearni model • Izpad prve in druge zanke za nelinearni model

39. VREDNOTENJE Z.Z. DELOVANJA – ISTOLEŽNI ODZIVI LINEARNEGA IN NELINEARNEGA MODELA

40. ZAKLJUČEK • Ugotovila sva, da je načrtovanje regulacije s pomočjo razstavljanja težavnejše vendar dobimo boljše rezultate. Sam regulator je bolj kompleksen, ker vsebuje dvojno povratno zanko (kaskada). Verjetno je zaradi večje optimiziranosti tudi bolj občutljiv na izpade zank ter motnje.