Cinem tica
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CINEMÁTICA. Definição de Fluido. Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado: O Fluido se deforma continuamente O Sólido se deforma, mas não continuamente. Sólido. Fluido. O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás. Fluido como um Continuo.

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CINEMÁTICA

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Presentation Transcript


Cinem tica

CINEMÁTICA


Defini o de fluido

Definição de Fluido

Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado:

  • O Fluido se deforma continuamente

  • O Sólido se deforma, mas não continuamente

Sólido

Fluido

  • O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.


Fluido como um continuo

Fluido como um Continuo

  • Os fluidos são compostos de moléculas em constante movimento.

  • 1 mol de gás contém 1023 moléculas, não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os efeitos macroscópicos do de muitas moléculas: velocidade, pressão, temperatura, etc.

  • O Conceito do Continuo é a Base da MF clássica, ele deixa de lado o comportamento individual das moléculas.

  • Falha quando a trajetória livre das moléculas se torna da mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do problema


Fluido como um cont nuo

Fluido como um Contínuo

  • Conseqüência da Hipótese de contínuo: cada propriedade tem um valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular o ponto C do espaço

Definição da densidade num ponto infinitezimal > 10-7 cm


Referencial euler x lagrange

Referencial Euler x Lagrange


Cinem tica

Métodos de Descrição

Referencial Lagrangeano:

  • Acompanha elementos de massa identificáveis;

  • Em mecânica dos fluidos, acompanhar o movimento de cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.

  • Referencial Euleriano

    • Focaliza a atenção sobre as propriedades do escoamento num determinado ponto do espaço como função do tempo;

    • As propriedades do campo do escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo;


  • Lagrange segue a trajet ria de part culas com identidade fixa

    y

    x

    Lagrange: segue a trajetória de partículas com identidade fixa

    Eqs. paramétricas da trajetória de uma partícula que t =t0, x=a, y=b e z=c

    Velocidade partícula

    Aceleração partícula


    Euleriano descreve o que ocorre em diferentes posi es do campo do escoamento

    Euleriano: descreve o que ocorre em diferentes posições do campo do escoamento

    Anemômetro

    y

    (x0,y0)

    (x1,y1)

    x

    O campo de velocidades é uma função de sua posição no espaço e no tempo. Por exemplo, colocando-se um instrumento no ponto (x0,y0) ele vai registrar a velocidade:

    Note que se o regime for permanente, a velocidade no ponto (x0,y0) será sempre constante. No entanto, se você mudar o instrumento para o ponto (x1,y1) você obterá um novo valor de velocidade


    Rela o coordenadas euler e lagrange

    Relação Coordenadas: Euler e Lagrange

    • No referencial Euleriano a velocidade numa posição (x0,y0,z0) coincide com a taxa de deslocamento da partícula que passa por este ponto no mesmo instante (conceito Lagrangeano):

    Euler

    Lagrange

    • Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial:

      EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento.

      Policial: segue um veículo


    Lagrangeano x euleriano

    Lagrangeano x Euleriano

    • A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com 1 segundo de injeção.

    • Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd, cortesia Prof. Altemani DE.

    • Tente acompanhar como o CO2 se dispersa (Lagrangeano)

    • Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia (Euleriano)


    Cinem tica

    2 seg após injeção

    Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .


    Cinem tica

    4 seg após injeção

    Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 4 seg, indicando superfície com 15 % .


    Cinem tica

    6 seg após injeção

    Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 6 seg, indicando superfície com 15 % .


    Cinem tica

    8 seg após injeção

    Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.


    Cinem tica

    10 seg após injeção

    Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.


    Cinem tica

    Lagrangeano x Euleriano

    • Todas as leis físicas são definidas para um referêncialLagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc

    • Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa.

    • Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto?

    • Re-escrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.

    • Isto é possível por meio do Teorema do Transporte de Reynolds (cap 4)


    Campo de velocidade

    Campo de Velocidade

    Um conceito EULERIANO


    Campo de velocidade1

    Campo de Velocidade

    • Num dado instante, o campo de velocidade, , é uma função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo (t) – referencial euleriano;

    • Ou em termos de suas componentes:

      (u,v,w), também dependem de x, y, z e t.


    Campo de velocidade2

    Campo de Velocidade

    • ESCOAMENTO PERMANENTE

    • As propriedades em cada ponto do campo (x,y,z) não mudam com o tempo, então:

    • ESCOAMENTO TRANSIENTE:

    • As propriedades em cada ponto do escoamento mudam com o tempo, então:


    Escoamentos 1d 2d e 3d

    Escoamentos 1D, 2D e 3D

    Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade .

    Exemplos:

    Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D


    Escoamento 1d

    Escoamento 1D

    • Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O perfil de velocidades é dado por:

    • A velocidade axial é função

    • do “r”


    Escoamento 2d em um difusor plano

    Escoamento 2D em um Difusor Plano

    A velocidade varia em y e x.

    O canal é considerado como infinito em z. O campo de velocidade em z é “considerado” idêntico em todos os planos, ou seja, invariável na direção z.


    Escoamento 3d

    Escoamento 3D

    • Escoamento em rotação na vizinhança da parede de um disco estacionário.

    • A velocidade varia nas direções x, y e z.


    Campo de velocidades regime permanente e 2d

    Campo de Velocidades: regime permanente e 2D

    Campo Vetorial (j,k)

    Escoamento laminar sobre uma placa, plano YZ.

    Resultados produzidos pelo PHOENICS cfd

    Campo escalar w(y,z)

    superposição


    Outras formas de representa o visual do campo de escoamento

    Outras Formas de Representação Visual do Campo de Escoamento

    É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades das partículas por meio de:

    • Linhas de tempo (experimental)

    • Trajetória da partícula (experimental)

    • Linhas de emissão (experimental)

    • Linhas de Corrente (matemática)


    Linhas de tempo

    Linhas de Tempo

    Uma quantidade de partículas adjacentes são marcadas simultaneamente num dado instante:

    • makingtimelines 1

    • makingtimelines 2

    Links p/ técnica de bolha de hidrogênio: (1) e (2)


    Trajet ria e linhas de emiss o

    Injetor de fumaça

    Trajetória e Linhas de Emissão

    Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (ref. Lagrangeano).

    Linha de Emissão: num local fixo no espaço você marca as partículas que passam por lá. Após um curto período teríamos uma certa quantidade de partículas, todas identificáveis e que em algum momento passaram pelo mesmo ponto no espaço

    veja túnel de fumaça


    Diferen a entre trajet ria e linha de emiss o

    Diferença entre Trajetória e Linha de Emissão

    • Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão , veja filme.

    • A afirmativa acima não é verdadeira para regime transiente!

    • Cenário: escoamento ascendente submetido a uma corrente horizontal alguns instantes após início. Fumaça -> linha emissão; Bolinha -> trajetória.

    • Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a trajetória!

    emissão

    emissão + trajetória


    Placa plana oscilante

    Placa Plana Oscilante

    • Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente!

    filme


    Linhas de corrente

    ds

    dy

    v

    Linha de

    corrente

    dx

    u

    ds

    R(t)

    R(t+dt)

    Linhas de Corrente

    São tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto.

    Pela semelhança de triângulos tem-se a definição matemática da linha de corrente:


    Linhas de corrente1

    no-

    flow

    flow

    no-

    flow

    flow

    Impossível!

    Linhas de Corrente

    Propriedade 1: como as linhas de correntes são sempre tangentes à velocidade, não pode haver escoamento normal a elas.

    Propriedade 2: linhas de corrente nunca se cruzam, do contrário haveria extinção ou produção de massa no interior do escoamento.


    Importante

    Importante

    • Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a linha de emissão que por sua vez também coincide com a linha de corrente


    Exemplo

    Um campo de velocidade é dado por:

    Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy incluindo aquela para o ponto (x,y) = (1,2)

    Exemplo


    Derivada total ou substantiva

    Derivada Total ou Substantiva

    Ela relaciona a taxa de variação de uma propriedade

    (H, V, P, Conc, etc) vista de um referencial Lagrangeano

    a partir de medidas realizadas de um referencial Euleriano!


    Referencial lagrangeano segue a part cula

    r(t)

    y

    r(t+dt)

    x

    Referencial Lagrangeano: segue a partícula

    • Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano.

    • Como seguir uma partícula num fluido?


    Referencial euleriano fixo no espa o ele define o campo de velocidades em fun o do ponto

    r1

    y

    r2

    x

    Referencial Euleriano: fixo no espaço ele define o campo de velocidades em função do ponto.

    • Velocidade para um referencial Euleriano.

    • Como definir uma aceleração?


    Cinem tica

    Para que serve Derivada Total?

    • Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc

    • Elas aplicam-se a sistemas, que possuem uma massa (identidade) fixa.

    • Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto?

    • A derivada Total é a taxa de variação seguindo uma partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a partir de um referencial Euleriano.


    Um experimento mental tente imaginar

    Um Experimento MENTAL. (Tente Imaginar...)

    Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A sua concentração diminui a medida que ele é transportado pela correnteza. Você deve fazer uma medida da poluição. Para isto você dispõe de um bote a motor e um medidor da concentração C do contaminante.

    Você realizou três tipos de medidas, cada uma com um resultado diferente! Tente explicar porque:

    1) com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração

    2) com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração

    3) com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.


    Barco estacion rio vb 0

    y

    x

    Barco Estacionário, Vb = 0

    A variação da concentração c é função do tempo e do espaço:

    Se o barco está estacionário, o sensor de poluição medirá uma concentração C que passa pelo ponto de medida e que varia com o tempo apenas:


    Barco movimentando com vb 0

    y

    x

    Barco Movimentando com Vb ≠ 0

    A variação da concentração c é função do tempo e do espaço:

    Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são independentes mas estão relacionados por Vb:

    A taxa temporal de c é determinada por:


    Barco movimentando com a correnteza v b v

    y

    x

    Barco Movimentando com a correnteza Vb= V

    Se o bote desloca junto com a correnteza então:

    Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação de c SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)


    Derivada total material ou substancial

    Derivada Total, Material ou Substancial

    • Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal de variação de um escalar o vetor SEGUINDO uma partícula de fluido.

    • De fato esta taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um referencial EULERIANO.

    • f é uma variável genérica, sua derivada substancial:

    • Em notação vetorial


    Derivada total de um escalar

    Derivada Total de um Escalar

    • O escalar pode ser uma concentração, temperatura, energia interna, entalpia, entropia, etc.

    • A taxa de variação temporal seguindo uma partícula é dada por:


    Derivada total de um vetor

    Derivada Total de um Vetor

    • A derivada total de um vetor é aceleração da partícula medida de um referencial Lagrangeano. Para um escoamento 2D ela possui duas componentes:


    Motion of a fluid particle kinematics

    Motion of a Fluid Particle (Kinematics)

    • Fluid Translation: Acceleration of aFluid Particle in a Velocity Field


    Motion of a fluid particle kinematics1

    Motion of a Fluid Particle (Kinematics)

    • Fluid Translation: Acceleration of aFluid Particle in a Velocity Field (Cylindrical)


    Identidade para acelera o do campo

    Identidade para Aceleração do Campo

    • Aceleração seguindo uma partícula:

    • A identidade:

    mas


    Taxa de deforma o do fluido

    TAXA DE DEFORMAÇÃO DO FLUIDO

    Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a uma tensão de cisalhamento


    Cinem tica

    Deformação de um Elemento Fluido

    A

    A’

    O

    O’

    B

    B’

    C

    • A taxa de deformação depende do movimento relativo de de um ponto em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre ele e seus vizinhos.

    • Num caso 2D há duas direções principais. No instante t=0 temos o triângulo AOB, após t=dt vamos observar o deslocamento relativo AOB devido às diferentes velocidades que atuam em AOB

    • O movimento relativo de AOB para A’OB’ou sua taxa de deformação pode ser decomposta em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:


    Cinem tica1

    Cinemática

    • Veja a deformação de um elemento de fluido próximo a parede (filme).

    • Movimentos complexos podem ser decompostos em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:

    rotação

    def.

    angular

    def.

    linear


    Taxa de deforma o

    t = 0, pontos M e N alinhados e dl = 0,

    t = dt, ponto M’ deslocou dl em relação M

    dy

    TAXA DE DEFORMAÇÃO

    • Fenômeno Local, de um ponto em relação a sua vizinhança (dy)

    • Qual é a taxa de variação do ponto N em relação ao ponto M, isto é, como a varia com o tempo?

    Filme: deformação


    Taxa de deforma o1

    TAXA DE DEFORMAÇÃO

    Para um instante dt, a deformação entre M e M’ é dada por a é:

    u+(du/dy)y

    • Logo a taxa de deformação é:

    dy

    u

    du é a variação relativa da velocidade entre os pontos M e M’

    << 1

    • ou:


    Natureza da taxa de deforma o

    Natureza da Taxa de Deformação

    • Taxa de deformação é um conceito relativo, quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo a sua vizinhança;

    • Ela pode variar ponto a ponto no escoamento.

    • Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional

    • Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; Dxy= du/dy

    • Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...


    Cinem tica

    Deformação de um Elemento Fluido

    • No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w

    • A velocidade na vizinhança de O é determinada por uma expansão em série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:


    Cinem tica

    Deformação de um Elemento Fluido

    • A variação da velocidade de O para vizinhança é expressa por uma matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local:

    • Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido ( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e portanto tem natureza tensorial.


    Cinem tica

    Tensor Deformação

    • Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por

    • Em notação vetorial,


    Cinem tica

    Operação com Tensores

    • Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e outra anti-simétrica:

    Si,j

    Ri,j


    Cinem tica

    Decomposição do Tensor Deformação

    Vamos ver a seguir que:

    A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear do elemento

    Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão associados a deformação angular

    Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação do elemento fluido.


    1 dilata o linear na dire o x

    (1) Dilatação linear na direção x

    Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0 deforma-se e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. A extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’.

    O deslocamento relativo:

    A taxa de deformação linear na direção é:

    As componentes nas outras direções são:


    2 deforma o angular no plano xy

    (2) Deformação angular no plano xy

    Um segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no tempo t=0, deforma-se e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A deforma-se proporcionalmente aos ângulos gxy e gyx

    A deformação angular e sua taxa:

    A taxa de deformação angular é definida como a média destes dois movimentos:

    É evidente que a deformação do vértice A é duas vezes o valor de Dxy!


    3 rota o no plano xy

    Um segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira sobre o vértice A e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A é preservado! Neste movimento não há deformação mas rotação

    (3) Rotação no plano xy

    Se o ângulo de A é preservado então:

    A taxa de rotação é definida como a média destes dois movimentos:


    Cinem tica

    Tensor Deformação

    onde e = 0 se dois índices forem iguais, e = +1 se ijk = 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 e e = -1 se ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2.

    A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento.

    Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação angular.

    Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente rotação dos elementos.


    Cinem tica

    Dij = Sij + Rij

    D = parte simétrica (shear) + parte anti-simétrica (rotação)


    Vetor vorticidade w

    Vetor Vorticidade, w

    • Definição de vetor vorticidade:

    • w é igual a duas vezes a taxa de rotação do elemento de fluido. Considere rotação no plano xy, zé a média das taxas de deformação:

    w representa a rotação em cada eixo das coordenadas.

    IMPORTANTE: vorticidade ou rotação do elemento são fenômenos locais, isto é, linhas de corrente com curvatura não garantem que o o fluido tenha rotação!


    Rela o entre r ij e w

    Relação entre Rij e w

    • Um tensor anti-simetrico (Rij) possui somente 3 escalares distintos, isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor!

    • Para um elemento em estado de rotação pura (S≡0),


    Vetor vorticidade w1

    Vetor Vorticidade, w

    • A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido.

    • Ela tem papel central no estudo de escoamentos com ausência de viscosidade.

    • Escoamentos onde w é nulo são chamados de escoamentos irrotacionais.

    • Note que na parede (condição de não deslizamento) o fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação!

    • As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.


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