Tema 4 t cnicas de modulaci n anal gica modulaci n en frecuencia
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Tema 4 Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA. Sumario. Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea. Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM). Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia.

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Tema 4 Técnicas de Modulación Analógica MODULACIÓN EN FRECUENCIA

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Presentation Transcript


Tema 4 t cnicas de modulaci n anal gica modulaci n en frecuencia

Tema 4

Técnicas de Modulación Analógica

MODULACIÓN

EN FRECUENCIA


Sumario

Sumario

Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea.

Modulación de fase (PM) y Modulación de frecuencia (FM).

Determinación de la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia.

Expresiones complejas para una señal modulada en fase y en frecuencia.

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal.

Espectro de frecuencia de una señal modulada en frecuencia.


Sumario1

Sumario

Modulación de frecuencia de banda estrecha o angosta: NBFM .

Modulación de frecuencia de banda ancha: WBFM.

Generación de señales moduladas en ángulo.

Demodulación de FM.

Potencia asociada a una señal con modulación de ángulo.

Sistema de comunicación con modulación angular en presencia de ruido.


Frecuencia de una se al peri dica y frecuencia instant nea

Frecuencia de una señal periódica y frecuencia instantánea

Una señal periódica es aquella que se repite cada T segundos.

Por ejemplo, se puede representar por la expresión:

La Frecuencia puede ser lineal (f) o angular (w).


Frecuencia instant nea de una se al

Frecuencia Instantánea de una señal

Es de interés conocer el valor que toma la frecuencia de la señal f(t) en un instante dado de tiempo ti. El valor que toma la frecuencia de la señal en un instante de tiempo ti , se conoce como frecuencia instantánea de la función f(t).

Veamos dos ejemplos:

Cambios bruscos de Frecuencia

Cambios graduales de Frecuencia


Justificaci n del uso de la modulaci n de frecuencia

Justificación del uso de la Modulación de Frecuencia

En la modulación AM la información se coloca en la amplitud de la señal portadora. Esto es un inconveniente a la hora de recuperar la información pues la misma se contamina fácilmente con el ruido que se agrega en la amplitud. Ante este es posible hacer varia la frecuencia de la señal y mantener constante la amplitud, dando origen a la FM.


Modulaci n de fase y modulaci n de frecuencia

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

Si en la ecuación anterior se considera que el ángulo de fase no es constante sino que puede ser considerado como una función del tiempo, se tiene:

Sea la ecuación:

Al hacer variar φ(t) en esta ecuación, se tendrá una dependencia del tiempo “t” de la fase de la ecuación. Se tiene en este caso una señal modulada en ángulo.


Modulaci n de fase y modulaci n de frecuencia1

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

donde kp es constante y m(t) es la modulante, entonces la señal modulada es:

Fase de la señal

Consideremos la ecuación:

Esta ecuación representa una señal modulada en fase y se denota como gPM(t)


Modulaci n de fase y modulaci n de frecuencia2

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

El índice de modulación de la señal modulada en fase se puede determinar como:

El índice de modulación representa la máxima desviación de fase que puede darse a la función gPM(t) y está dado por el valor máximo de la amplitud de la modulante por la constante kP


Modulaci n de fase y modulaci n de frecuencia3

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

Considere ahora que (t) está dado como la integral de la función m(t), entonces se tiene:

Como vimos previamente:

Si se remplaza por la ecuación previa, se tiene:

Esta ecuación representa la señal modulada en frecuencia y se denota por gFM(t)


Modulaci n de fase y modulaci n de frecuencia4

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

El índice de modulación de la señal modulada en frecuencia se determina por:

El índice de modulación está dado por el máximo valor positivo de la integral de la modulante por el factor de escala kf


Modulaci n de fase y modulaci n de frecuencia5

Modulación de Fase y Modulación de Frecuencia

En resumen, se tiene que las ecuaciones que definen las técnicas de modulación angular y su índice de modulación son:


Frecuencia instant nea para una se al modulada en fase y en frecuencia

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia

Si se toma que (t)=wct + (t), se tiene:

Considérese la ecuación:

La frecuencia instantánea de la ecuación anterior, se define como:

Esta ecuación expresa que la frecuencia instantánea es igual a la variación respecto al tiempo del ángulo de la función


Frecuencia instant nea para una se al modulada en fase y en frecuencia1

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia

Aplicando este criterio a la modulación en fase se tiene:

Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en fase


Frecuencia instant nea para una se al modulada en fase y en frecuencia2

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia

Representación gráfica de una señal modulada en FASE.

Cuando la modulante va de – a + su derivada es positiva, siendo la frecuencia máxima.

Cuando la modulante va de + a - su derivada es negativa, siendo la frecuencia mínima.


Frecuencia instant nea para una se al modulada en fase y en frecuencia3

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia

De igual forma para la modulación en frecuencia se tiene:

Esta ecuación permite determinar la frecuencia instantánea para una señal modulada en frecuencia.


Frecuencia instant nea para una se al modulada en fase y en frecuencia4

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia

Representación gráfica de una señal modulada en FRECUENCIA

Cuando la modulante tiene su máximo “+” su frecuencia es máxima.

Cuando la modulante tiene su máximo “-” su frecuencia es mínima.


Frecuencia instant nea para una se al modulada en fase y en frecuencia5

Conclusión: Al comparar las dos ecuaciones se establece que en la modulación de fase, la frecuencia instantánea varía linealmente con la derivada de la señal modulante, mientras que en la modulación en frecuencia, la frecuencia instantánea varía linealmente con la señal modulante.

Frecuencia instantánea para una señal modulada en fase y en frecuencia

Modulación de Fase

Modulación de Frecuencia


Expresiones complejas para se ales moduladas en fase y en frecuencia

La ecuación para Modulación de fase se puede escribir utilizando la notación compleja, de esta manera:

Expresiones complejas para señales moduladas en fase y en frecuencia

Para la Modulación de frecuencia, se tiene:


An lisis de una se al modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Hasta ahora, el análisis matemático para la modulación en fase y en frecuencia se ha realizado en función de una señal modulante genérica, llamada :

Se considerará a continuación para el análisis, una señal particular y a través de ella, realizar el análisis espectral correspondiente que permita tener una clara idea de cómo se presenta el espectro de la señal modulada en fase y en frecuencia.

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal


An lisis de una se al modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal1

Considérese, que la señal modulante es:

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Reemplazando por la modulante dada, se tiene:

Como:

Entonces reemplazando, se tiene:

Ecuación de PM cuando la modulante es una onda senusoidal


An lisis de una se al modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal2

Considérese, que la señal modulante es:

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Como:

Reemplazando la modulante, tiene:

Al resolver la integral se tiene:


An lisis de una se al modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal3

Ya que el máximo valor de m es:

Análisis de una señal modulada en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

La expresión final es:

Ecuación de FM cuando la modulante es una señal senusoidal


Ndice de modulaci n para modulaci n en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Según se vió, la frecuencia instantánea de una señal modulada está dada por:

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Si consideramos como modulante la señal:

entonces:


Ndice de modulaci n para modulaci n en fase y en frecuencia con modulante senusoidal1

Factorizando, se tiene:

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

El valor máximo que puede tomar el miembro derecho de la ecuación, es kf m0, por tanto:

(Ec. 1)

Sea,

y como

Integrando se tiene:


Ndice de modulaci n para modulaci n en fase y en frecuencia con modulante senusoidal2

Reemplazando en la Ec. 1, se tiene:

Índice de modulación para modulación en fase y en frecuencia con modulante senusoidal

Finalmente:

La ecuación anterior permite determinar la desviación de frecuencia angular de la señal modulada en frecuencia cuando la modulante es una señal senusoidal. Representa el índice de modulación para FM


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm

Por naturaleza la FM posee un ancho debanda amplio, lo cual se constituye en una limitación cuando la disponibilidad de ancho banda es limitada.

Sin embargo, la excelente relación señal a ruido que posee la hace interesante aún a pesar de la limitación anterior.

Se han realizado análisis y estudios que permiten reducir el ancho de banda de esta técnica de modulación, logrando salvar esta limitación.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm1

La ecuación de una señal modulada en frecuencia es:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

(Ec. 2)

En forma compleja se puede escribir:

También la Ec. 2 puede ser reescrita usando identidades trigonométricas como:

(Ec. 3)


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm2

Al observar la ecuación 3 se evidencia su complejidad para resolverla. Para simplificarla se harán algunas consideraciones.

En primer lugar, considérese que los valores de  son pequeños, entonces:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

Los valores de f usuales para las consideraciones anteriores, pueden ser tomados como menores a 0,2 , es decir, f < 0,2. Apliquemos este criterio en la ecuación 3.


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm3

Así, se tiene que:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

(Ec. 4)

La ecuación 4 representa la ecuación para la modulación de frecuencia de banda angosta y se denota como NBFM, donde fes el índice de modulación para FM.

Señal Portadora

Señal Modulante

Índice de Modulación

En ausencia de modulante, solo está presente la portadora de frecuencia wc llamada frecuencia de reposo. En caso contrario, la frecuencia de la señal portadora se desvía por encima y por debajo de wc en un valor dado según f


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm4

Representando la ecuación 4 en forma fasorial, se tiene:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

(Ec. 5)

Consideremos una señal modulada en amplitud:

Escrita en forma fasorial, se tiene:

(Ec. 6)


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm5

Las ecuaciones 5 y 6 pueden ser graficadas tomando como referencia el término de cada una.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm6

  • Realizando una comparación entre los resultados para AM y NBFM se puede establecer lo siguiente:

  • Ambas modulaciones poseen dos bandas laterales y su ancho de banda es igual a 2wm.

  • En AM la modulación se agrega en fase con la portadora mientras que en NBFM se hace en cuadratura.

  • La modulación AM proporciona variación de amplitud sin desviación de fase mientras que NBFM da origen a una variación de fase con muy pequeño cambio de amplitud.

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm7

El desfase se puede determinar a partir del triángulo resultante del diagrama fasorial como:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

Angulo de Desfase

La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es:


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm8

La desviación de la frecuencia instantánea respecto a la frecuencia de la portadora es:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

Análisis: Para evitar variaciones en la amplitud de una señal modulada en frecuencia, se debe restringir el valor de .


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm9

Según el diagrama fasorial b, la magnitud del vector resultante se puede determinar como:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

(Ec. 7)

  • Para que la magnitud de la ecuación 7 se mantenga constante, se deben hacer algunas consideraciones.

  • Si , como sen2wmt≤1 entonces 2 < 1, que nos dice que los valores de  deben ser menores que uno.

  • En la práctica < 0,3, es una buena aprox.


Modulaci n de frecuencia de banda angosta nbfm10

Con las consideraciones anteriores, se garantiza que la amplitud de una señal modulada en frecuencia sea constante, es decir:

Modulación de Frecuencia de banda angosta: NBFM

NOTA: Para que esto se cumpla, el índice de modulación debe ser muy pequeño.


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm

Considérese una modulante senusoidal:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

(Ec. 7)

De la Ec. 7, el ángulo de fase se determina como:

(Ec. 8)


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm1

El segundo exponencial de la ecuación 8, se puede expandir en una serie exponencial de Fourier, resultando:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

en donde:

Si se considera que:

(Ec. 9)


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm2

La solución de la integral de la ecuación 9 se obtiene por medio de la función de BESSEL de primera clase y se indica como , donde n es el orden y  es el argumento.

Los valores de se obtienen a partir de las tablas de BESSEL

La función de BESSEL de primera clase y enésimo orden se denota como:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm3

Teoría de las Funciones de BESSEL

La expresión matemática para determinar los valores de cada uno de los componentes espectrales, está definida como:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

Usando la función de BESSEL, se puede expresar una ecuación en otra forma. Veamos

El argumento de la primera ecuación, es una función trigonométrica, en la segunda es una función trigonométrica con argumento simple.


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm4

Friedrich Wilhelm Bessel

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

Teoría de las Funciones de BESSEL

Normalmente para trabajar con las funciones de Bessel no hay que hacer todos los engorrosos cálculos. Al contrario, es muy simple empleando las tablas ya calculadas, llamadas TABLAS DE BESSEL.

Propiedades de las funciones de BESSEL:


Generaci n de se ales moduladas en angulo

Índice de Modulación

Representa la Portadora de la señal Modulada

Desde J1 Hasta J15 representan las bandas laterales

Funciones de Bessel para valores de n = 0 a n = 15

Generación de Señales Moduladas en Angulo

Para este índice de modulación la portadora se hace CERO !

A mayor índice de Modulación, mayor numero de Bandas Laterales


Generaci n de se ales moduladas en angulo1

Las funciones de Bessel pueden ser graficadas, obteniéndose por ejemplo las siguientes graficas para valores de n = 0 a n = 4

Generación de Señales Moduladas en Angulo


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm5

Retomando el análisis, la ecuación

puede ser reescrita como:

y empleándola en la expresión general para FM:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm6

Analizando la expresión:

Se puede concluir que el ancho de banda de una señal modulada en frecuencia por una onda seno, tiene un número de bandas laterales infinito.

Pero según la tabla de Bessel solo algunas bandas laterales tienen magnitud significativas y en consecuencia el ancho de banda se hace finito.

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm7

CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.

Sea la ecuación de una señal modulada en frecuencia:

Una banda lateral es significativa si tiene magnitud igual ó mayor al 1 % de la magnitud de la portadora no modulada.

Esto es:

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm8

CRITERIO PARA DEFINIR EL ANCHO DE BANDA.

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

Los valores de Jn() son despreciables para n > . Entonces el ancho de banda para FM se puede obtener tomando la última banda lateral significativa en n = , esto es:

Para una forma de onda general, se emplea la regla de Carlson para determinar el ancho de banda:


Modulaci n de frecuencia de banda ancha wbfm9

Modulación de Frecuencia de banda ancha: WBFM

Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.


Generaci n de se ales moduladas en angulo2

CONSIDERACIÓN PRELIMINAR

Según los análisis anteriores, la modulación angular se produce cuando se hace variar el ángulo de fase de una señal portadora de frecuencia wc en dependencia de la amplitud de una modulante.

El tipo de modulación obtenida PM o FM depende de que se use la señal modulante directamente o se utilice como modulante la señal después de ser integrada.

Generación de Señales Moduladas en Angulo


Generaci n de se ales moduladas en angulo3

Generación de NBFM y NBPM.

CASO DE NBPM: Si partimos de la ecuación:

analicemos como generarla…. Una alternativa se muestra en la figura siguiente:

Generación de Señales Moduladas en Angulo


Generaci n de se ales moduladas en angulo4

Generacion de NBPM:

Generación de Señales Moduladas en Angulo

El generador de portadora cuya salida es desfasada en 90 grados para se multiplicada linealmente con la señal f(t) de entrada (modulante) señal senwmt. El índice de modulación se puede controlar por medio de kp. Finalmente la señal de salida de modulador balanceado con ganancia ajustada se suma con la señal portadora sin desfase alguno para dar como resultado la señal de FM de banda estrecha.


Generaci n de se ales moduladas en angulo5

Generación de NBFM y NBPM.

CASO DE NBFM: Si se integra la función antes de ingresar al sistema, se tiene NBFM , según vimos.

Entonces para generar NBFM se tiene:

Generación de Señales Moduladas en Angulo


Demodulaci n de se ales moduladas en angulo

Método Directo

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo

El proceso de demodular una señal de FM involucra un método tal que permita convertir las variaciones de frecuencia en una variación de voltaje. Este sistema debe tener una característica de transferencia lineal, llamado discriminador de frecuencia.

Un circuito con esta característica lo constituye el diferenciador ideal con función de transferencia jw.


Demodulaci n de se ales moduladas en angulo1

Método Directo

La señal de FM es:

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo

(Ec. 48)

Si se aplica la ecuación 48 a la entrada del diferenciador ideal se tiene como salida:

(Ec. 49)


Demodulaci n de se ales moduladas en angulo2

Método Directo

La señal de FM es:

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo

(Ec. 49)

La señal de la ecuación 49 está modulada tanto en frecuencia como en amplitud.

La envolvente de la ecuación 49 es:

(Ec. 50)

De la ecuación 50, se concluye que la envolvente es siempre positiva, es decir, toma valores por encima del eje del tiempo, lo cual permite usar detección de envolvente para obtener la señal m(t) (la modulante).


Demodulaci n de se ales moduladas en angulo3

El esquema de un demodulador de FM es entonces:

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo

La ecuación de salida supone la amplitud constante. Si la amplitud no fuese constante, sino una función del tiempo, se tendría como envolvente:

Esta ecuación indica que la salida del detector de envolvente es proporcional a A(t)m(t).

De acuerdo al resultado de la ecuación 50 es necesario mantener la amplitud constante.


Demodulaci n de se ales moduladas en angulo4

La amplitud se puede mantener constante si se usa un limitador de pasabanda, el cual posee un limitador seguido de un filtro pasabanda.

La expresión de la señal modulada en frecuencia general tiene la ecuación siguiente:

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo

Frecuencia

Fundamental

Frecuencia

Armónicas superiores


Demodulaci n de se ales moduladas en angulo5

El limitador hace la amplitud constante y el filtro pasa banda extrae la señal modulante ubicada en wc .

Demodulación de Señales Moduladas en Angulo


Potencia promedio de se ales moduladas en ngulo

Sea

y

Potencia promedio de señales moduladas en ángulo

Ec. 51

Considerando la ortogonalidad de la función coseno, el valor cuadrático medio de la suma es igual a la suma de los valores cuadráticos medios, por lo cual:

pero


Potencia promedio de se ales moduladas en ngulo1

Obteniendo finalmente que:

Potencia promedio de señales moduladas en ángulo

El valor cuadrático medio de cada banda lateral es:

El valor cuadrático medio es igual a la potencia promedio si se considera como resistencia R = 1 Ohm.

Las bandas laterales o la portadora se pueden hacer tan pequeñas como se desee eligiendo el índice de modulación  apropiado.


Estimaci n de potencia en portadora y las bandas laterales

Estimación de Potencia en portadora y las bandas laterales

Análisis espectral para una señal modulada en frecuencia para diferentes índices de modulación.


Fin del tema 3

Fin del Tema 3


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