Ecuación de Schrödinger Potenciales unidimensionales

1. Ecuación de Schrödinger Potenciales unidimensionales Física 3 -2011 / Daniel Mirabella Facultad de Ingeniería UNMDP

2. Ecuación de Schödinger dependiente del tiempo Energía de una partícula en 1D De Broglie Solución Planck Ecuación de Schrödinger en 1D Función de onda compleja de variable real que representa el estado de la ondícula

3. El lado derecho sólo involucra la variación de Ψ con x. El lado izquierdo de la ecuación sólo involucra la variaciónΨcont. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación Si el potencial es independiente del tiempo Proponemos asi una solución donde x y t son independientes Sustituyendo: Note que: entonces, Esta ecuación es a derivadas totales

4. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoContinuación Dividiendo ambos miembros por ψT (3) Note que el lado izquierdo de la Ec(3) depende sólo de x, mientras que el derecho sólo depende de t. Dado que esto es cierto para todo x y t ambos miembros debe ser iguales a una constante A. Así, Esta ecuación depende sólo del tiempo y da cuenta de la evolución temporal. Esta ecuación depende sólo de x y determina la dependencia espacial.

5. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoEvolución temporal (5) (4) • Esto nos dice que la energía controla la evolución temporal del sistema. • Note que T(t) no depende explícitamente de V(x). Sí depende implícitamente dado • que el potencial, como muestra (3), determina los valores posible de E.

6. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoDerivación de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo Usando que A = E en la Ec(5): Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (ESIT) La solución de la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se escribe como: Note que la densidad de probabilidad no depende del tiempo Por esta razón se conoce a las soluciones de la (ESIT) como de estado estacionario.

7. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempoSoluciones de la ESIT en potenciales constantes por partes La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (6) Puede ser reescrita como (6) donde Notemos que (6)es una ecuación diferencial de 2do orden. Para el caso en que V(x) sea constante podemos usar la función de prueba Y=exp(-ax) y así hallar su polinomio característico siendo las raices características Encontramos que (6) tiene dos posibles soluciones según sus raices caracteristicas sean reales o imaginarias (7) Note que estas soluciones son la prolongación analítica una de la otra para k=+/- ia

8. Movimiento de una partícula clásica en un potencial 1DZonas clásicamente permitidas y prohibidas en un potencial de forma arbitraria E= Ec + Ep =P2/2m +V(x) V(x) E X X1 X2 X3 X4 X5 X6 Zona clásicamente permitida (ZCP) E>=V(x), Ec>=0 Notemos que una partícula clásica en este caso se encuentra confinada a moverse entre los puntos de retorno xi sólo en la regiones donde E>=V(x), esto es donde tiene Ec>=0. Zona clásicamente prohibida (ZCX) E<V(x) No existen soluciones para las regiones donde V(x) >E, por lo tanto son inaccesibles Note que para que la partícula pase de la región [x1,x2] a la [x3,x4] debe ganar una energía extra mayor a Vmax[x2,x3] - E

9. Ondícula en un potencial 1D Escribimos las soluciones de la ESIT para un potencial constante por partes Debemos escribir la ESIT para cada zona V(x) ZCP ZCP E ZCX ZCX ZCX x Solución general para cada ZCP Solución general para cada ZCX dónde dónde Notemos que la solución de la ESIT(6) para las ZCP (k >=0), se escriben como una combinación lineal de exponenciales imaginarias SORPRESA!! Existe solución de la ESIT(6) para las ZCX. Estas presentan valores de k imaginarios y se escriben como una combinación lineal de exponenciales reales

10. Interpretando las soluciones de la ESIT para las ZCPFlujos Solución general para cada ZCP V(x) ZCP ZCP E dónde ZCX ZCX ZCX x Recordemos que de la ESDT pudimos derivar la conservación del flujo de probabilidad. dónde y Dado que trabajamos con soluciones de estado estacionario tenemos que y Por lo tanto Esto es, el flujo de partículas se conserva para todo x. Así podemos calcular le expresión para el flujo para la ZCPl y obtenemos

11. Condiciones de continuidad de la función de onda en las discontinuidades de potencial Note que el comportamiento de la derivada 2da queda determinado por la diferencia (E-V) . De modo que en las discontinuidades del potencial pueden presentarse los siguientes casos: Y continua Y’’ discontinua de 1er orden Y’ continua Y continua Y’’ discontinua de 2do orden Y’ discontinua de 1er orden

12. Escalón de PotencialAplicaciones de la ESIT Determinar los puntos de discontinuidad del potencial 1 Ubicar los puntos de discontinuidad. Enumerar las zonas. Tenemos así tantas Zonas como discontinuidades +1. Tendremos así tantas ESIT y soluciones como zonas hayamos contado. Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona 2 Vemos como es la energia E respecto al potencial para cada zona, determinando si se trata de una ZCP(E>V) [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos)] o una ZCX [cuya solución es una combinación lineal de exponenciales reales]. Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad 3 Evaluamos el cambio que experimenta la energía respecto del potencial en cada punto de discontinuidad y según corresponda aplicamos las condiciones de continuidad correspondiente. V(x) E Modelo ZCP ZCP V=V0 X=0 x Procedimiento metodológico para encontrar la/s solucione/s de la ESIT

13. Escalón de PotencialCálculo para E>V0 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial 1 En este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT. Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona 2 Como E es mayor que V para todo x, entonces las zonas 1 y 2 son ZCP. La solución de la ESIT corresponde a una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). Dado que Ec de las ondículas en la zona 1 y 2 son distintas donde donde P: ¿Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas? V(x) E R:Que las partículas experimenten un cambio en la Ec (y por lo tanto en su velocidad). Disminuye en caso que las partículas viajen de izquierda a derecha o aumente en caso que lo hagan en sentido contrario. ZCP ZCP V=V0 Veamos ahora que ocurre con las ondículas Siguimos el procedimiento que propusimos anteriormente X=0 x

14. Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación) Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad 3 Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y el salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto, la derivada 1era es continua. y y V(x) E ZCP ZCP V=V0 X=0 x Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene El análisis efectuado hasta el momento ha sido suficientemente general al punto que aún no hemos definido desde donde inciden las ondículas. Nótese que si inciden de la izquierda en esta caso representa en flujo de incidente. En este caso no tiene sentido físico el flujo . Por lo tanto podemos reescribir las CC.

15. Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación 2) V(x) E Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que C A V=V0 B Ondículas incidentes Ondículas reflejadas Ondículas Transmitidas X=0 x Sorpresa!!. No teniamos esto en el caso clásico Dado que se conoce el flujo incidente dividiendo miembro a miembro por este se obtiene Donde R se conoce con el nombre de coeficiente de reflexión y T se conoce como coeficiente de transmision. R+T=1expresa la conservación del flujo de probabilidad.

16. Escalón de PotencialCálculo del coeficiente de reflexión y transmisión V(x) E Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión C A V=V0 B X=0 x Note que a diferencia de lo que se espera clásicamente T=1 solo si E>>V0 MUY INTERESANTE: Note que tanto R(E) como T(E) no dependen ni de m (la masa de la partícula) ni de h la constante de Planck. Es decir que este resultado debería ser aplicable a un electrón, un protón, un mosquito, un tren... Y por supuesto también Ud!! Piense acerca de este razonamiento y trate de sacar conclusiones. CURIOSIDAD:Note que tanto R(E) como T(E) son simétricos frente ante un cambio de x -> -x, esto es, permutar k1 con k2. Por lo tanto las ondículas experimentan el mismo cambio tanto al subir como al bajar el escalón.

17. Escalón de PotencialCálculo para E<V0 Determinar los puntos de discontinuidad del potencial 1 En este caso tenemos una sola discontinuidad en x=0. Por lo tanto tenemos dos zonas, que enumeramos como zona 1 (x<=0) y zona 2 (x>0). Así tendremos dos soluciones para la ESIT. Determinamos la naturaleza de la solución para cada zona 2 E es mayor que V para x<0 entonces la zona 1 corresponde a una ZCP. La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales imaginarias (flujos). En el caso de la zona 2 E<V (ZCX) La solución de la ESIT es una combinación lineal de exponenciales reales. donde donde V(x) P:Qué esperaríamos que ocurriera si se tratara de partículas clásicas? R:Que las partículas reboten todas en x=0 y regresen hacia la izquierda. x=0 es un punto de retorno clásico ZCX ZCP V=V0 E Veamos ahora que ocurre con las ondículas Siguimos el procedimiento que efectuado anteriormente X=0 x

18. Escalón de PotencialCálculo para E>V0 (Continuación) Determinamos las condiciones de contorno para cada discontinuidad 3 Notemos que la diferencia entre E y V en la discontinudad (x=0) es finita. Por lo tanto la función es continua y salto en la derivada 2da es finita (discontinua de 1er orden). Por lo tanto la derivada 1era es continua y la función y y V(x) ZCX ZCP V=V0 E X=0 x Notemos que |Y2 (x) |2 representa la probabilidad de encontrar a la partícula para x>0y se debe cumplir que C=0 debe ser finita, entonces Sustituyendo las soluciones y especializándolas en x=0 ,se obtiene En este caso no cabe duda que que las ondículas deben incidir desde la izquierda. Nótese que si inciden de la izquierda, nuevamente que representa el flujo incidente.

19. Escalón de Potencial (E<V)Cálculando el coeficiente de reflexión y transmisión V(x) Por la conservación del fujo de probabilidad sabemos que A V=V0 B Dado que Y2 es real J2=0 E X=0 x Calculamos el coeficiente de transmisión y reflexión Note que obtenemos lo que se espera clásicamente R=1 y T=0

20. Escalón de Potencial (E<V)Interpretando la solución en la ZCX Longitud de penetración para De las desigualdades de Heisenberg

21. Una ondícula en el Escalón de Potencial (E<V)Reflexión de la ondícula.