Relaciones y Funciones

1. Relaciones y Funciones Dr. Rogelio Dávila Pérez Depto. de Tecnologías de la Información ITESM, Campus Guadalajara e-mail: rogelio.davila@itesm.mx

2. Relaciones Def. Sean A1, A2, …, An una secuencia de conjuntos. Definimos una relación como un subconjunto del producto cartesiano A1x A2x…x An.

3. Propiedade de una Relación a). Reflexiva x.(xRx) b). Irreflexiva x. xRx c). Simétrica x.y. (xRy yRx) d). Antisimétrica x.y. [(xRy  yRx)  x=y] e). Transitiva x.y. (xRy  yRz  xRz)

4. Relaciones Def. Si una relación R, es reflexiva, simétrica y transitiva, decimos que es una relación de equivalencia. Una relación de equivalencia es importante pues divide al dominio en clases de equivalencia.

5. Relaciones Def. Una relación R, que satisface las propiedades de ser ireflexiva, antisimétrica y transitiva se denomina una relación de orden parcial. Def. Una relación de orden parcial, R, es llamada relación de orden total, si además satisface la siguiente propiedad: xy. (xRy yRx)

6. Funciones Def.Sean dos conjuntos arbitrarios A y B. Una funciónf:AB es una relación RenA x B, que satisface lo siguiente: • DR = A; es decir, para toda x A,existe un y B, tal que (x,y) esta en R. • Cada elemento x A, tiene asociado uno solo de B. Esto es: xA, y1,y2B, [(f(x)=y1 f(x)=y2)  y1= y2] Es decir, dos parejas distintas no pueden tener el mismo primer elemento.

7. Funciones Def. Sean dos conjuntos A y B. Una función f:AB, es inyectiva, si se satisface que: a1,a2A, [ f(a1)= f(a2)  a1=a2 ] Def.Sean dos conjuntos A y B. Una funciónf:AB, es sobreyectiva o suprayectiva, si se satisface Imf=B, es decir: bB, aA, tal que f(a)= b Def.Sean dos conjuntos A y B. Una funciónf:AB, es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

8. Cardinalidad y Conjuntos Infinitos Def. Se dice que dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad, si existe una función biyectiva que va de los elementos de A a los elementos de B. Def. Se llama un conjunto contable a aquel conjunto que es finito o que puede ser colocado en relación uno-a-uno con el conjunto de los números naturales N.

9. Ejercicios 1. Demuestre los siguientes enunciados: a). Si A y B son dos conjuntos arbitrarios, existen entre ellos al menos dos relaciones posibles (pudiendo ser la misma). b). Sean A = { a, b } y B = { 1, 2 }, entonces, entre A y B existen 16 posibles relaciones. 2. Defina una función f: Z  Z (Z es el conjunto de los enteros), tal que satisfaga las condiciones que a continuación se muestran: a). f sea inyectiva pero no sobreyectiva. b). f sea sobreyectiva pero no inyectiva. c). f sea biyectiva. 3. Demuestre que la función f: Z  Z, definida como f(n) = 2n (nZ), es inyectiva.

10. Ejercicios (cont.) 4. Un conjunto se dice que es contable, si es un conjunto de cardinalidad finita o si su cardinalidad es igual a la de los números naturales, N. Demuestre que el conjunto resultado de la unión de dos conjuntos contables, es contable.