KWADRATY ŁACIŃSKIE Martyna Kopyś

1. KWADRATY ŁACIŃSKIE Martyna Kopyś

2. Kwadratem łacińskimnazywamy macierz kwadratową, w której każdy wiersz i każda kolumna składa się z tego samego zbioru niepowtarzających się elementów.

3. Prostokąt łaciński wymiaru p x q o elementach ze zbioru {1,2,...,n} jest to macierz o wymiarzu p x q o elementach wybranych ze zbioru {1,2,...,n}, w której w żadnym wierszu i kolumnie nie ma powtarzających się elementów. Zatem kwadratem łacińskim nazywamy taką macierz, gdzie p=q=n.Wówczas każdy wiersz i każda kolumna składa się dokładnie z n liczb {1,2,...,n}.

4. Przykłady: 1.Prostokąt łaciński o wymiarze 2x3 o elementach z {1,2,3,4,5} 2.Kwadrat łaciński o wymiarze 3x3

5. Twierdzenie. Prostokąt łaciński wymiaru pxn o elementach ze zbioru {1,2,...,n} może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego wymiaru nxn. Przykład: Możemy rozszerzyć do następującego kwadratu:

6. Twierdzenie. Prostokąt łaciński L wymiaru pxq o elementach ze zbioru {1,2,...,n} może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego wymiaru nxn wtedy i tylko wtedy, gdy L(i), oznaczające liczbę wystąpień elementu i w L, spełnia warunek L(i)≥ p+q-n dla każdego i, przy czym 1≤ i ≤n.

7. Przykład 1. L(i)=p+q-n=5+3-6=2. Widzimy, że element 3 wystąpił tylko 1≤2, więc ten prostokąt nie może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego.

8. Przykład 2. Rozszerzyć prostokąt łaciński do kwadratu łacińskiego o wymiarze 6x6.

9. Gdzie w miejscu ? mogą być odpowiednio cyfry ze zbiorów: {2,3,4},{1,3,4},{4,5,6}. Mamy p+q-n=3+3-6=0 oraz P={i:L(i)=0}={4}, więc 4 musi wystąpić na jednej z szukanych pozycji. Otrzymujemy:

10. Po wstawieniu odpowiednich wartości do prostokątu zostały nam zbiory:{2,3},{3,4},{4,6}. Następnie liczymy p+q-n=3+4-6=1 oraz P={i:L(i)=1}={3,4}.Otrzymujemy następujący prostokąt: Pozostały nam zbiory{2},{3},{4}, p+q-n=3+5-6=2, P={i:L(i)=2}={2,3,4}, więc otrzymany prostokąt ma postać:

11. Analogicznie postępujemy w przypadku rozszerzania wierszy i tak otrzymujemy następujący kwadrat łaciński wymiaru 6x6:

12. Dwa kwadraty łacińskie wymiarów nxn M1 (mi,j), M2(li,j) nazywamy ortogonalnymi, jeżeli wszystkie pary (mi,j,li,j) są różne. Przykład:

13. Twierdzenie. Dla każdego n≥2, n≠2,n≠6 istnieją pary ortogonalnych kwadratów łacińskich. Dla n=2 jest to oczywiste, bo jedynymi kwadratami wymiaru 2x2 są: Według Eulera(oraz Tarry'ego) niemożliwe jest również znalezienie kwadratów ortogonalnych dla n=6 (jest to zagadnienie o oficerach).

14. Sudoku Zasady są oparte na kwadratach łacińskich, którymi zajmowali się arabscy matematycy już w XIII w. W sudoku, w przeciwieństwie do kwadratów łacińskich, cyfry nie mogą się powtarzać nie tylko w żadnym wierszu i żadnej kolumnie, ale także w każdym małym kwadracie 3x3. Standardowe sudoku składa się z kwadratu o wymiarze 9x9.

15. Metody rozwiązywania 1. Metoda pierwsza- polega na znalezieniu miejsca, gdzie w obrębie małego kwadratu 3x3 pasuje dana cyfra na zasadzie eliminacji rzędów i kolumn, w których ta cyfra znajduje się w innych kwadratach.

17. Postępujemy analogiczne w pozostałych kwadratach i otrzymujemy następujący kwadrat magiczny:

18. 2.Metoda druga -ta metoda polega na dopełnieniu rzędu, kolumny lub kwadratu 3x3 cyframi od 1 do 9.

19. 3. Metoda trzecia- jest to metoda wymagająca „bazgrania” po diagramie. Polega ona na wstawieniu w odpowiednim miejscu kratki kropek-odpowiedzi. Kropki stawia się tak, by jasno określić cyfrę.

20. Zamiast stawiać kropki w odpowiednim miejscu kratki, często wpisuje się szukane cyfry. Rozwiązując sudoku często spotykamy się z sytuacją, że dana cyfra może pojawić się w dwóch miejscach w kwadracie 3x3. Zaznaczamy wtedy oba te miejsca kropką, postawioną w odpowiednim punkcie kratki.

22. Podsumowanie • Kwadraty łacińskie są to macierze, w których elementy nie mogą się powtórzyć w żadnej kolumnie i żadnym wierszu. • Każdy prostokąt o wymiarze pxn lub qxn możemy rozszerzyć do kwadratu nxn. • W życiu codziennym wykorzystujemy kwadraty łacińskie w rozwiązywaniu sudoku.

23. Literatura: 1.V.Bryant, Aspekty kombinatoryki 2. http://www.gry-sudoku.pl/historia.php

24. Dziękuję za uwagę Martyna Kopyś